数検3級 相似と平行線—平行線でできる三角形から未知の長さを求める練習｜武蔵野個別指導塾

頂点からの長さと残りの長さを区別し、平行線で生じる相似から比を立てます。全体を足して作る例と、残りを引く例をたどれます。

よくあるのは、受検者が平行線の入った三角形で、線分の一部と全体を対応させてしまう場面です。図の中に数字が並ぶと、近くにある数字どうしを比にしたくなります。しかし、比の左右でどの範囲を測っているかが違えば、計算が合っていても答えはずれます。頂点からどこまでをたどる長さなのかを確かめてから、式に移しましょう。

ここで扱うのは、三角形の辺を横切る平行線と線分の長さです。小さい三角形と大きい三角形の対応を軸に、途中の部分の長さが与えられた場合も考えます。面積の比には進まず、線分を足す、引く、比べる手順を丁寧に追います。

どの長さを比べる問題か

平行線を使う長さの問題には、まず頂点から平行線までの長さと、頂点から底辺までの長さを比べる型があります。2本の辺について、同じ頂点から出発した小さい三角形の辺と、大きい三角形の辺を対応させます。平行線の部分と底辺も対応するので、横の長さが与えられる場合にも同じ考え方が使えます。

次に、頂点から平行線までの部分と、平行線から底辺までの残りが与えられる型があります。このとき残りを全体と取り違えないことが重要です。全体が必要なら2つの部分を足し、残りが必要なら全体から頂点側を引きます。部分どうしの比を使う方法もありますが、それがどこから生まれた比なのかを説明できるようにしておくと、式を点検できます。

さらに、比が先に示され、辺の全体や残りを求める型もあります。比の合計が表すのは何か、全体なのか2つの部分なのかで計算が変わります。数字を代入する前に、線分名を書いた比を作る習慣が役立ちます。いずれも自作の練習の型であり、出題頻度を示すものではありません。

頂点から終点までをそろえる

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEとBCが平行だとします。DとEはそれぞれ辺の端ではなく途中にあります。図1のように、小さい三角形ADEと大きい三角形ABCを、頂点Aを共通にして見ます。

平行線の同位角により、角ADEと角ABCは等しく、角AEDと角ACBも等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ADEと三角形ABCは相似です。書く順序は、AがA、DがB、EがCに対応するようにそろえます。図1の線分をたどると、ADはABに、AEはACに、DEはBCに対応します。

したがって、AD:AB = AE:AC = DE:BC です。どの比も「小さい三角形の辺:大きい三角形の対応する辺」の順にしています。順序をすべて逆にした AB:AD = AC:AE も正しい式ですが、一方だけを逆にすると別の比になってしまいます。比を作ったら、両側が同じ順序か声に出して読んでみましょう。

また、ABはADとDBを合わせた長さ、ACはAEとECを合わせた長さです。小さい三角形の辺ADと、下に残るDBは相似な2つの三角形の対応する辺ではありません。図の上で線をなぞるときも、AからBまでとAからDまでを一続きとして見て、DからBまでで指を止めないようにします。

部分どうしにも関係があります。AD:AB = AE:AC で、AB = AD + DB、AC = AE + EC です。これを整理すると AD:DB = AE:EC も成り立ちます。こちらは「頂点側:残り」の比なので、「頂点側:全体」とは別です。どちらの式を使ってもよいのですが、対応する範囲を混ぜずに最後までそろえる必要があります。

基本例題：全体を作ってから比べる

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEとBCは平行です。AD = 4 cm、DB = 6 cm、AE = 6 cmのとき、ACとECの長さをそれぞれ求め、cmを付けて答えてください。図2のように、既知の4 cmと6 cmは左の辺の別々の部分です。

図2では、AからBまでを通して測った長さがまだ書かれていません。まずそこを求め、その後で相似な辺を対応させます。

1. AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm。
2. DEとBCは平行なので、三角形ADEと三角形ABCは相似です。
3. 対応する辺から AD:AB = AE:AC です。
4. ACをx cmとすると、4:10 = 6:x です。
5. 比の外側と内側の積を等しくして、4x = 60 です。
6. x = 15 なので、AC = 15 cmです。
7. EC = AC − AE = 15 − 6 = 9 cmです。

求めたACはAEより長く、Eが辺ACの途中にある条件に合っています。さらに、AE:EC = 6:9 = 2:3、AD:DB = 4:6 = 2:3 です。左右の「頂点側:残り」が一致するので、元の部分の配置にも戻して確かめられます。もしACに6 cmより小さい値が出たなら、式の段階まで戻って範囲を見直します。

ここで4:6 = 6:xとすると、左はAD:DB、右はAE:ACとなり、部分と全体が混ざります。xをECと定めた場合には4:6 = 6:xを使えます。同じ式の形でも、文字がどの線分を表すかで意味が変わります。文字を書く際には、図の上にその線分の端点を示しておくと迷いにくくなります。

残りの比から全体へ進む

三角形PQRの辺PQ上にS、辺PR上にTがあり、STとQRは平行です。PS:SQ = 2:3、PR = 20 cm、QR = 15 cmです。PTとSTの長さをそれぞれ求め、cmを付けて答えてください。

この問題の2:3は、小さい三角形と大きい三角形の比ではありません。PSとSQという、辺PQを分けた2つの部分の比です。PQはその両方を合わせるので、PS:PQ = 2:(2 + 3) = 2:5 となります。辺PQの実際の長さが与えられていなくても、全体に対する頂点側の割合は求められます。

STとQRが平行なので、三角形PSTと三角形PQRは相似です。対応する頂点はPとP、SとQ、TとRです。よって PS:PQ = PT:PR = ST:QR = 2:5 となります。PT:20 = 2:5 からPT = 8 cm、ST:15 = 2:5 からST = 6 cmです。

答えを図の条件に戻すと、TR = 20 − 8 = 12 cmです。PT:TR = 8:12 = 2:3 で、与えられたPS:SQと一致します。また、ST:QR = 6:15 = 2:5 で、頂点側と全体の比に合います。PTはPRより短く、Tは辺の途中に置けます。

判断の分かれ目は、最初の2:3を何の比として読むかです。もしPS:PQが2:3と与えられていれば、そのまま小さい三角形と大きい三角形の比に使えます。今回はSQが残りの部分なので、分母にあたる全体は2と3を合わせた5です。数値に慣れるより先に、各数の下へ線分名を書くと、異なる条件を区別できます。

誤った式を線分に戻して直す

図3のように、基本例題でACをx cmとし、4:6 = 6:xと書いたとします。左の4はAD、左の6はDBですが、右の6はAE、右のxはACです。左側は頂点側と残り、右側は頂点側と全体を比べています。

この式を解くとx = 9となりますが、図3の通り、その9 cmは全体ACではなく残りECに対応します。誤答の原因は掛け算ではなく、文字を置いた場所と比の対象が一致していないことです。計算だけを何度やり直しても、同じ誤りが残る場合があります。

直す方法は2つあります。ACを求める方針なら、左側も全体を使い、AB = 4 + 6 = 10 cmとして4:10 = 6:xとします。ECを直接求める方針なら、xをECと置き直して4:6 = 6:xとします。後者でx = 9 cmを得た後、ACを聞かれていれば6 + 9 = 15 cmと戻します。

もう1つ起こりやすいのは、平行の条件を確認せずに比を作ることです。線が横向きに描かれていても、見た目だけでは平行と決められません。問題文の条件や図の印を確認し、平行なら角が等しいことから相似を示します。平行が示されていない場合、同じ式を自動的に使うのではなく、相似を示せる別の条件があるかを調べます。

比の向きが途中で逆になる誤りにも注意します。AD:ABに対応するのはAE:ACであり、AC:AEではありません。数字の大小を見ると、小さい辺:大きい辺は1より小さい比です。片方が小:大、もう片方が大:小になっていれば、計算前に異常に気づけます。ただし大小の確認だけでは対応する辺かどうかまでは決まらないので、頂点の対応も必ず見ます。

比を変形して部分どうしを比べるときも、最初の相似から説明できるかを確認します。たとえば全体が頂点側の何倍かを考え、その同じ倍率から頂点側の1倍分を引けば、残りの倍率が得られます。こうして生じる比なら、図の左右で同じ範囲を比較できます。式を暗記して当てはめる前に、この足し引きの意味を押さえましょう。

練習問題

いずれも点は指定された辺の途中にあり、長さはcmです。答えは必要なら分数で表し、単位を付けてください。まず3問を続けて解き、線分名を入れた式を書いてから答えを見ましょう。

1. 三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEとBCは平行です。AD = 3、AB = 12、AC = 20のとき、AEとECを求めてください。
2. 三角形JKLの辺JK上にM、辺JL上にNがあり、MNとKLは平行です。JM = 5、MK = 7、JN = 10のとき、JLとNLを求めてください。
3. 三角形XYZの辺XY上にU、辺XZ上にVがあり、UVとYZは平行です。XU:UY = 3:4、XZ = 21、YZ = 28のとき、XVとUVを求めてください。

答えと解き方

1. 平行線によって三角形ADEと三角形ABCは相似です。AD:AB = AE:ACなので、3:12 = AE:20です。小さい三角形と大きい三角形の比は1:4ですから、AE = 5 cm、EC = 20 − 5 = 15 cmです。戻して確かめると、AE:AC = 5:20 = 1:4であり、与えられた3:12と一致します。またAE + EC = 5 + 15 = 20 cmです。ECを問われたときに5 cmをそのまま答えないよう、最後に端点を読み直します。

2. JK = JM + MK = 5 + 7 = 12 cmです。相似な三角形JMNとJKLの対応から、JM:JK = JN:JLなので、5:12 = 10:JLです。したがってJL = 24 cm、NL = 24 − 10 = 14 cmです。検算ではJN:NL = 10:14 = 5:7となり、JM:MKと一致します。さらに10 + 14 = 24で、Nが辺JLの途中にあることも確かめられます。

3. XU:UY = 3:4は頂点側と残りの比なので、XU:XY = 3:7です。平行線により三角形XUVとXYZは相似で、XV:XZ = UV:YZ = 3:7となります。よってXV = 21 × 3 ÷ 7 = 9 cm、UV = 28 × 3 ÷ 7 = 12 cmです。XVの残りはVZ = 21 − 9 = 12 cmで、XV:VZ = 9:12 = 3:4です。UV:YZも12:28 = 3:7となり、全体に対する比を満たします。

解き終えたら、求めた数が線分のどこを表すかを問題文に戻して確かめます。全体を求めたはずなのに途中までの長さ以下になったり、残りを求めたはずなのに全体より長くなったりした場合は、比を作ったところまで戻ります。長さの大小が合っていても対応を取り違えることはあるので、元の比への代入も必要です。

覚えておくこと

平行線から等しい角を見つけ、相似な三角形の頂点を対応させます。
対応する辺の比は、小:大など同じ順序でそろえます。
全体は頂点側と残りを足し、残りは全体から頂点側を引きます。
頂点側:残りと頂点側:全体は区別し、答えを元の条件へ戻します。

どこで迷ったかを見分ける

式を書く前に、指でAD、AB、DBをそれぞれなぞってみます。ABを途中で止めるなら線分名と範囲の結びつきを、端点は正しく示せるのに比を混ぜるなら対応する三角形と比の順序を確かめます。式が正しくても答える線分を間違えた場合は、文字の定義と最後の引き算を見直します。

個別指導では、お子さまに図の平行を示す条件と、式の各項が指す線分を説明してもらいます。正答した場合にも、求めた長さを図に戻し、部分の和や比が条件に合うかを確かめます。線分の両端をたどれば、平行線の比は意味のある式になります。