数検3級 円周角と中心角—同じ弧を見つけて角の大きさを図から求める練習｜武蔵野個別指導塾

弧の両端と頂点の位置をたどり、反対側の弧を半分にする誤りを直します。図で弧をたどり円周角を捉えます。

よくあるのは、円周上の角を求めるとき、図に書かれた中心角を見てすぐに半分にする場面です。計算は合っていても、その中心角が見ている弧と、求める円周角が見ている弧が反対側なら、答えは変わります。まず角の両辺が円と交わる点を探し、次に頂点を含まない側の弧を指でたどってみましょう。弧を確かめてから計算すれば、図の向きが変わっても理由を追えます。

円のどこを見る問題か

円周角と中心角の問題には、角の位置を見て使う関係を選ぶ練習があります。数値を計算する前に、どの点を結ぶ弧が対象なのかを言葉にすることが出発点です。次の3つは自作の出方の型で、出題の頻度を表すものではありません。

1つ目は、弧ABに対する中心角が与えられ、その弧を見込む円周角を求める型です。中心角と円周角が同じ弧を見ていることを確かめ、中心角を2で割ります。逆に、円周角から中心角を求めるときは2倍します。どちらから出発するかを読み違えないよう、求める角に印を付けておきます。

2つ目は、同じ弧に対する2つの円周角を比べる型です。頂点が円周上の別の位置にあっても、同じ弧に対する円周角は等しくなります。角の見た目の向きや辺の長さではなく、両辺が通る円周上の2点と、その間のどちらの弧を見ているかを確認します。

3つ目は、直径を両端とする角を使う型です。円周上の点から直径の両端を結んだ角は直角になります。ここから三角形の内角の和を使えば、もう1つの角も求められます。直径という条件が明示されているかを確かめ、線が中心を通るように見えるだけで決めないことも必要です。

弧の両端と頂点を見つける

円の中心をO、円周上の異なる点をA、B、Pとします。円周の一部分を弧と呼び、弧ABはAからBまでの円周を表します。ただしAとBを結ぶ弧は普通2つあります。角APBが見込むのは、そのうち頂点Pを含まない側の弧ABです。点Pのある側を通ってしまうと、別の弧を選んだことになります。

円周角は、頂点が円周上にあり、その両辺が円周上の2点を通る角です。角APBでは真ん中の文字Pが頂点で、辺PAとPBが弧の両端A、Bを決めます。中心角は頂点が円の中心にある角です。角AOBではOが頂点で、半径OAとOBが同じ両端を指します。

図1のように、Pを含まない弧ABを見込む中心角と円周角を対応させます。この図では小さい側の弧ABに対して、中心角は120°、円周角は60°です。中心角が円周角の2倍という関係は、同じ弧を見ているときに使います。円周角の側から言えば、中心角の半分です。

図1の弧は赤く示した部分です。中心OからA、Bへ伸ばした線と、PからA、Bへ伸ばした線を別々にたどると、どちらも同じ2点を指していることが見えます。ここで大事なのは2点の名前だけでなく、Pを含まない側の弧まで一致させることです。

同じ弧に対する円周角が等しい理由も、この関係から説明できます。それぞれに対応する中心角が同じなので、その半分である円周角も等しくなります。円周上の頂点が弧の反対側へ移れば、見込む弧も入れ替わります。その場合に等しいと決めてはいけません。

直径ABは中心Oを通る線分です。PがA、B以外の円周上にあるとき、Pを含まない弧ABは半円です。その弧に対する中心角は180°なので、角APBは90°になります。円周角の定理を特別な場面に使った結果として覚えると、直径と直角の関係を取り出しやすくなります。

図を読む際には、角の記号の真ん中の文字を声に出して頂点を確定する方法も使えます。角ABCなら頂点はBです。次にBから伸びる2本の辺をたどり、円周にあるAとCを探します。文字の並びを見ずに図の中央にある角を選ぶと、中心角と円周角が入れ替わることがあります。式の横に弧の名前を書いておくと、後からどの関係を使ったかを追えます。

点が円周上にあることも条件として確認します。円の内部にある点を頂点とした角は、この意味での円周角ではありません。また、2点を結ぶ線分と円周の一部分である弧は別のものです。線分ABが同じだからという理由だけで角を比べるのではなく、角が見込む弧がどちら側かまで確かめます。点の位置が指定されていない問題では、図の見た目から勝手に位置を補わず、必要な条件を読み直します。

解答を書くときには「同じ弧に対する円周角だから」「直径に対する円周角だから」と、使った性質を短く添えます。中心角を360°から引いた場合は、大きい方の弧に対応する角を求めたことも示します。数字だけが並んだ式より、どの角を求めた途中なのかが読み手に伝わり、自分でも戻って点検しやすくなります。

基本例題：中心から円周へ

円の中心をOとします。A、B、Pは円周上の異なる点で、Pは小さい方の弧AB上にありません。小さい方の弧ABに対する中心角AOBが120°のとき、角APBを度を単位として求めてください。

図2のように、まず角APBの頂点Pを探します。辺PAとPBが円周に届く点はAとBです。Pを含まない弧ABは、問題文で示された小さい方の弧です。したがって、120°の中心角と求める円周角は同じ弧に対しています。

順に式を書くと、次のようになります。

角AOB = 120°

角APB = 角AOB ÷ 2

角APB = 120° ÷ 2

角APB = 60°

答えは60°です。図2で2本の線がPからAとBへ向かうことも確かめてください。Pは小さい弧ABの外にあるので、見込む弧は120°の中心角に対応しています。

求めた60°を条件へ戻すと、同じ弧に対する中心角は60°の2倍で120°です。与えられた中心角と一致します。単に計算を逆にするだけでなく、戻した中心角がどの弧に対するものかまで確認すると、反対側の弧を使った間違いを見つけられます。

円周角から中心角を求める問題では、この順序を逆にたどります。たとえば同じ弧に対する円周角が35°なら、中心角は35°の2倍で70°です。35°をさらに半分にするのではなく、求める角が円の中心にあるか円周上にあるかを先に書き分けます。

頂点が反対の弧にあるとき

円の中心をOとし、A、B、Qは円周上の異なる点とします。小さい方の中心角AOBは100°で、Qは小さい方の弧AB上にあります。角AQBを度を単位として求めてください。

ここでは基本例題と頂点の位置が違います。Qを含まない弧ABは大きい方の弧です。与えられた100°は小さい方の弧に対する中心角なので、そのまま半分にしてはいけません。中心のまわりは360°ですから、大きい方の弧に対する中心角は360°から100°を引いて求めます。これは180°より大きい方の中心角です。

大きい方の中心角 = 360° − 100° = 260°

角AQB = 260° ÷ 2 = 130°

答えは130°です。130°を2倍すると260°になり、残りの100°と合わせて中心のまわりの360°に戻ります。角AQBが鈍角になることも、Qが小さい弧の上にある図と整合します。ただし、図の見た目だけを根拠にせず、どちらの弧かを問題文の条件から決めます。

判断の分かれ目は、Qが小さい方の弧の上か、その外かです。外にあるなら円周角が見込むのは小さい弧なので100°の半分です。上にあるなら見込むのは大きい弧なので、まず360°から引きます。同じAとBを端点としていても、頂点の位置が違えば使う中心角が変わります。

反対側の弧を半分にした答えを直す

別の円で小さい方の中心角AOBが80°、点Qは小さい方の弧AB上にあるとします。角AQBを求めるとき「80° ÷ 2 = 40°」と答えた場合を考えます。割り算自体は正しくても、角AQBが見込む弧を取り違えています。

図3のようにQを含まない側をたどると、大きい方の弧ABです。80°はQを含む小さい弧の中心角なので、求める円周角とは対応しません。中心のまわりからその80°を引き、大きい弧に対する中心角を先に出します。

大きい方の中心角は360° − 80° = 280°です。したがって角AQBは280° ÷ 2 = 140°です。図3の右側にある式は、見込む弧を選び直してから半分にする順序を示しています。140°を2倍した280°と、与えられた80°の和が360°になることも確かめられます。

誤りを直すときは、答えだけを消す前に「角の頂点」「弧の両端」「頂点を含まない弧」を順に印で残してみましょう。中心角が小さい方として示されている場合、大きい方が必要なら360°から引くという判断を加えます。引く数を180°にしてしまうと、円の中心のまわり全体を数えていないことになります。

もう1つの間違いは、円周角から中心角を求めるのに半分にすることです。円周角と中心角の位置を図に書き、同じ弧に対して中心角の方が2倍と確認します。式を書く前に、答えが与えられた円周角より大きくなるはずだと見通すと、計算方向の誤りに気づけます。

練習問題

次の問題はすべて、角の大きさを度を単位として答えてください。円周上の点は、それぞれ問題に書かれた点とは異なるものとします。必要な弧を先に確かめてから式を書きます。

1. 円の中心をOとし、小さい方の弧CDに対する中心角CODは146°です。点Rは小さい方の弧CDの外の円周上にあります。角CRDを求めてください。

2. 円の中心をOとし、小さい方の中心角EOFは112°です。点Sは小さい方の弧EF上にあります。角ESFを求めてください。

3. 円の中心をOとし、GHは直径です。点Tは円周上にあり、角TGHは28°です。角GTHと角GHTを求めてください。

4. 円周上の点U、V、W、Xについて、WとXはともに小さい方の弧UVの外にあります。角UWVが37°のとき、角UXVと、小さい方の弧UVに対する中心角を求めてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 答えは73°です。Rを含まない弧CDは小さい方なので、角CRD = 146° ÷ 2 = 73°です。73°を2倍すると146°に戻り、指定された小さい弧の中心角と一致します。Rが反対側にあるという条件を使っているかも確かめます。

2. 答えは124°です。Sを含まないのは大きい方の弧EFです。その弧の中心角は360° − 112° = 248°なので、角ESF = 248° ÷ 2 = 124°です。124°の2倍は248°で、小さい方の112°と合わせると360°になります。与えられた112°をそのまま半分にすると別の弧に対応します。

3. 角GTHは90°、角GHTは62°です。GHが直径なので、円周角GTHは90°です。三角形GTHの内角の和から、角GHT = 180° − 90° − 28° = 62°となります。3つの角を足すと90° + 28° + 62° = 180°です。直角を頂点Tに置き、28°を頂点Gに置いたことも点の順番で確認します。

4. 角UXVは37°、中心角は74°です。WとXはともに小さい方の弧UVの外にあるので、角UWVと角UXVは同じ小さい弧を見込みます。よって円周角は等しく37°です。中心角はその2倍の74°です。74°の半分は37°で、両方の円周角に戻ります。WとXが弧の同じ側にあるという条件を抜かさずに使っています。

練習後は正答だけでなく、各問題でどの弧を選んだかをもう一度確かめます。1と2は中心角が与えられていますが、円周角の頂点の位置が違います。3では直径の条件を使い、4では2つの頂点がどちらも同じ弧の外にある条件を使いました。数字の操作が似ていても、根拠となる条件はそれぞれ異なります。

覚えておくこと

円周角が見込む弧は、両辺が円と交わる2点の間で、頂点を含まない方です。 同じ弧に対する中心角は円周角の2倍で、円周角は中心角の半分です。 同じ弧に対する円周角は等しくなります。 直径を見込む円周角は90°です。 反対側の中心角が必要なら、中心のまわりの360°から引きます。

どこで迷ったかを見分ける

答えが違ったとき、まず弧の選択と計算を分けて見ます。弧を正しく選べたのに2倍と半分を逆にしたなら、中心と円周のどちらに頂点があるかを図に書き添えて練習します。一方、計算は合っていても弧が違うなら、頂点を含まない方を指でたどるところからやり直します。

個別指導で確かめるときも、式だけでなく、どの弧に対応する式かを本人に説明してもらうと、迷った場所が見えます。直径の問題では中心を通る条件と直角の頂点を確認し、その後で三角形の角を計算します。お子さまが図を回しても同じ弧を選べるかを見れば、図の向きに頼った判断かどうかも確かめられます。円周角は、頂点から見えない側の弧を選ぶところから解き始めます。