高校地学 ケプラーの法則—楕円の焦点と面積速度から公転の速さを読む｜武蔵野個別指導塾

太陽の位置と等時間に掃く面積を図で捉え、周期比と面積速度を使って楕円軌道を読み取ります。

よくあるのは、高校生が太陽を楕円の中心に置き、惑星が軌道上を一定の速さで進むと考える場面です。軌道の形と、軌道上のどこをいつ通るかは別の情報です。焦点の位置を決め、太陽と惑星を結ぶ線が掃く面積を比べると、近い場所と遠い場所での動き方を区別できます。ここでは理想化した楕円軌道を扱い、実際の軌道のずれにも最後に触れます。

何を手がかりにするか

出題の型は主に3つです。第1に、楕円を描き、中心と2つの焦点を区別して中心天体を置く問題です。長半径は長い直径の半分であり、焦点から端までの距離ではありません。太陽からの距離が軌道上で変わることを図で確かめます。

第2に、等しい時間に掃く面積を比べ、公転の速さを説明する問題です。面積は軌道の弧と、その両端から太陽へ引いた線で囲まれます。近いところでは細長い領域を広く掃く必要があるため、短い時間で進む弧は長くなります。面積が等しいという条件を、距離が等しいという条件に置き換えてはいけません。

第3に、同じ中心天体の周りを回る2つの天体について、長半径と周期の比を求める問題です。長半径の比を3乗し、周期の比を2乗して対応させます。どの距離を代入するか、2つの軌道の中心天体が同じかを先に確認すると、計算の根拠が明確になります。

焦点から面積速度まで

第1法則は、惑星が太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描くという法則です。楕円は、2つの焦点からの距離の和が一定となる点の集まりです。2焦点の中点が楕円の中心で、長い軸を長軸、短い軸を短軸といいます。長軸の半分が長半径 a、短軸の半分が短半径 b です。中心から焦点までの距離を c とすると、焦点と短軸の端を結ぶ直角三角形から a² = b² + c² となります。円は2つの焦点が中心に重なる特別な場合です。

図1のように太陽を一方の焦点に置くと、長軸上の近い端までの距離は a − c、遠い端までの距離は a + c です。近い端を近日点、遠い端を遠日点と呼びます。図は位置関係を表す模式図で、実際の惑星の軌道の比率ではありません。もう一方の焦点に別の天体を置くという意味ではありません。

図1の a は楕円の中心から端までです。焦点から端までの距離と混同すると、第3法則へ違う量を入れることになります。近日点距離と遠日点距離がわかる場合、2つの和は 2a です。したがって、その平均から長半径を求められます。

第2法則は、太陽と惑星を結ぶ線分が等しい時間に等しい面積を掃くという法則です。単位時間に掃く面積を面積速度と呼びます。短い時間では掃いた部分を三角形に近似でき、面積はおよそ「太陽からの距離 × その線に垂直な移動距離 / 2」です。距離が短いところでは、同じ時間に同じ面積を掃くため、垂直方向に長く進みます。近日点と遠日点では速度が半径方向に垂直なので、速さそのものをこの関係で比べられます。一般の点では速度の半径に垂直な成分を使うことに注意します。

第3法則は、同じ中心天体を回る軌道で、公転周期 T の2乗が長半径 a の3乗に比例するという関係です。比で書けば T₂²/T₁² = a₂³/a₁³ です。周期は同じ位置と向きの運動に戻るまでの時間で、長半径と周期はそれぞれ同じ単位で比べます。惑星の質量が中心天体に比べて十分小さく、他の天体の影響を無視する近似を使います。違う中心天体に対して比例定数まで同じと考えることはできません。

この比例関係は円軌道なら力のつり合いから見通せます。中心天体の質量を M、惑星の質量を m、円の半径を r、公転周期を T、万有引力定数を G とします。引力が向心力となり、公転の速さは 2πr/T です。

G・M・m/r² = m・(2πr/T)²/r
G・M/r² = 4π²r/T²
T² = 4π²r³/(G・M)

同じ M なら右辺の係数が共通なので T² は r³ に比例します。円では長半径と半径が等しくなります。この導出は円についての説明であり、楕円の場合は半径を長半径に置き換えた関係が成り立つという第3法則を使います。円の計算だけで楕円一般を証明したことにはしません。

近い端と遠い端を計算する

例題1。自作の楕円軌道で、長半径は 5 単位、中心から太陽までの距離は 3 単位です。近日点と遠日点の太陽からの距離を整数で求め、それぞれの速さの比を求めてください。他の天体の影響は無視します。距離の単位は任意の同じ長さです。

図2のように近い端では中心から焦点への分を引き、遠い端では足します。長半径は 5 単位のままであり、近日点距離を長半径として扱いません。

近日点距離 = 5 - 3 = 2 単位
遠日点距離 = 5 + 3 = 8 単位
近日点の速さを v近、遠日点の速さを v遠とする
2・v近 = 8・v遠
v近/v遠 = 4

速さの比は近日点:遠日点 = 4:1 です。両端では速度が太陽との線に垂直なので、等時間に掃く面積の比から距離と速さの積を等しく置けます。逆に 2・4 = 8・1 となり、等時間の面積が一致する条件に戻ります。距離の和も 2 + 8 = 10 で、長半径の2倍です。

例題2。自作の2天体 A、B が同じ中心天体を回り、長半径はそれぞれ 4 単位、9 単位です。A の周期が 8 年のとき、B の周期を年単位の整数で求めてください。惑星の質量と他の天体の影響は無視します。

TＢ²/8² = 9³/4³
TＢ²/64 = 729/64
TＢ² = 729
TＢ = 27 年

周期は正なので負の平方根は選びません。答えを戻すと 27²/8² = 729/64、長半径の3乗比も 9³/4³ = 729/64 です。別解では長半径の平方根の比が 3:2 なので、周期比は長半径比にこの比を掛けた 27:8 です。長半径が大きい B は周期も長くなり、向きの確認にも使えます。

発展：端の距離から軌道を比べる

例題3。自作の天体 C、D は同じ中心天体を回ります。C の近日点距離と遠日点距離はそれぞれ 1 単位と 7 単位、D はそれぞれ 2 単位と 16 単位です。C の周期が 16 年のとき、D の長半径と周期を整数で求めてください。また、C と D のどちらが近日点で速いかを、この情報から決められるか説明してください。天体の質量と他の天体の影響は無視します。

C の長半径 = (1 + 7)/2 = 4 単位
D の長半径 = (2 + 16)/2 = 9 単位
TＤ²/16² = 9³/4³ = 729/64
TＤ² = 2916
TＤ = 54 年

D の長半径は 9 単位、周期は 54 年です。周期比を戻すと 54²/16² = 729/64 で、長半径の3乗比に一致します。両者の端の距離を足すと、それぞれ長半径の2倍に戻ります。

速さの比較は、各軌道の近日点と遠日点の比を出すだけでは終わりません。C の速さの比は 7:1、D は 8:1 ですが、比はそれぞれの軌道内の比較です。異なる軌道間で近日点の速さを比べるには、面積速度など両軌道を結ぶ量が必要です。ここでは短半径も端の距離から求まるので、楕円の面積 πab を周期で割れば比べられます。

C の c = (7 - 1)/2 = 3、b² = 4² - 3² = 7
D の c = (16 - 2)/2 = 7、b² = 9² - 7² = 32
面積速度 C = 4π√7/16 = π√7/4
面積速度 D = 9π√32/54 = π√32/6
近日点の速さ C = 2・(π√7/4)/1 = π√7/2
近日点の速さ D = 2・(π√32/6)/2 = π√32/6

両方とも正なので、πを除いた値の2乗を比べると 7/4 と 8/9 です。したがって C の近日点の速さが大きいと決められます。楕円面積を周期で割ると面積速度になるのは、第2法則によって面積速度が一定だからです。ここでの単位は長さの単位/年です。求めた面積速度に周期を掛けるとそれぞれ楕円の面積に戻り、近日点の距離と速さの積の半分も元の面積速度に戻ります。

観測資料から試すなら、同じ中心天体に対する位置を複数の時刻で記録した自作資料を用い、等時間ごとに中心天体から位置へ線を引きます。囲まれた面積を同じ尺度で比べ、位置の読み取り幅を変えて結果がどれほど動くかを調べます。観測や実験は学校の指導の下で行います。時刻間隔がそろわない場合は面積を時間で割って比べ、投影された見かけの図をそのまま軌道面の実形と決めないことが必要です。

誤った線を引き直す

図3のように、楕円の中心に太陽を置き、近い端と遠い端で同じ距離を同じ時間に進ませる答案を考えます。中心と焦点は通常は異なります。焦点に太陽を移すと2つの場所で太陽からの距離が変わり、同じ移動距離では掃く面積も一致しません。図3は考え方を示す模式図で、軌道の実寸比ではありません。

直す順番は、まず楕円の中心を求め、次に焦点へ太陽を置き、最後に等時間の面積を比べることです。掃く面積の境界は中心ではなく太陽から引きます。焦点の位置が与えられなければ、楕円の形から正確な位置を読み取るための条件が必要です。

別の誤答は、長半径が2倍なら周期も2倍とするものです。第3法則は周期の2乗と長半径の3乗を結ぶため、長半径が2倍なら周期比の2乗は8です。周期比は正の √8、すなわち 2√2 です。比の向きを逆にすれば遠い軌道の周期が短くなるので、大小関係も点検します。

さらに、同じ中心天体という条件を見落とすと、異なる中心天体の周りの軌道へ共通の比例定数を使ってしまいます。中心の質量が違えば円軌道の導出にある係数も変わります。条件が足りない場合は数値を決めず、何が必要かを答えるのが正しい処理です。

自分で試す5問

次の値は実在天体の測定値ではなく、自作問題の条件です。長さの単位は各問で共通とし、天体の質量は中心天体より十分小さく、他の天体の影響は無視します。計算は正確な値で示してください。

1. 長半径が 13 単位、中心から焦点までが 5 単位の軌道で、近日点距離と遠日点距離を整数で求めてください。
2. 同じ軌道の近日点距離が 3 単位、遠日点距離が 12 単位です。両端の速さの比を整数の比で求めてください。
3. 同じ中心天体の周りで、軌道 E の長半径は 1 単位、周期は 2 年です。軌道 F の長半径が 4 単位のとき、F の周期を整数の年で求めてください。
4. 同じ中心天体の周りで、軌道 G の周期は 3 年、軌道 H は 24 年です。G の長半径を 2 単位とすると、H の長半径は何単位ですか。整数で答えてください。
5. 同じ楕円軌道上の近日点付近と遠日点付近で、等しい時間に掃く面積を比べます。どちらが大きいか、また進む弧の長さはどちらが長いかを、「焦点」「面積」の語を使って説明してください。時間は十分短いものとします。

答えとたどり方

1. 近日点距離は 13 − 5 = 8 単位、遠日点距離は 13 + 5 = 18 単位です。戻すと和は 26 単位で長半径の2倍、差の半分は 5 単位で中心から焦点までの距離です。近い距離を長半径と区別します。

2. 近日点と遠日点の速さをそれぞれ u、w とすると、面積速度が等しいので 3u = 12w です。よって u/w = 4、速さの比は 4:1 です。3・4 = 12・1 と戻せば、等時間の面積の条件を再現できます。両端では速度が半径方向に垂直であることが、この式の前提です。

3. F の周期を T 年とします。

T²/2² = 4³/1³ = 64
T² = 256
T = 16 年

正の周期を選びます。16²/2² = 64 であり、長半径の3乗比に戻ります。長半径が大きい F の周期が長いことも整合します。

4. H の長半径を a 単位とします。

24²/3² = a³/2³
64 = a³/8
a³ = 512
a = 8 単位

長さは正です。戻すと 8³/2³ = 64、周期の2乗比も 24²/3² = 64 です。周期比の8をそのまま長半径比にしないで、2乗と3乗を対応させます。

5. 面積は等しく、短い等時間に進む弧は近日点付近の方が長くなります。太陽がある焦点から近いところでは、同じ面積を掃くには線分の向きがより大きく変わり、長く進む必要があります。遠いところでも同じ時間の面積を図に描けば、答えの条件へ戻して確かめられます。

覚えておくこと

太陽は楕円の中心ではなく一方の焦点にあります。 等時間に掃く面積は等しく、近日点では遠日点より速く進みます。 長半径は長軸の半分で、両端の太陽からの距離の平均です。 同じ中心天体なら、周期の2乗の比は長半径の3乗の比です。

答案から見えるつまずき

焦点の位置を尋ねたときに中心へ印を付けた答案では、楕円の定義と長半径の起点を図に書き込んで確かめます。面積の問題で弧の長さを等しくした場合は、同じ時間の2領域に色を付け、太陽からの線を境界にして比べます。式だけが正しくても、用いた距離が近日点距離なら第3法則の入力を見直します。

個別指導では、周期比の式を立てたあと、どちらを分子にしたかを図の軌道に対応させ、答えを元の比に戻して説明できるかを確かめます。観測資料が理想の法則から少し外れるときは、読み取り誤差や他の天体の引力による摂動を候補に挙げます。ずれだけから直ちに原因を1つに決めず、時刻や位置の不確かさを調べることが必要です。焦点を起点に面積を追うと、公転の速さの変化が軌道の形と結びつきます。