数検3級 相似比と体積比—長さの比を三乗して立体の体積を比べる練習｜武蔵野個別指導塾

高さだけで相似と判断する誤りを見直し、長さ・表面積・体積の比を整理します。角すいを切った残りは、元の体積から引いて求めましょう。

よくあるのは、2つの立体の高さを見比べ、高さの比がわかったところで相似だと決めてしまう場面です。高さが同じ割合でも、底面の幅が違う割合で変われば形は変わります。体積比を計算する前に、対応する長さが同じ割合で変わっているか、問題の条件を読みましょう。

相似な立体では、長さの比から表面積の比と体積の比を求められます。ただし、どの立体を先に比べたか、求めたいのが立体全体か残った部分かを取り違えると、計算が合っていても答えは変わります。単位まで含めて、順に確かめていきます。

立体を比べる3つの型

1つ目は、相似な2つの立体について、対応する長さと一方の体積が与えられ、もう一方の体積を求める型です。高さ、底面の辺、円の半径など、対応する長さの比を先に決め、その比を三乗します。小さい立体から大きい立体へ比べるなら、体積も大きくなるはずです。結果の大小が逆なら比の向きを見直します。

2つ目は、表面積から長さの比を見つけ、さらに体積を比べる型です。相似な立体の表面積の比は長さの比の二乗なので、まず二乗する前の正の比を探します。面積比をそのまま三乗すると、長さの変化を二重に数えたことになります。長さの比を一度書き直すことが分かれ目です。

3つ目は、角すいなどを底面に平行な平面で切り、上の小さい立体と残りを扱う型です。小さい立体と元の立体は相似でも、残りの部分は元の立体と相似とは限りません。体積は元の立体から小さい立体を引いて求めます。小さい立体と元の立体の比と、小さい立体と残りの比も異なります。

これらは練習のための型です。問題文に相似という条件や相似を導ける条件がないときは、三乗の規則を使えるかを先に調べます。長さが1か所わかっただけでは、残りの方向の伸び方は決まりません。

長さ、面積、体積の対応をそろえる

相似な立体は、一方を一定の倍率で拡大または縮小すると、もう一方に重ねられる形です。対応する長さの比を小さい立体から大きい立体へ a:b とすると、対応する面の面積比は a²:b²、表面積比も a²:b² です。表面積は対応する各面の面積の合計なので、それぞれが同じ割合で変われば合計も同じ割合で変わります。曲面を含む場合も、相似な立体の表面積には同じ関係が成り立ちます。

体積比は a×a×a:b×b×b、つまり a の三乗と b の三乗の比です。縦、横、高さを同じ倍率で変える直方体を考えると、体積には3方向の倍率が掛かります。図1は、この長さ・面積・体積の比を並べた表です。直方体以外の相似な立体にも、この体積比の関係を使います。

図1のように、長さが 2:3 のとき、面積は 4:9、体積は 8:27 です。比は順番込みで読みます。大きい方を先にすれば、それぞれ 3:2、9:4、27:8 です。片方の比だけを逆にすると、別の立体に対応させた式になります。

長さの単位が cm なら面積は cm²、体積は cm³ です。比そのものには単位を書きませんが、比を作る前に同じ種類の量を同じ単位にそろえます。例えば高さを m と cm で測ったまま数値だけ比べることはできません。立体の実際の体積を求めた最後には、問題の求める単位を付けます。

相似かどうかは図の見た目だけで判断しません。高さの比が 2:3 でも、対応する底面の辺の比が 1:2 なら、どちらも同じ倍率で伸ばせないので相似ではありません。逆に高さの比が同じだという情報しかなければ、相似とも相似でないとも決められません。条件が足りないと気づくことも、比を使う前の大切な判断です。

基本例題：模型の体積を比べる

相似な2つの角柱があります。小さい角柱の高さは 4 cm、大きい角柱の対応する高さは 6 cm です。小さい角柱の体積が 80 cm³ のとき、大きい角柱の体積を整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように、まず高さを小さい方から大きい方の順に並べます。2つの角柱は相似と与えられているので、対応する高さの比は立体の相似比です。高さだけを根拠に相似と決めたわけではありません。

図2のように順番を固定し、1行ずつ計算します。

小さい角柱:大きい角柱の長さの比 = 4:6 = 2:3

体積比 = 2×2×2:3×3×3 = 8:27

大きい角柱の体積を x cm³ とすると、80:x = 8:27

x = 80×27÷8

x = 270

答えは 270 cm³ です。80 cm³ が比の 8 に当たるので、比の 1 に当たる体積は 10 cm³ です。大きい方の 27 は 270 cm³ となり、対応の向きを別の方法でも確認できます。

場面へ戻して確かめます。大きい方を小さい方に縮める倍率は 4/6 = 2/3 ですから、270×2/3×2/3×2/3 = 80 cm³ です。与えられた小さい角柱の体積に戻ります。また、高さが増え、相似によってほかの対応する長さも増えるので、体積が 80 cm³ より大きいことも自然です。もし 80×8÷27 と計算して小さい値になったら、比を逆向きに使っていないかを調べます。

体積比を 2:3 として 120 cm³ と答えた場合、高さの倍率を1回しか掛けていません。相似な立体では底面も同じ倍率で拡大するため、底面積の倍率は 3/2 の二乗です。さらに高さの倍率を掛けて、全体で 3/2 の三乗になります。比の式の直前に「長さ」「体積」と書き分けると、この取り違えを見つけやすくなります。

切り取った後の体積は何と比べるか

底面が正方形の角すいを、底面に平行な平面で切ります。頂点側にできる小さい角すいの高さは 3 cm、元の角すいの高さは 9 cm です。元の角すいの体積が 324 cm³ のとき、底面側に残る部分の体積を整数で、単位を付けて求めてください。

平行な面で切っているため、頂点側の角すいと元の角すいは相似です。対応する高さの比は小:元 = 3:9 = 1:3、体積比は 1:27 です。元の体積 324 cm³ を 27 等分したうちの 1 つが小さい角すいなので、324÷27 = 12 cm³ です。残る部分は 324 − 12 = 312 cm³ となります。

ここで 1:27 を小さい角すいと残りの比と考えると、引く相手を誤ります。27 は元の角すい全体を表します。残りは比の上で 27 − 1 = 26 に当たり、小さい角すい:残り = 1:26 です。求めたいのが残りなら、全体を先に出して引くか、全体の 26/27 を使うかを選べます。

戻して確かめると、312 + 12 = 324 cm³ です。さらに小さい体積 12 cm³ は元の 324 cm³ の 1/27 で、高さの比 1:3 の三乗に一致します。引き算が合うだけでなく、切り取った側も条件に合うことまで見ます。なお、残りの部分は角すいの先端を切り落とした形です。元の角すいにそのまま相似比を当てはめないでください。

高さだけを見た誤答を直す

次の2つの直方体を考えます。直方体Aは縦 2 cm、横 3 cm、高さ 4 cm、直方体Bは縦 4 cm、横 9 cm、高さ 8 cm です。「高さが2倍だから相似で、Bの体積はAの8倍」とする答えは誤りです。図3のように、高さ以外の辺も同じ倍率か調べます。

図3のように、縦は 2倍、高さも 2倍ですが、横は 3倍です。辺の長さを小さい順に並べても、Aの 2、3、4 とBの 4、8、9 は同じ倍率で対応しません。したがって、向きを変えてもこの2つは相似ではありません。実際の体積はAが 2×3×4 = 24 cm³、Bが 4×9×8 = 288 cm³ で、BはAの 12倍です。高さの2倍を三乗して出した8倍にはなりません。

直し方は、まず相似と書かれているかを探し、なければ形と対応する長さの条件を点検することです。直方体なら3方向の辺を対応させて倍率を比べられます。1方向しか与えられていない場合は不足する情報を明示し、体積比を決めずに止めます。相似でないことがわかる例と、相似かどうか決められない例は区別してください。

練習問題

次の問題は先にまとめて解き、後の答えで比の順番と単位を確かめてください。いずれも自作の問題です。

1. 相似な2つの立方体の辺の長さは、小さい方が 3 cm、大きい方が 5 cm です。小さい立方体の表面積と大きい立方体の表面積の比、体積の比を、それぞれ小さい方:大きい方の最も簡単な整数の比で求めてください。

2. 相似な2つの円柱の表面積は、小さい方が 216 cm²、大きい方が 600 cm² です。小さい円柱の体積が 81 cm³ のとき、大きい円柱の体積を整数で、単位を付けて求めてください。

3. 相似な2つの球の体積比が、小さい方:大きい方 = 8:125 です。大きい球の直径は 20 cm です。小さい球の直径を整数で、単位を付けて求めてください。

4. 底面が正方形の角すいを底面に平行な平面で切ると、頂点側に高さ 4 cm の小さい角すいができます。元の角すいの高さは 10 cm、体積は 500 cm³ です。底面側に残った部分の体積を整数で、単位を付けて求めてください。

5. 直方体Cは縦 2 cm、横 4 cm、高さ 6 cm、直方体Dは縦 3 cm、横 6 cm、高さ 9 cm です。2つが相似かを答え、相似ならC:Dの体積比を最も簡単な整数の比で求めてください。さらに、高さがそれぞれ 6 cm と 9 cm であることだけがわかる別の2つの直方体について、相似かどうか決められるか答えてください。

練習の答えと道筋

1. 表面積比は 9:25、体積比は 27:125 です。長さの比が 3:5 なので、それぞれ二乗、三乗します。実際に表面積は 6×3×3 = 54 cm² と 6×5×5 = 150 cm² で、54:150 = 9:25 です。体積は 27 cm³ と 125 cm³ で、比も条件に戻ります。面積比にも体積比にも単位は不要です。

2. 表面積比は 216:600 = 9:25 です。正の長さの比は 3:5、体積比は 27:125 です。大きい円柱の体積は 81×125÷27 = 375 cm³ です。逆に 375×27÷125 = 81 cm³ と戻り、表面積の 216:600 も長さの比 3:5 を二乗した 9:25 に一致します。面積比を長さの比として使う前に、二乗の元を探す点が要です。

3. 答えは 8 cm です。8 = 2×2×2、125 = 5×5×5 なので長さの比は 2:5 です。小さい直径は 20×2÷5 = 8 cm です。直径の比 8:20 = 2:5 を三乗すると 8:125 に戻ります。体積比をそのまま直径に掛けると、3方向の変化を1方向にまとめてしまいます。

4. 答えは 468 cm³ です。小さい角すい:元の角すいの高さの比は 4:10 = 2:5 で、体積比は 8:125 です。小さい角すいの体積は 500×8÷125 = 32 cm³、残りは 500 − 32 = 468 cm³ です。32 + 468 = 500 cm³ と元に戻り、32:500 = 8:125 も高さの比に合います。残りを小さい角すいと同じ形として扱う必要はありません。

5. Cの3辺をそれぞれ 3/2 倍するとDの対応する3辺になるので、2つは相似です。C:Dの長さの比は 2:3、体積比は 8:27 です。実際にCは 2×4×6 = 48 cm³、Dは 3×6×9 = 162 cm³ で、48:162 = 8:27 となります。一方、高さだけがわかる別の2つは相似かどうか決められません。底面の2方向も同じ倍率なら相似ですが、そうでない形も作れるからです。

覚えておくこと

相似を条件から確認して、対応する長さの比の順を決めます。
長さの比を二乗すると表面積比、三乗すると体積比です。
面積比や体積比から長さに戻るときは、二乗や三乗の元を探します。
切り取った残りは全体から引き、比の相手を取り違えません。
最後に元の条件、大小関係、面積と体積の単位を確かめます。

どこで立ち止まったかを見分ける

お子さまが体積比の計算を間違えたときは、すぐに三乗を教え直す前に、相似の根拠を言えるか聞いてみてください。高さが同じ倍率というだけで相似としたなら、底面の幅を変えた直方体を描いて比べます。条件が不足している場合に答えを決めずに止まれるかも確認します。

個別指導では、長さ、表面積、体積を別の欄に並べ、どちらの立体を先にした比かを説明してもらいます。三乗はできても式に入れる順番が逆なら、既知の体積が比のどの数に当たるかに戻ります。切断の問題では、全体と残りを図に書き込み、足して元に戻るかを確かめます。対応と条件を言葉にすれば、相似比と体積比の計算に根拠が生まれます。