数検3級 相似比と面積比—辺の比を二乗して面積の比と差を求める練習｜武蔵野個別指導塾

対応する辺の比から面積を求め、内側を除いた部分にも目を向けて相似比と面積比を使いこなそう。

よくあるのは、相似な2つの図形を見て、辺が2倍なら面積も2倍と考える場面です。長さを比べる目は合っていますが、面積は縦にも横にも広がります。対応する辺の比と面積の比を別々に書くと、答えまでの道筋が見えてきます。ここでは平面図形の面積と、内側を除いて残る部分を扱います。

どの面積を比べるか

出方の1つ目は、相似な2つの図形の対応する辺と、片方の面積が与えられる型です。辺の比をそろえ、それぞれを二乗して面積比に直します。次に、与えられた面積が比のどちらに当たるかを確かめ、もう一方の面積を求めます。相似な図形は向きが違っても、対応する辺どうしで比べます。

2つ目は、大きな図形の中に小さな相似図形があり、その外側の面積を求める型です。面積比で直接わかるのは、小さな図形と大きな図形の比です。残った部分が必要なら、大きい面積から小さい面積を引きます。残った部分そのものを、元の図形と相似だと考える必要はありません。

3つ目は、面積の差が先に与えられる型です。たとえば面積比が4:9なら、差は9から4を引いた5に当たります。この5に相当する面積から、比の1当たりの面積を出します。面積比の数字をそのまま実際の面積と読み違えないことが、どの型でも出発点です。

辺の比から面積の比へ

相似な図形では、対応する長さの比を相似比といいます。小さい図形の対応する辺が3 cm、大きい図形の辺が6 cmなら、相似比は小さい方から3:6、つまり1:2です。どちらを先に書いたかがわかるよう、図形の名前も添えておきます。

図1のように、一辺3 cmの正方形を縦横とも2倍にすると、一辺6 cmの正方形になります。小さい正方形の面積は3×3で9 cm²、大きい方は6×6で36 cm²です。面積は2倍ではなく4倍です。大きい正方形は、小さい正方形と同じ面積の部分4つに分けられます。

図1では長さの比が1:2で、面積の比は1:4です。縦も横も2倍なので、面積には2を2回掛けます。三角形でも、対応する底辺と高さが同じ倍率で伸びます。底辺×高さ÷2の÷2は両方に共通するので、面積の倍率は長さの倍率を二乗したものです。

一般に相似比がa:bなら、面積比はa²:b²です。比の両側をそれぞれ二乗します。たとえば2:3を4:6にしてから二乗すると16:36ですが、これも4:9に直せます。約分を先にしても後にしても同じ比になります。面積比から長さの比を探すときは、対応する正の数を二乗するとその面積比になるかを確かめます。

相似という条件がない場合、1組の辺が2倍という情報だけでは面積比を決められません。縦だけ2倍で横が変わらない長方形なら、面積は2倍です。対応する長さが同じ倍率で変わることを、問題の条件や相似の根拠で確認してから面積比を使います。

小さい三角形の面積を求める

例題。三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DEはBCに平行です。ADは4 cm、ABは10 cm、三角形ABCの面積は75 cm²です。三角形ADEの面積と四角形DBCEの面積を、それぞれcm²を付けて答えてください。

図2のように、小さい三角形ADEと大きい三角形ABCの対応を見ます。平行線の同位角と共通の角から2組の角が等しいので、三角形ADEと三角形ABCは相似です。ADに対応するのはABです。DからBまでの長さとABを比べるのではありません。

図2で面積が与えられているのは外側を含む三角形ABC全体です。次のように1行ずつ進めます。

1. 相似比は ADE:ABC = AD:AB = 4:10 = 2:5。
2. 面積比は ADE:ABC = 2²:5² = 4:25。
3. 三角形ABCの面積75 cm²が25に当たるので、比の1当たりは75÷25 = 3 cm²。
4. 三角形ADEの面積は3×4 = 12 cm²。
5. 四角形DBCEの面積は75 − 12 = 63 cm²。

答えは三角形ADEが12 cm²、四角形DBCEが63 cm²です。面積比の残りは25 − 4 = 21なので、3×21 = 63 cm²としても求められます。どちらの方法でも、まず全体が25に当たるという対応をはっきりさせます。

場面に戻すと、小さい面積12と残り63の和は75です。また12:75は4:25なので、相似比2:5を二乗した比とも一致します。小さい図形は全体の内側にあるため、その面積が75 cm²を超えていないことも確認できます。和の確認だけではそれぞれの値の取り違えを見落とすため、比も合わせて点検します。

差から全体に戻る

例題。相似な2枚の三角形の対応する辺の比は、小さい方から3:5です。大きい三角形の面積は小さい三角形の面積より64 cm²大きいとします。それぞれの面積をcm²を付けて答えてください。

ここで与えられた64 cm²は、大きい三角形の面積ではなく2つの面積の差です。2枚は重ねて配置されているとは限りませんが、面積の数値の差を比べることはできます。相似比を二乗すると、面積比は9:25です。

小さい面積を比の9、大きい面積を比の25と見ると、差は25 − 9 = 16に当たります。したがって、比の1当たりの面積は64÷16 = 4 cm²です。小さい面積は9×4 = 36 cm²、大きい面積は25×4 = 100 cm²です。

答えを元の条件へ戻すと、100 − 36 = 64 cm²で、指定された差と合います。さらに36:100 = 9:25で、辺の比3:5を二乗した比です。大きい方に64をそのまま割り当てると、差の条件を満たす保証がありません。問題文の「より大きい」を見たら、どちらの面積でもなく差に印を付けます。

判断の分かれ目は、与えられた量が全体か差かです。全体の面積なら対応する比の数で割り、差なら比の差で割ります。小さい面積が与えられる場合も同様で、小さい側の比の数を使います。比の1当たりが求まれば、必要な側に掛けて戻せます。

2倍をそのまま面積に使ったら

図3の正方形を考えます。一辺が3 cmの正方形と、一辺が6 cmの正方形は相似です。小さい面積が9 cm²なので、大きい面積を9×2 = 18 cm²とする答えは誤りです。辺が2倍という事実は正しいのですが、面積を作るもう一方の方向の2倍が抜けています。

図3のように、大きい正方形の面積は6×6 = 36 cm²です。小さい面積9 cm²の4倍になっています。直すときは「長さの倍率2」と書いた後に「面積の倍率2×2 = 4」を別の行に置き、9×4 = 36 cm²とします。計算に入る前に長さと面積を分けると、同じ間違いを見つけやすくなります。

別の誤りとして、相似比が2:5のときに面積比を2:25とする場合があります。片方だけ二乗しているため、対応する両方の倍率を変えられていません。正しくは4:25です。最初に小さい方から大きい方へ比を書き、その順を保ったまま両側を二乗します。

面積比を正しく作っても、差の扱いで間違うことがあります。比が4:25なら、外側の部分は全体の25のうち21に当たります。4と25を足した29を全体とすると、小さい部分を二重に数えます。小さい図形が全体の内側にある図では、全体は小さい部分と残りに分かれると確かめます。

自分で比を置く練習

次の問題はそれぞれ独立しています。図形は問題に書かれた条件を満たすものとし、面積にはcm²を付けて答えてください。先に4問を解き、何が比のどの数に当たるかも書いてから答えを見ます。

1. 相似な2つの長方形の対応する辺の比は、小さい方から2:3です。小さい長方形の面積が20 cm²のとき、大きい長方形の面積を求めてください。
2. 三角形PQRの辺PQ上に点S、辺PR上に点Tがあり、STはQRに平行です。PSは6 cm、PQは9 cm、三角形PQRの面積は81 cm²です。三角形PSTと四角形SQRTの面積をそれぞれ求めてください。
3. 相似な2つの五角形の対応する辺の比は、小さい方から1:3です。大きい五角形の面積は小さい五角形の面積より40 cm²大きいとします。それぞれの面積を求めてください。
4. 相似な2つの正方形の面積は、小さい方が16 cm²、大きい方が100 cm²です。対応する辺の比を小さい方から最も簡単な整数の比で答えてください。

練習の答えと戻し方

1の答えは45 cm²です。相似比2:3を二乗すると面積比は4:9です。小さい面積20 cm²が4に当たるので、1当たりは20÷4 = 5 cm²、大きい面積は5×9 = 45 cm²です。20:45を約分すると4:9になり、与えられた相似比と合います。大きい方の面積が小さい方より大きいことも確認できます。

2の答えは三角形PSTが36 cm²、四角形SQRTが45 cm²です。平行線から三角形PSTと三角形PQRは相似です。対応する辺PS:PQは6:9 = 2:3、面積比は4:9です。全体81 cm²が9に当たるため、1当たりは9 cm²、小さい三角形は9×4 = 36 cm²です。残りは81 − 36 = 45 cm²です。36と45を合わせると81に戻り、36:81も4:9です。四角形を相似な三角形とみなさず、差で求めています。

3の答えは小さい方が5 cm²、大きい方が45 cm²です。面積比は1:9で、その差は8に当たります。差40 cm²を8で割ると1当たり5 cm²です。それぞれ5×1と5×9で求めます。45 − 5 = 40 cm²なので差の条件に戻り、5:45 = 1:9も成り立ちます。40を大きい方の面積とみなさないことがポイントです。

4の答えは2:5です。面積比16:100を約分すると4:25です。2と5をそれぞれ二乗すると4と25になるので、正の長さの比は2:5です。逆に2²:5² = 4:25で、16:100と一致します。面積比をそのまま辺の比にしていないか、二乗して戻すと確かめられます。

比の使い道を見直す

比は、面積の単位を省いたまま大小の関係を表します。面積比が4:9というだけでは、面積が4 cm²と9 cm²とは決まりません。たとえば8 cm²と18 cm²でも、12 cm²と27 cm²でも同じ比です。実際の面積を決めるには、片方の面積や差など、比の1当たりを決める情報が必要です。

反対に、面積の差だけがわかっても、相似比がなければそれぞれの面積は決まりません。差が同じでも、2つの面積の組はいくつも考えられるからです。問題を読むときは、形を結び付ける相似の条件と、実際の大きさを決める面積の条件を分けて探します。

面積比が逆向きになっていないかは、図形の大小で点検できます。小さい図形から大きい図形への相似比が1より小さい比なら、面積比でも小さい側の数が小さくなります。ただし、大小が合うだけでは正しい二乗をした証明にはなりません。対応の順と計算の両方を確かめます。

図に長さが複数書かれているときは、線の見た目が近いものではなく、対応する頂点を結ぶ辺を選びます。内側と外側の三角形なら共通の頂点から同じ方向へ伸びる辺を比べ、部分と全体を混ぜないようにします。比を作った後は、どの領域の面積を求めるのか図に印を付けると、最後の引き算まで迷いにくくなります。

覚えておくこと

相似な図形の対応する辺を同じ順に並べます。
相似比の両側を二乗して面積比に直します。
与えられた面積が小さい方、全体、差のどれかを見ます。
残りの面積は全体から内側を引いて求めます。
答えを面積比と元の条件に戻して確かめます。

どこで止まったかを見る

辺の比が作れないときは、対応する頂点を同じ順に書き、部分の辺と全体の辺を指でたどります。比は作れたのに面積が合わないときは、比の両側を二乗したか、与えられた面積を正しい側に置いたかを順に見ます。残りを求める問題では、どの領域を引くかを図に書き込むと原因を分けられます。

個別指導では、お子さまに式の答えだけでなく、比の1が何cm²を表すかを説明してもらいます。差を使う問題では、比の差と実際の差を結び付けられるかも確かめます。辺の対応から面積を戻すまでを言葉にすると、次の図でも使える判断が残ります。