数検準2級 二次関数の平方完成—係数と定数を整理して頂点と軸を読み取る｜武蔵野個別指導塾

括弧の外の係数が定数の補正にも掛かる理由を追い、平方完成した式から頂点と軸を読み取ります。

よくあるのは、受験者が平方完成で括弧の中に数を足し、その数だけを括弧の外で引いてしまう場面です。外側に係数があると、実際に足された量は括弧に入れた数と同じではありません。展開すると元の定数に戻らず、そこから読んだ頂点もずれてしまいます。式を変える途中で何が増えたかを追い、最後に元の式に戻すところまで練習しましょう。

どんな形を読み取るのか

二次関数は、x の値を決めると y の値が決まる関係で、y = ax² + bx + c の形に表せます。ここで a、b、c は定数、a は 0 ではありません。式のままでは放物線の折り返す位置が読み取りにくいことがあります。平方完成は、この式を y = a(x − p)² + q の形に変えて、頂点や対称の軸を見やすくする操作です。

練習したい出方には、次のような型があります。いずれも自作の型で、出題を保証するものではありません。

• 与えられた二次関数を平方完成し、頂点と軸を答える型。
• 平方完成した式から、基本の放物線をどの方向へ平行移動したかを読む型。
• 頂点と放物線上の点を使って、二次関数の式を決める型。

どの型も、括弧の中の符号と、括弧の外の定数を別々に確認します。ここでは頂点、軸、平行移動とグラフまでを扱います。区間を指定して最大値や最小値を求める問題は扱いません。

平方完成と頂点のつながり

まず (x + h)² を展開すると x² + 2hx + h² です。x の係数が 2h になるので、x² + bx を平方にまとめるときは b を 2 で割った数を使います。その平方には余分な定数も含まれるため、同じ量を引いて元の式と等しくします。

たとえば x² + 6x は、x の係数 6 の半分が 3 なので (x + 3)² − 9 です。(x + 3)² を展開すると x² + 6x + 9 となり、9 が余分に入ります。最後に 9 を引くことで、初めの式と同じになります。平方完成は値を変える計算ではなく、同じ式の表し方を変える計算です。

外側に係数があるときは、その係数を含めて増えた量を考えます。図1では、2(x² + 4x) の括弧内に 4 を加えると、全体では 2 × 4 の 8 が増えます。したがって外側で 8 を引けば、元と同じ式になります。括弧の内側と式全体のどちらの量を見ているかが、符号の誤りを防ぐ目印です。

y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q)、軸は x = p です。括弧が 0 になる x の値を考えると、x = p のとき y = q です。括弧の中が x + 3 なら 0 になるのは x = -3 なので、頂点の x 座標は 3 ではなく -3 です。符号を機械的に逆にするより、括弧に代入して 0 になる値を探すと理由も確かめられます。

グラフは y = ax² の放物線を、横に p、縦に q だけ平行移動したものです。p が負なら左へ、q が負なら下へ動きます。a が正なら上に開き、負なら下に開きます。係数 a の絶対値が大きいほど、同じ頂点から同じ横の距離だけ離れたとき、縦の変化の絶対値が大きくなります。

図を描くときの順番

座標平面では横方向に x、縦方向に y を取ります。頂点を打ち、そこを通る縦の軸を引いてから、軸の両側に同じ距離の点を置くと形を確かめやすくなります。たとえば y = (x − 1)² + 2 では、頂点は (1, 2) です。そこから x を 1 ずつ増減した x = 0 と x = 2 では、どちらも y = 3 です。軸は x = 1 で、この直線に関して左右が対応します。

平行移動の向きが混乱したら、元の頂点 (0, 0) がどこへ移るかを考えます。上の式なら右へ 1、上へ 2 です。x − 1 の「引く」は左移動を意味するのではなく、x = 1 で括弧が 0 になることを表します。係数が変わらない平行移動では、開く向きと形は変わりません。軸や頂点を読み取る作業と、実際に点を代入して描く作業を行き来すると、式の記号と座標が結びつきます。

基本例題：外側の係数を残して平方完成する

次の二次関数を平方完成し、頂点の座標を整数の組で、軸を x = 整数の形で答えます。また、y = 2x² のグラフからの平行移動を左右・上下の向きと整数の距離で答えます。

y = 2x² + 8x + 3

最初に x² と x の項から共通の 2 をくくります。定数 3 はそのまま外に残します。

y = 2(x² + 4x) + 3

括弧内の x の係数 4 の半分は 2 です。平方を作るために 2²、つまり 4 を括弧内に足し、同じ括弧内で 4 を引きます。

y = 2(x² + 4x + 4 − 4) + 3

y = 2{(x + 2)² − 4} + 3

y = 2(x + 2)² − 8 + 3

y = 2(x + 2)² − 5

括弧内で引いた 4 にも外側の 2 が掛かるので、外へ出すと -8 です。ここを -4 のままにすると、初めの式とは違います。x + 2 が 0 になるのは x = -2、そこで y = -5 なので、頂点は (-2, -5)、軸は x = -2 です。

平行移動は左へ 2、下へ 5 です。図2のように、頂点から左右に同じ距離にある点の高さが等しいことも確かめられます。横軸と縦軸の縮尺はそれぞれ 1 目盛りが 1 です。

元の式を使って頂点と周囲の点を検算します。x = -2 なら 2 × 4 + 8 × (-2) + 3 = -5 です。x = -1 と x = -3 では、どちらも y = -3 になります。平方完成した式でも、括弧の値がそれぞれ 1 と -1 なので y = -3 です。頂点を挟んだ左右の点と元の式が一致しているため、グラフの位置も確かめられます。

さらに x = 0 では元の式の定数項から y = 3 です。平方完成後も 2 × 4 − 5 = 3 となります。頂点だけでなく、離れた点も照合すると、定数補正のずれを見つけやすくなります。軸は点ではなく、頂点を通る縦の直線なので、答えには x = -2 と書きます。

少し難しい例題：頂点と通る点から式を作る

頂点が (3, -2) で、点 (5, 6) を通る二次関数を求めます。答えは y = a(x − p)² + q の形と、展開した y = ax² + bx + c の形の両方で表し、係数は整数で答えます。

頂点の情報から、まず y = a(x − 3)² − 2 と置けます。ここで a は 0 でない定数です。点 (5, 6) を通るという条件は、x に 5、y に 6 を同時に代入した等式になります。

6 = a(5 − 3)² − 2

6 = 4a − 2

8 = 4a

a = 2

求める式は y = 2(x − 3)² − 2 です。展開すると次のようになります。

y = 2(x² − 6x + 9) − 2

y = 2x² − 12x + 18 − 2

y = 2x² − 12x + 16

点を通るという元の条件に戻しましょう。x = 5 のとき、展開した式は 2 × 25 − 12 × 5 + 16 = 6 です。x = 3 なら y = -2 となり、平方の部分が 0 なので頂点も指定の位置です。通る点の確認と頂点の確認は別々に行います。1点を通るだけでは、頂点の位置まで合っているとは限らないからです。

この方法には点の位置に関する注意があります。頂点と通る点の x 座標が異なれば、代入した式から a を求められます。一方、通る点が頂点そのものなら、どの 0 でない a でもその点を通り、1つの式には決まりません。同じ x 座標で y 座標だけが頂点と異なる点を指定された場合は、その頂点を持つ関数のグラフ上にないので条件を満たす式はありません。点の座標を見てから代入する習慣をつけます。

誤答から補正の漏れを見つける

基本例題の途中で、次のように書いたとします。

y = 2(x² + 4x) + 3

y = 2(x + 2)² − 4 + 3

y = 2(x + 2)² − 1

誤答の原因は、括弧内に 4 を足した効果を、式全体で 4 だけの増加と考えたことです。実際は図3のように、2 倍されて 8 増えています。外で引く量は 4 ではなく 8 です。括弧の中で -4 と書くなら、外に出すときに 2 を掛けます。

誤答を展開すると 2x² + 8x + 7 になり、元の定数 3 と一致しません。x = 0 を代入しても誤答は 7、元の式は 3 です。修正した 2(x + 2)² − 5 なら、展開後の定数は 8 − 5 = 3 に戻ります。元の式との差を、別の例でも代入と展開の両方から探せます。

もう一つの誤りは、y = 2(x + 2)² − 5 の頂点を (2, -5) と読むことです。x = 2 を入れると括弧は 4 で、0 にはなりません。x = -2 を入れて括弧が 0 になることを見れば、頂点の横の座標を修正できます。平方完成が正しくても、読み取りが正しいとは限りません。

負の係数にも注意します。たとえば -3(x² − 2x) は -3{(x − 1)² − 1} と書けます。括弧内の -1 に -3 が掛かるため、外へ出すと +3 です。符号を先に決めつけず、外側の数と括弧内の数を掛け算してから整理します。分数が出ても、途中で小数に変えずに分数のまま計算すれば、等しい式を保ちやすくなります。

検算で違いが出なかったとき

x = 0 の代入は定数項の点検に便利ですが、それだけでは x の係数の誤りを見逃すことがあります。たとえば、定数が元と同じでも、括弧内の数を誤れば x の項が変わりえます。展開して x²、x、定数のそれぞれを比べ、さらに頂点の x 座標を代入するという順に確認します。どちらか一方の確認で合ったからといって、残りの係数まで合うとは限りません。

また、頂点を読む式が y = a(x − p)² + q になっていても、a = 0 なら二次関数ではありません。問題から式を作るときは、求まった係数が 0 でないことも確かめます。頂点を通ることと、二次関数として条件を満たすことは、別の確認です。

練習問題

まず4問を続けて解き、答えと照らし合わせてください。平方完成した式の係数や座標は、整数または約分した分数で表します。グラフの移動は、左右・上下の向きと距離で答えます。

1. y = x² − 10x + 7 を平方完成し、頂点と軸を求めてください。
2. y = -3x² + 6x + 4 を平方完成し、頂点と軸を求めてください。
3. y = 2x² − 6x + 1 を平方完成し、頂点と軸を求めてください。
4. 頂点が (-1, 4) で、点 (1, -4) を通る二次関数を平方完成した形で求めてください。そのグラフを y = ax² からどう平行移動するかも答えてください。ただし a は求めた式の x² の係数です。

答えと解き方

1. x の係数 -10 の半分は -5 なので、x² − 10x = (x − 5)² − 25 です。したがって y = (x − 5)² − 18、頂点は (5, -18)、軸は x = 5 です。元の式に x = 5 を戻すと 25 − 50 + 7 = -18 となります。また x = 0 のとき、元の式も変形後の式も 7 です。

2. はじめに -3 をくくります。y = -3(x² − 2x) + 4 = -3{(x − 1)² − 1} + 4 = -3(x − 1)² + 7 です。頂点は (1, 7)、軸は x = 1 です。x = 1 を元の式へ代入すると -3 + 6 + 4 = 7 です。x = 0 でも y = 4 に戻り、外へ出した定数の符号を点検できます。

3. 2 をくくると y = 2(x² − 3x) + 1 です。括弧内の -3 の半分は -3/2 なので、y = 2{(x − 3/2)² − 9/4} + 1 = 2(x − 3/2)² − 7/2 です。頂点は (3/2, -7/2)、軸は x = 3/2 です。元の式に x = 3/2 を代入すると 9/2 − 9 + 1 = -7/2 となります。x = 0 なら変形後は 9/2 − 7/2 = 1 で、元の定数項と一致します。

4. 頂点から y = a(x + 1)² + 4 と置きます。点 (1, -4) を代入すると -4 = 4a + 4、よって a = -2 です。答えは y = -2(x + 1)² + 4 です。y = -2x² を左へ 1、上へ 4 平行移動します。x = -1 で y = 4、x = 1 で y = -2 × 4 + 4 = -4 なので、頂点と通る点の両方の条件に合います。開く向きは下です。

覚えておくこと

• x の係数を、x² の係数でくくった後に半分にします。
• 括弧内で増やした定数には、外側の係数も掛かります。
• 括弧が 0 になる x の値と、そのときの y の値が頂点です。
• 軸は頂点を通る x = 定数の直線です。
• 展開や代入で元の式と条件に戻して確かめます。

つまずいた行から戻る

個別指導で答案を見るときは、最後の答えに丸を付ける前に、最初に等しくなくなった行を探します。x² と x の係数が違えば、くくり出しや半分にする数へ戻ります。定数だけが違えば、括弧に加えた数と外側の係数の積を書き出します。

式は合っているのに頂点が違うときは、括弧に答えた x 座標を代入し、0 になるかを確かめます。点から式を作る問題なら、頂点と通る点を別々に戻して照合します。どの行で何が変わったかを言葉にできると、次の問題でも修正する場所を自分で選べます。等式を保つ一行が、正しい頂点への道を開きます。