中学受験の算数 和差算の二量—和と差を線分図にそろえて二つの数量を求める｜武蔵野個別指導塾

合計から差を除いた後の二等分と、合計に差を足す方法を線分図で比べます。操作の鍵は和差算の二量です。

よくあるのは、2人の持つ枚数を線分に描き、長い線分から差の部分を取り除いたところで手が止まる場面です。残った長い線分は短い線分と同じ長さですが、それだけで答えが出るわけではありません。もとの合計から差を取り除くと、同じ長さが2本分残ります。何を取り除き、残りに何本分あるかを確かめてから分けましょう。

和と差が伝えること

和差算の二量では、同じ単位で表された2つの量の合計と、その違いが手がかりです。合計を和、大きい量から小さい量を引いたものを差と呼びます。2つの量が同じなら差は0です。差は一方の量そのものではなく、2つを左端にそろえたとき、長いほうがはみ出す部分を表します。

問いにはいくつかの形があります。2人のカードの合計と枚数の差から、それぞれの枚数を求める形では、和も差もそのまま読み取れます。2本のひもの合計がセンチメートルで、長さの差がメートルで示される形では、まず同じ単位に直します。また、合計と「多いほうは少ないほうより何個多い」が与えられ、少ないほうだけを尋ねる形もあります。求めるものが片方でも、検算には両方が必要です。

問題文に数字が2つあるからといって、すぐに足したり引いたりするのではありません。どちらが合計で、どちらが差かを言葉で書きます。「AはBより何個多い」の差はAとBの両方を比べた量です。「Aが何個持つ」という一方の量とは役割が違います。和と差がわかった後に、その量の大小と単位を線分に添えると、計算の意味を追えます。

同じ長さの2本を作る

図1のように、長い線分と短い線分の左端をそろえます。上は大きい量、下は小さい量です。上の右端にはみ出す部分が差であり、上下を合わせた長さが和です。線分は数量を長さに置き換えており、上の共通部分と下の線分は同じ量を表します。

図1のように差を長いほうから取り去ると、上下に小さい量が1本ずつ残ります。この2本の合計は、もとの和から差を引いた量です。したがって、和から差を引き、その結果を2で割ると小さい量が出ます。最後に差を足せば大きい量です。取り去った差は捨てたままではなく、求めた小さい量に戻せます。

逆に、短いほうに差を付け足す方法もあります。短い線分は長い線分と同じ長さになり、大きい量が2本そろいます。このとき全体はもとの和より差の分だけ増えます。和に差を足して2で割れば大きい量が出て、そこから差を引けば小さい量です。

2つの方法は、別々の暗記ではありません。同じ2本を小さいほうにそろえるか、大きいほうにそろえるかの違いです。和から引いた結果も、和に足した結果も、まだ1本の答えではありません。2本分の量を1本分にするために2で割ります。図を指しながら「同じ量が2本」と言えると、割る理由を確かめられます。

基本例題：差を取り除く

赤い箱と青い箱に、同じ大きさの積み木が合わせて50個あります。赤い箱は青い箱より14個多く入っています。それぞれ何個ですか。答えは整数と単位で書きましょう。

図2のように赤を上、青を下に置き、左端をそろえます。上の右端の14個分を取り除くと、上に青と同じ個数が残ります。2本の短い部分を合わせた数は、50個から14個を引いた数です。

図2のように残った2本は同じ個数です。式を順に書きます。

50 − 14 = 36（個、青と同じ個数の2本分）

36 ÷ 2 = 18（個、青い箱）

18 + 14 = 32（個、赤い箱）

答えは赤い箱が32個、青い箱が18個です。36個は青い箱の数ではありません。赤から差を取り除いた部分と、もとの青を合わせた数です。36をそのまま青と答えると、残った2本のうち1本しか見ていないことになります。

条件に戻すと、32 + 18 = 50個で合計が合い、32 − 18 = 14個で差も合います。和だけが合っても、たとえば25個ずつでは差が0個です。差だけが合っても、たとえば34個と20個では合計が54個です。2つの条件を別々に調べて初めて、この問題の数だと確かめられます。

同じ問題を大きいほうにそろえても解けます。青に14個を加えたと考えると赤と同じ個数が2つになり、全体は50 + 14 = 64個です。64 ÷ 2 = 32個が赤で、32 − 14 = 18個が青です。実際に箱へ積み木を加えたのではなく、計算のために図の短いほうを伸ばしています。どちらの方法でも、もとの箱に戻した2つの数は同じです。

標準例題：単位をそろえる

白いリボンと緑のリボンの長さの合計は3 m 40 cmです。白は緑より60 cm長いとします。それぞれの長さをcmで答えましょう。

合計は3 m 40 cm、差は60 cmです。そのまま3と60を計算することはできません。1 mは100 cmなので、合計を340 cmに直します。差はすでにcmなので、2本を同じ単位で比べられます。

短い緑にそろえると、340 − 60 = 280 cmが緑と同じ長さの2本分です。280 ÷ 2 = 140 cmが緑で、140 + 60 = 200 cmが白です。答えは白が200 cm、緑が140 cmです。長いほうにそろえるなら、340 + 60 = 400 cmを2で割り、白の200 cmを先に求めます。

場面に戻すと、200 + 140 = 340 cmで3 m 40 cmに等しく、200 − 140 = 60 cmです。答えをmで書き直すこともできますが、この問題の指定はcmです。計算の途中だけでなく、最後の単位まで確認します。長さを表す線分のはみ出しは60 cmであり、340 cm全体が差なのではありません。

発展例題：差を足してから戻す

2本の色テープの長さの合計は7.5 mで、長いほうは短いほうより1.3 m長いとします。長いほうから短いほうと同じ長さを切り取り、残った部分の長さも求めましょう。それぞれの長さと残りを小数のmで答えてください。

長いほうにそろえて考えます。短いほうに1.3 mを付け足すと、長いほうと同じ長さが2本です。もとの合計に付け足した1.3 mを加えます。

7.5 + 1.3 = 8.8（m、長いほうの2本分）

8.8 ÷ 2 = 4.4（m、長いほう）

4.4 − 1.3 = 3.1（m、短いほう）

長いほうから短いほうと同じ3.1 mを切り取ると、4.4 − 3.1 = 1.3 m残ります。答えは長いほうが4.4 m、短いほうが3.1 m、残りが1.3 mです。残りが差になるのは、長いほうの中に短いほうと同じ長さを取ったからです。切り取る長さが短いほうと違えば、残りをそのまま差とは呼べません。

小さいほうにそろえて確かめると、7.5 − 1.3 = 6.2 m、6.2 ÷ 2 = 3.1 mです。2本を横に続けた線分を考え、合計7.5 mから長いほうの余分な1.3 mを除けば、3.1 mの部分が2つ並びます。さらに4.4 + 3.1 = 7.5 m、4.4 − 3.1 = 1.3 mです。切り取った3.1 mと残りの1.3 mを合わせても4.4 mに戻ります。

この問題の分かれ目は、差が長いほうの全体なのか、短いほうを引いた残りなのかを区別できるかです。差を足すと長いほうが2本になる一方、差を引くと短いほうが2本になります。どちらから始めても、最後に求める残りはもとの2本の差です。

引いた後の36を答えにしてしまったら

基本例題で「50 − 14 = 36だから青は36個」と答えた場合を考えます。図3のように、14個の差を除いた後には、青と同じ量が上と下に1本ずつ残っています。36個はこの2本を合わせた数で、青の1本分ではありません。

図3のように残りを指で上下に分け、「36個は何本分」と問い直すと、原因を見つけやすくなります。2本分を2で割ると18個です。赤を18 + 14 = 32個に戻し、和50個と差14個の両方を確かめます。計算の抜けを直した後も、どの数が何を表すかを式の横に書いておくと、次の問題で同じ抜けを見つけられます。

別の誤りとして、50 + 14 = 64の後に「青は32個」とする場合があります。2で割る操作は正しくても、足した差は短い青を赤にそろえるためのものです。64個は赤と同じ量の2本分なので、32個は赤です。青を求めるには14個を引きます。どちらを求めたかは、最初に差を取り去ったか、付け足したかで決まります。

条件が成り立たない場合も考えます。たとえば2つの箱の合計が10個で、片方がもう片方より12個多いという条件では、10 − 12が負になり、箱の個数として扱えません。差が合計を超えると、もう一方が0個以上である箱の個数には戻せないためです。また合計10個、差3個なら、小さいほうは7 ÷ 2で3.5個となります。積み木を割らずに数える設定では整数にならず、条件に合う組はありません。割り切れないこと自体が常に誤りなのではなく、長さのように小数を許す量かどうかを見て判断します。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立した場面です。先に問題をまとめて解き、和と差、そろえた後の2本分を記してから、後の解答と比べましょう。

1. 2人が拾った木の実は合わせて74個です。春さんは秋さんより18個多く拾いました。それぞれ何個ですか。整数と単位で答えてください。
2. 2本のひもの合計は5 m 20 cmで、長いほうは短いほうより80 cm長いです。それぞれ何cmですか。整数と単位で答えてください。
3. 2つの容器に入った水の合計は6.8 Lで、片方はもう片方より0.6 L多いです。それぞれ何Lですか。小数と単位で答えてください。
4. 2冊のノートに書いたページ数の合計は91ページで、多いほうは少ないほうより27ページ多いです。それぞれ何ページですか。整数と単位で答えてください。
5. 2枚の紙の重さの合計は12 gで、重いほうは軽いほうより2 g重いです。重い紙と同じ重さを2枚にするには、軽い紙に何gを加えると考えますか。また、もとのそれぞれは何gですか。整数と単位で答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. 秋さんにそろえると、74 − 18 = 56個が秋さんの2人分です。56 ÷ 2 = 28個、28 + 18 = 46個です。春さん46個、秋さん28個。46 + 28 = 74個、46 − 28 = 18個と、合計と差が戻ります。

2. 合計を520 cmに直します。520 − 80 = 440 cmは短いほうの2本分なので、440 ÷ 2 = 220 cmです。長いほうは220 + 80 = 300 cmです。長いほう300 cm、短いほう220 cm。300 + 220 = 520 cmで5 m 20 cmに等しく、300 − 220 = 80 cmです。

3. 6.8 − 0.6 = 6.2 Lは少ないほうの2つ分です。6.2 ÷ 2 = 3.1 L、多いほうは3.1 + 0.6 = 3.7 Lです。多いほう3.7 L、少ないほう3.1 L。3.7 + 3.1 = 6.8 L、3.7 − 3.1 = 0.6 Lです。水の量なので小数でも条件に合います。

4. 多いほうにそろえると、91 + 27 = 118ページが多いほうの2冊分です。118 ÷ 2 = 59ページ、59 − 27 = 32ページです。多いほう59ページ、少ないほう32ページ。59 + 32 = 91ページ、59 − 32 = 27ページです。2冊のページ数が整数であることも確かめられます。

5. 軽い紙に差の2 gを加えると、重い紙と同じ重さになります。12 + 2 = 14 gが重い紙の2枚分で、14 ÷ 2 = 7 gです。軽い紙は7 − 2 = 5 gです。加えると考える量は2 g、もとは重い紙7 g、軽い紙5 gです。7 + 5 = 12 g、7 − 5 = 2 gであり、軽い紙5 gに2 gを加えると7 gになります。

手元に残す要点

• 和は2つを合わせた量、差は大きいほうが小さいほうを上回る量です。
• 和から差を引くと小さい量の2つ分です。
• 和に差を足すと大きい量の2つ分です。
• 2で割った後、差を戻してもう一方を求めます。
• 答えを合計と差の両方に戻し、単位や個数も確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが式を書けないときは、まず問題文の合計と差に別々の印を付けてもらいます。印が逆なら数字の読み取りを、印は正しいのに図が描けないなら左右の端のそろえ方を見直します。図に差を書けても2で割れないときは、差を除いた後に残る2本を順に指して、同じ量が何本あるかを言葉にします。

個別指導で確かめる箇所は、答えの数字だけではありません。どちらにそろえたか、途中の数が何本分か、もう一方を出すときに差を戻したかを、書いた図と式を往復してたどります。和だけを確かめて終わる場合は差も計算し、個数が小数になった場合は品物を分けられる条件かを読み返します。線分の2本が表す量を説明できれば、数や単位が変わっても操作の意味を追えます。