数検準2級 二次不等式—放物線の上下と境界の扱いから解の範囲を決める｜武蔵野個別指導塾

二次の係数が負の式と重解を持つ式を解き、放物線の上下と境界の等号から解の範囲を決めます。

よくあるのは、受験者が二次の係数が負の式でも、方程式の根の外側をそのまま解にする場面です。根の位置は正しく求められていても、放物線が上向きか下向きかを見ずに範囲を選ぶと、正負が逆になります。境界の値を答えに入れるかも、最後に不等号を見直す必要があります。紙に軸と根を描き、求める高さの部分を選ぶ練習から始めます。

問われるのは根の位置と符号の範囲

二次不等式は、二次式の値が正、負、または0を含む範囲を求める問題です。方程式を解いて得た数は範囲を区切る境界であり、その数を並べただけでは答えになりません。例えば、ある範囲で式の値が負なら、対応する放物線は x 軸より下にあります。式の値が0になる点は軸上にあり、不等号が等号を含む場合に限って解に加えます。

出方には、因数分解して2つの境界を求め、間か外側かを選ぶ型があります。また、平方の形から軸に接する場合を読み、接点を含むか除くかを考える型もあります。さらに、軸と交わらない放物線について、常に正か常に負かを判断する型があります。どの型でも、まず右辺を0にそろえ、次にグラフの向きと軸との位置を見ます。

数検準2級の公式の検定内容には二次不等式が含まれます。ここで扱うのは実数の範囲での符号と境界で、変数を含む係数を場合分けする問題には広げません。下の問題は学習用に作ったもので、具体的な出題を予告するものではありません。

軸より上か下かを読む

二次式 f(x) を用意して y = f(x) とすると、f(x) > 0 はグラフが x 軸より上、f(x) < 0 は下にある部分に対応します。f(x) = 0 を満たす x が、グラフと x 軸の共有点の横座標です。右辺が0でなければ、両辺から右辺を引いてから、この対応を使います。

二次の係数が正なら放物線は下に凸で、両端は上へ伸びます。負なら上に凸で、両端は下へ伸びます。図1のように、異なる2つの根を小さい順に a、b とすると、正の係数では外側が正、間が負です。負の係数では正負が逆になります。a と b では値が0なので、正とも負とも分けて扱います。

図1の表では、左から x < a、a < x < b、x > b の順に見ます。例えば係数が負なら、両端は軸より下、2つの根の間は軸より上です。根そのものは表の正負の欄には入らないため、最後に等号を見て追加します。根を求めた後に係数の符号を忘れる人は、表の行を選んでから範囲を書き始めると整理できます。

重解は、方程式の2つの解が一致する場合です。例えば f(x) = 2(x − 1)² なら、x = 1 で値が0になり、ほかでは平方が正なので f(x) は正です。グラフは軸に接し、接点の前後で符号は変わりません。下向きの場合は、接点以外で負になります。交点が1つだからといって、接点の両側で必ず符号が変わるわけではありません。

実数の根がない場合は x 軸との共有点がありません。上向きならグラフ全体が軸より上、下向きなら全体が下です。平方完成すると、その理由を式でも追えます。例えば (x + 2)² + 3 は平方が0以上なので常に正です。逆に -(x + 2)² − 3 は常に負です。求める符号と一致しなければ解なし、一致すればすべての実数が解です。0になる点がないため、等号の有無で結果は変わりません。

範囲を不等号で書くときは、連続した間なら「a < x < b」、離れた外側なら「x < a または x > b」と表します。外側は1本の不等式で挟めないので、2つの範囲を「または」で結びます。一方、「かつ」で結ぶと両方の条件を同時に満たすことになり、a < b なら外側の2条件を同時には満たせません。

軸と交わるかがすぐにわからない式でも、最初にグラフを正確な縮尺で描く必要はありません。二次の係数の符号で向きを決め、根の個数と位置を調べれば、符号を選ぶための概形を描けます。根の近似値を使う場合も大小関係と境界を含むかを明記し、計算の途中で根を解そのものと取り違えないようにします。

根が因数分解で見つからないときは、平方完成や判別式も使えます。ax² + bx + c = 0 の判別式 b² − 4ac が正なら異なる2実根、0なら重解、負なら実数の根はありません。ただし個数がわかった後も、係数の正負と求める不等号を見て範囲を決めます。

基本例題：下向きのグラフで正の範囲を選ぶ

次の不等式を解き、解を不等号を使って範囲で表してください。x は実数とします。

-x² + 2x + 3 ≧ 0

右辺はすでに0です。まず左辺が0になる境界を求めます。先頭の負号を外に出すと、括弧の中を因数分解しやすくなります。

-x² + 2x + 3 = 0

-(x² − 2x − 3) = 0

-(x + 1)(x − 3) = 0

x + 1 = 0 または x − 3 = 0

x = -1 または x = 3

境界は小さい順に -1、3 です。続いて左辺を y としたグラフの向きを調べます。二次の係数は -1 なので、放物線は上に凸です。図2のように、2つの交点の間で軸より上になり、外側では軸より下になります。平方完成すると頂点の位置も求められます。

-y = x² − 2x − 3

-y = (x − 1)² − 4

y = -(x − 1)² + 4

頂点は (1, 4) です。図2では x、y ともに1目盛りを1としており、頂点は2つの根の中間にあります。問題の ≧ は0以上を意味するので、軸より上の部分に加えて軸上の2点も含めます。

したがって答えは -1 ≦ x ≦ 3 です。端点を元の左辺に代入すると、x = -1 では -1 − 2 + 3 = 0、x = 3 では -9 + 6 + 3 = 0 となり、両方とも条件に合います。間の x = 1 では4、外側の x = 4 では -5 です。図で選んだ上側と下側が、元の式の値でも対応しています。

境界以外の代表値の代入は、範囲を選ぶ向きの点検に役立ちます。ただし各区間の値がすべて同じ符号になる理由は、2つの根と放物線の形から説明します。代表値の計算だけで境界を含むかを決めず、元の不等号へ戻ることが必要です。

少し難しい例題：重解と根のない場合

次の2つの不等式をそれぞれ解き、解を実数の範囲で表してください。解がない場合は「解なし」、範囲を限定しない場合は「すべての実数」と書いてください。

ア　-2x² + 8x − 8 < 0

イ　x² − 4x + 7 ≦ 0

アでは負の係数をまとめて平方の形にします。

-2x² + 8x − 8 = -2(x² − 4x + 4)

= -2(x − 2)²

平方は0以上ですから、-2(x − 2)² は0以下です。x = 2 のとき0、それ以外では負になります。求めるのは0より小さい値なので、答えは x < 2 または x > 2 です。接点を抜いて両側を残します。もし < が ≦ なら x = 2 も含まれ、すべての実数が解になります。

元の式でも x = 2 を代入すると -8 + 16 − 8 = 0 です。x = 1 と x = 3 ではそれぞれ -2 となり、接点の左右がともに条件を満たします。平方の値は x = 2 以外で必ず正なので、代表値に限らずこの結論が成り立ちます。

イでは平方完成します。

x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3

(x − 2)² ≧ 0 なので、左辺は少なくとも3です。0以下にはならず、答えは解なしです。元の式に x = 2 を代入すると 4 − 8 + 7 = 3 で、平方が最小のところでも条件を満たしません。判別式でも 16 − 28 = -12 となり、実数の根がないことを確認できます。二次の係数は正なので、軸と交わらないグラフは全体が上にあります。

アは軸に接して1点で0になるのに対し、イは軸に届きません。「交わらない」と「接する」を混同すると、解なしと1点を除く範囲を取り違えます。式を平方の形にして、0になる場所があるかを最初に確認します。

誤答から戻る：外側を選んでしまったら

不等式 -x² + 4 > 0 を解くとき、x < -2 または x > 2 と答えたとします。方程式 -x² + 4 = 0 から根 -2、2 を得るところまでは正しいものの、正の範囲の選び方が逆です。図3のように、左辺は -(x + 2)(x − 2) で、二次の係数が負です。2つの根の外側は負、間は正になります。

誤答の範囲から x = 3 を選ぶと、元の左辺は -9 + 4 = -5 です。0より大きいという条件に合わないため、この答えは成り立ちません。同じ誤答でも、根の計算自体が間違っている場合には、先に因数を展開して元の左辺に戻す確認が必要です。正しい境界を土台にしてから、符号の区間を選び直します。範囲を選ぶ前の行に戻り、負の係数の放物線を描いて軸より上の部分を探します。修正後の答えは -2 < x < 2 です。

両端では左辺が0になるので、> という厳しい不等号では含めません。間の x = 0 では左辺が4となり、元の条件に合います。もし条件が ≧ なら両端も含め、-2 ≦ x ≦ 2 とします。範囲の向きと端点の扱いは別々に点検すると、片方が合っている答案も直しやすくなります。

別の間違いは、重解で符号が切り替わると思うことです。平方の形では、接点の左右で平方がともに正かを見直します。また、右辺が0でない式のまま根を求めた場合は、まず移項した式が元の不等式と同じ条件を表すかを確かめます。負の数で両辺を割る方法を使うときは、不等号の向きも逆にします。

練習問題

いずれも x は実数です。解は不等号を使った範囲で表し、必要なら「解なし」または「すべての実数」と書いてください。4問を解き終えてから、後の解答で境界と符号を見直します。

1. x² − x − 6 < 0 を解いてください。
2. -x² − 2x + 8 ≦ 0 を解いてください。
3. 3x² + 12x + 12 ≦ 0 を解いてください。
4. -x² + 6x − 11 > 0 を解いてください。

練習の答えと解き方

1

x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3) です。境界は -2 と 3、二次の係数は正なので、間で負になります。答えは -2 < x < 3 です。等号を含まないため、左辺が0になる両端は入りません。

元の式に x = 0 を代入すると -6、x = 4 を代入すると6です。選んだ間は負で、外側の点は条件に合いません。因数の積は2つの境界の外では同符号の積、間では異符号の積なので、区間全体でも符号を確認できます。

2

左辺は -(x + 4)(x − 2) です。根は -4 と 2 で、負の係数なので外側が負です。0以下を求めるため、答えは x ≦ -4 または x ≧ 2 です。0になる2つの境界も含めます。

x = -4 では -16 + 8 + 8 = 0、x = 2 では -4 − 4 + 8 = 0 です。間の x = 0 では8となり、0以下にはなりません。元の条件で端点と間を確かめると、外側を選ぶ理由が明確になります。

3

3x² + 12x + 12 = 3(x + 2)² です。平方は0以上で係数も正なので、この式が0以下になるのは平方が0のときです。答えは x = -2 です。点1つも範囲の答えになり、解なしとは異なります。

元の式に -2 を代入すると 12 − 24 + 12 = 0 です。例えば -1 では3となり、等号を含む条件でも選べません。平方は x = -2 以外で正なので、ほかに解はありません。

4

-x² + 6x − 11 = -(x − 3)² − 2 です。平方の前が負で、さらに2を引くので、左辺は常に -2 以下です。0より大きくなることはなく、答えは解なしです。

x = 3 を元の式に戻すと -9 + 18 − 11 = -2 です。この値は平方が0のときの最大値で、それでも正ではありません。グラフは下向きで x 軸より下にあり、接点も持ちません。

覚えておくこと

• 右辺を0にし、方程式の実数の根を境界として求めます。
• 2実根では係数の正負から放物線の向きを決め、軸の上下を読みます。
• 重解では接点の前後で符号は変わらず、実根がなければ符号は一定です。
• 等号があるときに限り、式が0になる境界を解に含めます。
• 元の式に境界や代表値を戻し、求めた範囲と照合します。

つまずきの行を見つける

個別指導で答案を見るときは、まず境界を出した行と範囲を書いた行を分けて確認します。根が違えば、移項や因数分解を展開して元の式に戻します。根が合っていて範囲が逆なら、二次の係数の符号を書き添え、軸より上か下かを図で選び直します。

端点だけが違う場合は元の不等号に戻り、等号があるかを指で追います。お子さまが重解と根なしを混同しているときは、平方完成した式が0になる点を実際に探します。放物線の向き、軸との位置、境界の3点をそろえると、二次不等式の解が定まります。