高校数学C ねじれの二直線の距離—共通垂線の両端を二つの直交条件で求める｜武蔵野個別指導塾

二直線上に別々の変数で点を置き、両方向との内積を0にして共通垂線を求め、直交分解で最短性まで示します。

よくあるのは、空間の2本の直線を結ぶ線分を描き、一方の直線に垂直だから最短だと判断する場面です。ところが、その線分のもう一方の端は、もう1本の直線に沿って動かせます。両端を動かしても短くならないことを示すには、両方の方向を調べる必要があります。

座標とベクトルを平面から空間へ広げる範囲を使い、ここでは非平行な2直線の距離を内積で扱います。図の奥行きは投影による表現です。紙面上の角度や長さを空間での値と同一視しないでください。

要点（結論から）

• 両端を別々の変数で各直線上に置きます。
• 結ぶベクトルと2方向との内積をともに0とします。
• 非平行を確認し、連立を解いて両端に戻します。

どの条件から手をつけるか

出題の入口には、2直線の式から距離を求める型があります。このとき両方の直線上に変数を置き、結ぶベクトルが双方の方向と直交するように決めます。両端の座標まで尋ねられたら、変数の値をそれぞれの式に戻します。

別の型では、直線に文字が含まれ、交わる場合とねじれる場合を分けます。共通垂線の長さが0なら2点は一致し、直線は交わります。正なら交点がないため、方向が非平行であることと合わせて、ねじれの位置と判断できます。方向が平行な場合は後の連立の一意性をそのまま使えず、別の扱いが必要です。

さらに、候補の線分が最短である理由を説明する型もあります。直交条件を満たすことを計算するだけでなく、任意の2点に動かした差を分解し、長さの二乗が増えることまで示します。この順序を守ると、作図の見た目に頼らず結論に到達できます。

2つの端を同時に決める

直線 l を点 A と非零の方向ベクトル u（ベクトル）で、直線 m を点 B と非零の方向ベクトル v（ベクトル）で表します。u と v は平行でないとします。実数 s、t を使うと、それぞれの直線上の点 P、Q は次のように表せます。

P = A + s u
Q = B + t v
ベクトル PQ = B - A + t v - s u

点の式は位置ベクトルを座標で表す略記です。P と Q の所属はこの置き方で保証されます。共通垂線の候補では、結ぶベクトルが2方向と垂直なので、次の2式を満たします。

(B - A + t v - s u)・u = 0
(B - A + t v - s u)・v = 0

図1のように、P と Q を別々に動かします。片方の内積が0になっても、もう片方の内積が0とは限りません。2式は s と t の連立一次方程式です。

図1の PQ が2方向に垂直と仮定し、これが最短であることを示します。任意の点を P′ = P + a u、Q′ = Q + b v とすると、実数 a、b について次が成り立ちます。

ベクトル P′Q′ = ベクトル PQ + b v - a u
|ベクトル P′Q′|² = |ベクトル PQ|² + |b v - a u|²

2行目は PQ が u と v の両方に直交するので、展開時の混合項が0になるためです。後ろの項は0以上ですから、どの P′、Q′ を選んでも長さは PQ 以上です。u と v は平行でないため、b v − a u = 0 となるのは a = b = 0 のときです。したがって最短の両端も一組に決まります。

この議論は候補の存在も裏づけます。連立の同次部分で解が2組あると仮定し、その差を a、b とします。差に対応する b v − a u は u と v の両方に直交し、しかもその2方向の実数倍の和です。自分自身との内積は0となるので零ベクトルです。非平行性から a = b = 0 となり、連立の係数は一意解を与えます。方向が平行ならこの理由は使えません。

基本例題：座標軸に沿う2方向

問題。直線 l は (x, y, z) = (s, 0, 0)、直線 m は (x, y, z) = (1, t, 3) です。s、t は実数です。2直線がねじれの位置にあることを確かめ、共通垂線の両端と距離を求めてください。距離は根号を用いた正確な値で答えます。

解き方。方向は u = (1, 0, 0)、v = (0, 1, 0) で、いずれも非零かつ非平行です。l 上では z = 0、m 上では z = 3 なので共有点はありません。よって2直線はねじれの位置です。

P = (s, 0, 0)、Q = (1, t, 3) と置きます。図2のように、両端の移動方向をそれぞれの直線上にとります。

ベクトル PQ = (1 - s, t, 3)
ベクトル PQ・u = 1 - s = 0
ベクトル PQ・v = t = 0
s = 1
 t = 0
P = (1, 0, 0)
Q = (1, 0, 3)
|ベクトル PQ| = √(0² + 0² + 3²) = 3

P の座標は l に s = 1 を、Q は m に t = 0 を戻して得ています。PQ = (0, 0, 3) は両方向との内積が0なので、先ほどの直交分解から距離は3です。図2では長さの比を読み取らず、座標と垂直条件で確かめます。

標準例題：斜めの方向を連立する

問題。直線 l を (x, y, z) = (s, s, 0)、直線 m を (x, y, z) = (1 + t, 0, 2 + t) とします。s、t は実数です。2直線の位置関係を調べ、ねじれの位置なら共通垂線の両端と距離を正確に求めてください。

解き方。方向 u = (1, 1, 0)、v = (1, 0, 1) は非零で、実数倍の関係にありません。交点を仮定すると、y 成分から s = 0、z 成分から t = -2 です。このとき x 成分は l で0、m で -1 となり一致しません。したがって交点はなく、ねじれの位置です。

P = (s, s, 0)
Q = (1 + t, 0, 2 + t)
ベクトル PQ = (1 + t - s, -s, 2 + t)
ベクトル PQ・u = 1 + t - 2s = 0
ベクトル PQ・v = 3 + 2t - s = 0
 t = 2s - 1
3 + 2(2s - 1) - s = 0
3s + 1 = 0
s = -1/3
 t = -5/3
P = (-1/3, -1/3, 0)
Q = (-2/3, 0, 1/3)
ベクトル PQ = (-1/3, 1/3, 1/3)
|ベクトル PQ| = √3/3

検算では Q が m に t = -5/3 を代入した点であることに加え、PQ・u = 0、PQ・v = 0 を確かめます。成分の二乗の和は 1/3 なので距離は非負の √3/3 です。両方向に直交するため、直交分解により他の組はこれより短くなりません。

発展例題：交わる値を先に取り出す

問題。実数 k に対し、l を (x, y, z) = (r, 0, r)、m を (x, y, z) = (0, 1 + q, k − q) とします。r、q は実数です。位置関係を k により分類し、ねじれの位置のときの距離を絶対値を使って正確に求めてください。

解き方。方向 u = (1, 0, 1)、v = (0, 1, -1) は非零かつ非平行です。交点を仮定すると、x 成分から r = 0、y 成分から q = -1 です。z 成分を戻すと 0 = k + 1 です。よって k = -1 なら原点で交わり、それ以外なら交点がないのでねじれの位置です。

距離を求めるため両端を P = (r, 0, r)、Q = (0, 1 + q, k − q) とします。交わる値も含めて連立を解けますが、求める位置関係は既に分けてあります。

ベクトル PQ = (-r, 1 + q, k - q - r)
ベクトル PQ・u = k - q - 2r = 0
ベクトル PQ・v = 1 + 2q - k + r = 0
q = k - 2r
1 + 2(k - 2r) - k + r = 0
r = (k + 1)/3
q = (k - 2)/3
P = ((k + 1)/3, 0, (k + 1)/3)
Q = (0, (k + 1)/3, (2k + 2)/3)
ベクトル PQ = (-(k + 1)/3, (k + 1)/3, (k + 1)/3)
|ベクトル PQ| = |k + 1|/√3

Q の第3成分は k − (k − 2)/3 から戻せます。差の内積は両方向について0です。k = -1 では両端が原点となり距離0、その他では距離が正です。絶対値を落とすと k < -1 で負の距離になるので、最後まで符号を管理します。

片側だけの垂直をどう直すか

基本例題の2直線で P = (0, 0, 0)、Q = (1, 0, 3) を選ぶと、PQ = (1, 0, 3) です。m の方向 (0, 1, 0) との内積は0なので、Q は P から m へ下ろした垂線の足です。しかし l の方向 (1, 0, 0) との内積は1で、もう一方の端を動かす余地が残っています。

図3のように P を l 上の (1, 0, 0) まで動かすと、Q はそのままで線分の長さの二乗が10から9へ下がります。片側の垂直条件しか調べない誤答は、残る移動方向を忘れたことが原因です。

修正は、足を片方ずつ固定して終えるのではなく、P と Q に別の変数を置いて2式を同時に解くことです。図3の修正後の差は (0, 0, 3) で、2方向との内積はともに0です。投影図で直角に見えるかではなく、この2つの計算で判定します。

手を動かす5問

各問の変数は実数です。距離は根号を用いた正確な値で答え、必要な場合は両端も座標で答えてください。

1. l: (x, y, z) = (a, 0, 0)、m: (x, y, z) = (2, b, 4)。共通垂線の両端と距離を求めてください。
2. l: (x, y, z) = (0, a, 0)、m: (x, y, z) = (3, 1, b)。位置関係と距離を求めてください。
3. l: (x, y, z) = (a, a, 0)、m: (x, y, z) = (0, 0, 5) + b(1, -1, 0)。両端と距離を求めてください。
4. l: (x, y, z) = (a, 0, a)、m: (x, y, z) = (0, b, 2)。両端と距離を求めてください。
5. l: (x, y, z) = (a, 0, 0)、m: (x, y, z) = (0, b, h)。実数 h により位置関係を分類し、距離を求めてください。

5問の答えと戻し方

1. P = (a, 0, 0)、Q = (2, b, 4) とします。方向は非零で非平行です。

ベクトル PQ = (2 - a, b, 4)
ベクトル PQ・(1, 0, 0) = 2 - a = 0
ベクトル PQ・(0, 1, 0) = b = 0
a = 2、b = 0
P = (2, 0, 0)、Q = (2, 0, 4)
距離 = 4

両端を各直線の式に戻すと a = 2、b = 0 に対応し、差は (0, 0, 4) です。z 成分が常に異なるので交点はありません。

2. 2方向は (0, 1, 0)、(0, 0, 1) で非平行です。x 成分がそれぞれ0、3なので交わらず、ねじれの位置です。

P = (0, a, 0)、Q = (3, 1, b)
ベクトル PQ = (3, 1 - a, b)
1 - a = 0
b = 0
a = 1
P = (0, 1, 0)、Q = (3, 1, 0)
距離 = 3

差 (3, 0, 0) と2方向の内積はともに0です。得た点はそれぞれの式に a = 1、b = 0 を入れると再現されます。

3. 方向 (1, 1, 0) と (1, -1, 0) は非零、非平行です。z 成分が0と5で異なるので交わりません。

P = (a, a, 0)、Q = (b, -b, 5)
ベクトル PQ = (b - a, -b - a, 5)
ベクトル PQ・(1, 1, 0) = -2a = 0
ベクトル PQ・(1, -1, 0) = 2b = 0
a = 0、b = 0
P = (0, 0, 0)、Q = (0, 0, 5)
距離 = 5

両端は両式に0を代入した点です。差 (0, 0, 5) は双方の方向に直交します。

4. 方向 (1, 0, 1) と (0, 1, 0) は非零、非平行です。交点なら x 成分から a = 0 ですが、z 成分が0と2で一致しません。

P = (a, 0, a)、Q = (0, b, 2)
ベクトル PQ = (-a, b, 2 - a)
ベクトル PQ・(1, 0, 1) = 2 - 2a = 0
ベクトル PQ・(0, 1, 0) = b = 0
a = 1、b = 0
P = (1, 0, 1)、Q = (0, 0, 2)
距離 = √2

差 (-1, 0, 1) の二乗の和は2です。P と Q を直線の式に戻し、2つの内積が0であることも確かめます。

5. 方向は非零、非平行です。共通垂線の条件を解きます。

P = (a, 0, 0)、Q = (0, b, h)
ベクトル PQ = (-a, b, h)
-a = 0
b = 0
a = 0、b = 0
P = (0, 0, 0)、Q = (0, 0, h)
距離 = |h|

h = 0 では両点が原点で一致して交わります。h ≠ 0 では2直線の z 成分が異なるため交わらず、ねじれの位置です。差 (0, 0, h) は双方に直交し、距離はどの符号の h でも非負です。

要点を短く

• 両端を別々の変数で各直線上に置きます。
• 結ぶベクトルと2方向との内積をともに0とします。
• 非平行を確認し、連立を解いて両端に戻します。
• 直交分解で任意の組との長さを比較します。
• 長さ0なら交点があり、正なら交点がありません。

つまずいた式を見直す

計算が合わないときは、まず Q − P の3成分をそれぞれ書き直します。符号を逆にして P − Q としても、2つの内積を一貫して立てれば同じ両端が得られます。一方、差の一部の成分だけを逆にすると所属の確認で誤りが見つかります。

連立が一意に解けない場合は、方向が零でないか、互いに平行でないかを先に確認します。平行な場合は一方の点から他方への垂線で距離を求められますが、この非平行の場合の一意性の証明は使えません。交点が出た場合には距離0とし、ねじれという分類を取り消します。

個別指導で確認するときは、自分で描いた図に両端の変数と2方向を書き込み、それぞれの内積が何の垂直を表すか言葉で説明してみてください。最後に、任意の両端との差を直交する2成分に分けられるかを確かめると、計算結果と最短性がつながります。2つの方向を同時に見ることで、空間の最短距離を捉えられます。