数検準2級 二次方程式とグラフ—判別式と交点の対応から実数解の個数を調べる｜武蔵野個別指導塾

重解と接点の個数を区別し、放物線と直線の式を等しくして共有点を調べる手順をたどります。

よくあるのは、受験者が放物線と直線が接する図を見て、重解だから交点は2つあると数える場面です。式には同じ因数が2回現れても、座標が同じ点は1つです。解の書き方と点の個数を分けて考えると、この食い違いを解消できます。ここでは実数解とグラフの共有点を扱い、実数でない解には立ち入りません。

何を求める問題か

出方の型は大きく3つあります。1つ目は二次方程式の係数から判別式を計算し、異なる実数解の個数を答える型です。解の値まで必要とは限らないので、問題が求めるものを先に読みます。2つ目は放物線とx軸の共有点について、方程式の解と座標を対応させる型です。x座標がわかれば、x軸上なのでy座標は0です。

3つ目は放物線とx軸以外の直線の共有点を調べる型です。両方の式の右辺を等しくし、片方に集めて二次方程式にします。交点の個数は、その方程式の異なる実数解の個数と一致します。実際の座標を求めるなら、得たxを元の直線の式に戻してyも求めます。

同じ「1個」という答えでも、直線が放物線に接する場合と、二次の項が消えて一次方程式になる場合は区別が必要です。以下では、二次の係数が0にならないことを確かめて判別式を使います。係数に文字が含まれるときは、計算する前にその文字の値で次数が変わらないかを見ます。

解と交点をつなぐ

二次方程式 ax² + bx + c = 0 は、a、b、cが実数でaが0でない方程式です。左辺を f(x) とおくと、解とは f(x) = 0 を満たす実数xのことです。一方、放物線 y = f(x) の点がx軸上にある条件は y = 0 です。したがって方程式の実数解は、放物線とx軸の共有点のx座標になります。

判別式 D = b² − 4ac は、解の公式に現れる平方根の中身です。Dが正なら平方根を足す場合と引く場合で異なる2つの実数解が得られます。Dが0なら両方が同じ値になり、重解と呼びます。Dが負なら、その平方根は実数ではないので実数解はありません。グラフで言えば、順にx軸と2点で交わる、1点で接する、共有点がないという対応です。

図1のように、判別式の符号から個数を決めます。重解は因数が2つあるという意味と関係しますが、異なる値として数えると1個です。例えば (x − 2)(x − 2) = 0 なら、条件を満たす実数は2です。2を2回書いても異なる解が増えるわけではありません。

共有点を求めるときは、同じxに対して両方のyが等しいことを使います。放物線 y = f(x) と直線 y = g(x) なら、f(x) = g(x) です。この方程式の解をx座標とし、元のどちらかの式からy座標を求めます。元の2つの式に座標を代入して両方が成立すれば、求めた点が確かに共有点だと確認できます。

判別式は個数を決める道具であり、Dそのものが解や座標ではありません。またDが正でも解が正とは限りません。Dの符号が表すのは、異なる実数解が何個あるかという情報です。値の正負や座標を問われた場合は、必要な計算を続けます。求める量を丸で囲み、個数と座標を混同しないようにすると答案を見直しやすくなります。

判別式を使う前後の確認

判別式を計算する前に、式の右辺を0にそろえます。例えば右辺に文字を含む項が残っている状態では、その項を含めずに定数項を決めてしまうおそれがあります。移項した後は、x²の係数、xの係数、定数項の順に読みます。項がない場合も係数を0として扱うと、公式への代入が整理できます。

グラフを使うときは、交わる点が見える範囲だけで個数を決めないことも必要です。手描きの図では、遠くにある交点が紙の外へ出る場合があります。概形は判断の助けになりますが、個数は判別式や平方完成などの計算でも支えます。図と計算が異なるときは、放物線の開く向き、頂点、軸と、移項後の符号を順に調べます。

また、異なる2つのx座標があれば、対応する点も異なります。同じxに対して放物線のyは1つに決まるので、1つのx座標から異なる2つの共有点が生じることはありません。この対応が、方程式の実数解の個数を共有点の個数として読める理由です。

基本例題：x軸との交点

放物線 y = x² − 4x + 3 とx軸の共有点を求め、その個数を答えます。座標は整数で表してください。

x軸上ではyが0なので、次の方程式を作ります。

x² − 4x + 3 = 0

左辺を因数分解します。

(x − 1)(x − 3) = 0

積が0になるのは、少なくとも一方の因数が0のときです。

x − 1 = 0 または x − 3 = 0

よって、x = 1 または x = 3 です。x軸上の点なのでy = 0を組み合わせ、共有点は (1, 0)、(3, 0) の2点です。

図2のように、それぞれの解が横軸上の別々の点に対応します。頂点は平方完成した y = (x − 2)² − 1 から (2, -1) です。2つの交点は軸 x = 2 から等しい距離にあり、図の位置とも一致します。図の横軸と縦軸はともに目盛り1つが1です。

判別式でも個数を点検できます。a = 1、b = -4、c = 3 なので、

D = (-4)² − 4 × 1 × 3

D = 16 − 12 = 4

Dは正ですから異なる実数解は2個です。こちらは個数の確認であり、座標を得るには因数分解などで解く必要があります。最後に元の放物線へx = 1を代入すると 1 − 4 + 3 = 0、x = 3では 9 − 12 + 3 = 0 です。どちらもx軸の条件y = 0を満たします。

因数分解がすぐに見えないときも、先に判別式を使えば個数は判定できます。ただし座標まで求める問題で個数だけを書いて終えると不足です。逆に個数だけを求める問題なら、解の値を無理に計算せず、Dの符号と個数の対応を書けば十分です。

少し難しい例題：直線の高さを変える

放物線 y = x² − 2x − 3 と直線 y = k の共有点について、実数kの値によって共有点が2個、1個、0個となる範囲をそれぞれ求めます。境界は整数で表してください。

共有点では2つのyが等しいので、まず

x² − 2x − 3 = k

とおきます。右辺を左辺へ移します。

x² − 2x − 3 − k = 0

二次の係数は常に1で、kの値によって0になりません。したがって、この方程式に判別式を使えます。

D = (-2)² − 4 × 1 × (-3 − k)

D = 16 + 4k = 4(k + 4)

D > 0 は k > -4、D = 0 は k = -4、D < 0 は k < -4 です。よって共有点は、k > -4 で2個、k = -4 で1個、k < -4 で0個です。

この結果を元のグラフでも確かめます。平方完成すると y = (x − 1)² − 4 です。頂点の高さは-4で、上に開く放物線なので、その高さより上の水平線は左右で交わります。高さが-4なら頂点で接し、それより下なら交わりません。境界のk = -4を元の式に戻すと (x − 1)² = 0 で、共有点は (1, -4) です。放物線にも直線にも代入して成立します。

境界の等号をどこに入れるかは、図だけで曖昧にせずD = 0の行で確定します。接点を2個に含めると、隣り合う場合が重複します。3つの場合が重ならず、どの実数kも含むことまで見直します。

場合分けの境界を読む

この例ではkが直線の高さなので、kを変えても放物線の形は変わりません。境界をはさんだ値を1つずつ選んで確かめると、分類の向きを見失いにくくなります。例えばk = -3なら (x − 1)² = 1 となり、左右に2つの交点があります。k = -5なら (x − 1)² = -1 となり、実数のxでは成立しません。どちらも元の高さと頂点の位置に照らして確認できます。

一方、文字が放物線の二次の係数に入る問題では、同じ方法をそのまま適用できません。係数が0になる値では放物線を表さず、できた式が一次方程式や定数の式になる場合があるからです。その値を先に分け、残った範囲で二次方程式として判別式を使います。次数が変わる境界とDが0になる境界は、それぞれ別の理由で生じます。

誤答から直す：接点は何個か

放物線 y = x² − 6x + 9 とx軸の共有点について、「(x − 3)² = 0 だから x = 3、3。よって共有点は2個」と答えたとします。途中の因数分解は正しいのですが、最後の個数が違います。

原因は、重なった2つの解の表記を、異なる2点と取り違えたことです。x = 3を何回書いても、対応する点は (3, 0) のままです。元の式に代入しても 9 − 18 + 9 = 0 となり、確かにこの点は共有点です。平方は0以上なので、ほかのxではyが0になりません。

図3のように、頂点 (3, 0) でx軸に触れます。横軸と縦軸の目盛りはともに1です。正しくは重解 x = 3、共有点は (3, 0) の1個です。判別式でも D = (-6)² − 4 × 1 × 9 = 0 となり、同じ結論です。

もう1つの誤りは、直線との共有点を調べる際に、放物線の式だけを0とおくことです。それはx軸との交点を調べています。直線が y = 2x + 1 なら、放物線の右辺と 2x + 1 を等しくしてから移項します。どちらのグラフ上にもあるという条件に戻ると、何を等しくするかが見えます。

符号の誤りも別に点検します。特に定数項が負のとき、-4acの部分は負数を引く計算になることがあります。a、b、cを括弧付きで書き出し、その後に乗算と減算を行うと、判別式の符号を取り違えにくくなります。

練習問題

次の問題はすべて自作です。先に4問を解き、後の解答で元の条件まで確かめてください。座標は整数または分数で、個数は整数で答えます。

1. 方程式 x² + 2x − 8 = 0 の異なる実数解の個数と解を求めてください。
2. 放物線 y = x² − 2x + 5 とx軸の共有点の個数を求めてください。
3. 放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 の共有点を求めてください。
4. 放物線 y = 2x² + 4x + 1 と直線 y = t の共有点が1個となる実数tと、その共有点を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 左辺は (x + 4)(x − 2) なので、解は x = -4、2 の2個です。元の式に戻すと、x = -4 では 16 − 8 − 8 = 0、x = 2 では 4 + 4 − 8 = 0 です。2つは異なる値で、二次式の因数からほかの解はありません。

2. x軸ではy = 0です。対応する方程式の判別式は D = (-2)² − 4 × 1 × 5 = -16 ですから、共有点は0個です。別の見方では y = (x − 1)² + 4 であり、どの実数xでもyは4以上です。元のグラフがy = 0にならないことも確かめられます。

3. 共通の点では x² = 2x + 3 です。移項して x² − 2x − 3 = 0、因数分解すると (x − 3)(x + 1) = 0 です。x = 3、-1を直線に戻すと、それぞれy = 9、-1です。共有点は (3, 9)、(-1, -1) ではなく、後者は放物線に戻すと成立しません。計算をやり直すとx = -1のとき 2x + 3 = 1 です。したがって答えは (3, 9)、(-1, 1) です。放物線でも順に 3² = 9、(-1)² = 1 となり、両方の式に合います。

4. 共有点のx座標は 2x² + 4x + 1 − t = 0 の解です。D = 4² − 4 × 2 × (1 − t) = 8 + 8t なので、D = 0から t = -1 です。元の放物線は y = 2(x + 1)² − 1 と書け、y = -1となるのは x = -1 です。共有点は (-1, -1) です。元の式に代入すると 2 − 4 + 1 = -1 で、直線の高さにも一致します。

覚えておくこと

• 方程式の実数解は、対応する放物線とx軸の共有点のx座標です。
• Dが正、0、負の順に、異なる実数解は2個、1個、0個です。
• 直線との共有点は両方のyを等しくして調べます。
• 座標を求めたら、元の2つの式に戻して確かめます。

つまずいた行を見つける

個別指導で解答を見るときは、最初に何を0とおいたかを確認します。直線との共有点なのに放物線の式だけを0とおいていたら、同じ点のy座標を等しくするところへ戻ります。判別式の値が合わなければ、移項後のa、b、cと括弧の付いた代入行を見ます。

計算が合っていて個数が違う場合は、重解の行と点の座標を並べます。同じ座標を2回数えていないかを、図と式で確認します。座標の片方しか書けない場合は、得られたxを元の直線に代入するところからやり直します。式の解と点の個数が対応すると、接する場合も迷わず数えられます。