数検準2級 集合と命題—包含関係と反例から必要条件と十分条件を見分ける｜武蔵野個別指導塾

偶数と4の倍数の包含関係や、逆の命題への反例を使い、必要条件と十分条件の向きを判断します。

よくあるのは、受検者が「4の倍数ならば偶数である」と知っていて、その逆の「偶数ならば4の倍数である」も正しいと思い込み、反例を探さずに答える場面です。前の文が正しくても、条件と結論を入れ替えた文の正しさは別に調べます。数を1つ選んで条件と結論に順に当てはめると、向きの違いが見えてきます。

何を判断する問題か

集合と命題では、条件を満たすものの集まりを考え、ある集まりが別の集まりに含まれるかを判断します。「ならば」の前にある条件を満たすすべての対象について、後の結論も成り立つかが焦点です。対象となる数の範囲が変われば、答えが変わることもあります。まず問題文にある整数や実数などの範囲を見落とさないようにします。

出方の型は次の3つです。

1. 2つの集合の共通部分、和集合、補集合を求める型です。対象を一つずつ分類し、「かつ」「または」「でない」に対応させます。
2. 2つの条件の間で必要条件と十分条件を判断する型です。両方の向きの命題を別々に調べ、成り立たない向きには反例を挙げます。
3. 命題の逆や対偶を作り、その真偽を調べる型です。入れ替える操作と否定する操作を区別します。

図を描く前に条件の範囲を決め、図を描いた後に具体的な数を戻すと、図だけを頼りにした見落としを防げます。ここで扱うのは高校数学の集合と命題であり、抽象的な論理体系には立ち入りません。

用語と考え方：集まりと矢印を結ぶ

集合は、条件を満たす対象を集めたものです。対象の全体を全体集合 U と呼び、その中で条件 p を満たすものの集合を P、条件 q を満たすものの集合を Q とします。P の要素がどれも Q に入るとき、P は Q の部分集合であるといい、P ⊆ Q と表します。等しい集合も部分集合に含みます。

例えば U を整数全体、p を「4の倍数」、q を「偶数」とすると、4の倍数は偶数に含まれます。図1のように小さい領域 P が大きい領域 Q の内側にあれば、「p ならば q」は真です。P と Q の大きさではなく、P の外にはみ出す要素があるかを見ます。2 は偶数ですが4の倍数ではないので、Q 全体が P に入るわけではありません。

図1では P に入った数は Q にも入ります。一方、Q に入った数が P にも入るとは限りません。このとき p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件です。p が成り立てば q が保証されるので「p は十分」、p が成り立つには q が欠かせないので「q は必要」と読みます。

どちらの向きも真なら、2つの条件は必要十分条件です。この場合 P と Q は等しく、同じ対象を別の言い方で指定しています。どちらの向きも偽なら、どちらも相手の必要条件でも十分条件でもありません。片方の例が両方を満たすことだけでは、集合全体の包含関係は決まりません。

集合の演算も、対象を分ける言葉で捉えます。P ∩ Q は両方に入る共通部分、P ∪ Q は少なくとも一方に入る和集合です。「または」には両方に入る場合も含めます。P の補集合は U のうち P に入らない部分で、ここでは P̅ と書きます。U の外側は補集合に含めません。例えば U が整数全体なら、偶数の補集合は奇数ですが、U が実数全体なら整数でない数も含まれます。

命題「p ならば q」の逆は「q ならば p」です。対偶は「q でないならば p でない」で、順序を入れ替えたうえで両方を否定します。元の命題と対偶は必ず同じ真偽になります。一方、逆の真偽は元の命題からは決まりません。「4の倍数ならば偶数」の対偶は「偶数でないならば4の倍数でない」です。逆の「偶数ならば4の倍数」は別に調べます。

否定では境界にも注意します。「x > 3」の否定は「x ≤ 3」で、3を含みます。「x = 3」の否定は「x ≠ 3」です。「正である」の否定を単に「負である」とすると0が抜けます。反例は、前の条件を満たしながら後の結論を満たさない対象です。前の条件を満たさない数は、その命題への反例にはなりません。

基本例題：倍数の集合で向きを調べる

全体集合 U を1以上12以下の整数とします。P を3の倍数の集合、Q を6の倍数の集合とします。P ∩ Q、P ∪ Q、Q̅ の要素を小さい順にすべて書き、条件 p「x は6の倍数」と条件 q「x は3の倍数」について、p が q の必要条件か十分条件かを答えてください。両方の向きについて真偽と、偽なら反例も示します。

まず対象を1から12までと定め、条件に合う数を書き出します。

P = {3, 6, 9, 12}

Q = {6, 12}

両方に入るのは6と12です。少なくとも一方に入る数は、P の4つです。Q に入らない数は U の中から6と12を除いて求めます。

P ∩ Q = {6, 12}

P ∪ Q = {3, 6, 9, 12}

Q̅ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}

図2のように Q の要素はどちらも P に入ります。実際に6と12を3で割ると、それぞれ2と4で割り切れます。したがって「p ならば q」は真です。

逆の「q ならば p」はどうでしょうか。3は1以上12以下の整数で、3の倍数ですが6の倍数ではありません。よって3は逆の反例で、逆は偽です。p が成り立てば q は成り立つので、p は q の十分条件です。q が成り立っても p が成り立つとは限らず、p は q の必要条件ではありません。

答えを元の範囲に戻して確認します。P と Q の一覧はいずれも12以下の整数で、3ずつ、6ずつ数えたときに抜けがありません。共通部分には両方の一覧にある2数が入り、補集合には U の残り10数が入っています。補集合の10数と Q の2数を合わせると U の12数になり、重なりもありません。

「十分」と判定した根拠は、6と12のうち3の倍数でないものがないことです。逆向きは反例3によって否定できるので、残りの数をすべて調べなくても偽と決められます。ただし、例を1つ調べて結論も成立したという事実だけでは、その向きが真とは決められません。

少し難しい例題：実数の範囲と対偶

x を実数とし、p を「x > 2」、q を「x² > 4」とします。p は q の必要条件、十分条件のどちらですか。両方の向きの真偽を調べ、偽の向きには整数の反例を1つ挙げてください。また「p ならば q」の対偶を書いて真偽を答えます。

まず p ならば q を見ます。x > 2 なら x は正で、2より大きい正の数を2乗すると4より大きくなります。したがって「x > 2 ならば x² > 4」は真です。p は q の十分条件です。

逆を調べるには、x² > 4 の範囲を正負に分けます。x² > 4 は x > 2 または x < -2 と同じです。例えば x = -3 は x² = 9 > 4 を満たす一方、x > 2 を満たしません。-3は逆の反例ですから、「q ならば p」は偽で、p は q の必要条件ではありません。

対偶を作るときは、まず q の否定と p の否定をそれぞれ書きます。q の否定は x² ≤ 4、p の否定は x ≤ 2 です。よって対偶は「x² ≤ 4 ならば x ≤ 2」で、真です。実際に x² ≤ 4 から -2 ≤ x ≤ 2 となり、結論 x ≤ 2 に戻れます。

ここで x = 2 や x = -2 では x² = 4 ですから、q には入らず、その否定には入ります。境界を落とすと、元の条件と否定が対象全体を過不足なく分けられません。また x = -3 が反例になるのは、逆の前件 q を満たし、後件 p を満たさないためです。元の命題の前件 p は満たさないので、元の命題の反例ではありません。

誤答を直す：逆と対偶を混ぜない

整数 n について「n が6の倍数ならば、n は偶数である」とします。これに対して「対偶は、n が偶数ならば6の倍数である。元の命題が真だから対偶も真」と答えたとします。この文は操作を途中で止めた誤答です。

原因は、条件と結論を入れ替えた後、両方を否定していないことです。「偶数ならば6の倍数」は逆であって、対偶ではありません。実際、n = 2 は偶数ですが6の倍数ではなく、逆は偽です。元の命題が真であることと矛盾はしません。

修正するときは、先に否定を独立に書きます。「偶数でない」と「6の倍数でない」です。次に順序を入れ替えて、対偶を「n が偶数でないならば、n は6の倍数でない」とします。6の倍数は必ず偶数なので、偶数でない整数は6の倍数ではありません。図3のように、逆には反例2があり、対偶は元と同じ真偽です。

反例を出すときの別の失敗は、結論が偽という点だけを見て、前件を確かめないことです。例えば n = 1 は6の倍数ではありませんが、偶数でもありません。「偶数ならば6の倍数」の前件が成立しないため、1はこの逆への反例にはなりません。候補を見つけたら、前件が真、結論が偽の順に印を付けてから採用します。

必要と十分を取り違える場合は、言葉を先に覚え直すより矢印に戻ります。6の倍数の集合から偶数の集合への矢印は引けますが、逆の矢印は引けません。6の倍数であることは偶数であるために十分、偶数であることは6の倍数であるために必要です。どの条件が何の条件かまで一文で書き、主語と相手を省かずに点検します。

練習問題

答えを見る前に、条件の範囲、両方向の矢印、反例の前件を紙に書いてみてください。各問題の集合は要素を小さい順にすべて書き、数値は整数で答えます。

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} とします。A を U の奇数の集合、B を U の5の倍数の集合とします。A ∩ B、A ∪ B、B̅ を求めてください。
2. 整数 n について、p を「n は10の倍数」、q を「n は5の倍数」とします。p は q の必要条件、十分条件のどちらですか。偽となる向きには整数の反例を1つ挙げてください。
3. x を実数とし、p を「x = -1」、q を「x² = 1」とします。p は q の必要条件、十分条件のどちらですか。偽となる向きに整数の反例を1つ挙げてください。
4. 実数 x について「x ≥ 7 ならば x > 4」とします。その逆と対偶を書き、それぞれの真偽を答えてください。偽の命題には整数の反例を1つ挙げます。

練習問題の答えと解き方

1. A = {1, 3, 5, 7, 9}、B = {5, 10} です。したがって A ∩ B = {5}、A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 10}、B̅ = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} です。5は両方に入るため和集合では1回書きます。10は B に入りますが奇数ではありません。B とその補集合を合わせると、元の1から10までの整数に戻ります。

2. 10の倍数は 10k = 5 × 2k と表せるので、5の倍数でもあります。よって「p ならば q」は真です。逆は n = 5 で前件を満たし、10の倍数ではないので偽です。答えは、p は q の十分条件であり、必要条件ではありません。反例5を両方の条件に戻すことで向きを確認できます。

3. x = -1 なら x² = 1 なので「p ならば q」は真です。逆は x = 1 で x² = 1 を満たす一方、x = -1 を満たしません。p は q の十分条件であり、必要条件ではありません。x² = 1 の解は -1 と 1 であり、どちらも実数の範囲に入ります。正の解を忘れると、逆も真だと誤判定します。

4. 逆は「x > 4 ならば x ≥ 7」で偽です。例えば x = 5 は前件を満たし、結論を満たしません。対偶は「x ≤ 4 ならば x < 7」で真です。元の x ≥ 7 なら x > 4 も真で、対偶と真偽が一致します。4は対偶の前件に含まれ、7は元の前件に含まれます。境界を元の不等号へ戻すと、否定で等号を落としていないか確かめられます。

覚えておくこと

• P ⊆ Q なら、p は q の十分条件、q は p の必要条件です。
• 逆は前件と結論の交換、対偶は交換と両方の否定です。
• 偽を示す反例は、前件を満たし結論を満たさない対象です。
• 補集合と否定は、全体集合と境界を確かめて決めます。

つまずいた行から戻る

個別に解答を見るときは、まず反例の候補が前件を満たすと書かれた行を確かめます。そこが違えば結論の計算へ進む前に、対象の範囲と前件へ戻ります。前件は合っているのに十分・必要を逆に書いた場合は、2つの集合を描き、内側から外側へ矢印を引く行を確認します。

対偶の不等号に誤りがある場合は、入れ替える前に否定の境界を確認します。例えば「より大きい」の否定には等しい場合も入ります。お子さまが答えを言えたときも、具体例を条件に戻して説明できるかを見ると、暗記と理解の違いが見えます。集合の中に反例がどこにあるかを探すと、命題の向きを自分で判断できます。