高校物理 光の屈折とレンズ—法線から測る角と光線図で光の進路と像を決める｜武蔵野個別指導塾

境界面からの角を入射角へ直し、臨界状態と全反射を区別します。凸レンズの像距離と倍率は、符号を光線図に照らして判定しましょう。

よくあるのは、高校生が境界面から測った角をそのまま屈折の式に入れ、光の曲がる向きを逆にする場面です。図には角が書いてあっても、その片方の辺が境界面なのか法線なのかを見落とすと、式の形が合っていても結果が合いません。光がどちらの媒質から来たかを矢印で押さえ、角の基準を描いてから計算します。レンズの像も同じように、実際に進む光とその延長を分けると位置を判断できます。

どの情報から進路を決めるか

定期テストでは、まず境界を通る光の入射角と屈折角、屈折率のうち不足する量を求める型があります。角度が境界面との角で示される場合は、法線との角に直してから式に入れます。屈折率の大きい側から小さい側へ向かうときは、屈折光が存在するかという判定も必要です。

次に、凸レンズで物体距離と焦点距離から像の位置や大きさを求める型があります。数値が出ても、光線を延長して得る虚像なのか、実際の光線が集まる実像なのかを確認します。さらに鏡や偏光を含む設問では、光の進む向きや振動方向を言葉と図で説明します。複合レンズは扱わず、単一の薄いレンズと基本的な鏡に絞ります。

法線と光線を先に描く

図1のように、境界面に垂直な線を入射点に引いたものが法線です。入射角 i は入射光線と法線の間、屈折角 r は屈折光線と法線の間の角です。どちらも入射点から各光線を外向きに見た角として測ります。境界面と光線のなす鋭角が θ なら、法線からの角は 90° − θ です。

図1では光が上側から下側へ進み、法線に近づいています。この場合、下側の屈折率は上側より大きくなります。媒質1と2の絶対屈折率を n₁、n₂ とすると、屈折の法則は次の形です。

n₁ sin i = n₂ sin r

sin は直角三角形で、その角に対する向かいの辺を斜辺で割った比です。角が 0° から 90° まで大きくなると sin も大きくなります。例えば n₂ が n₁ より大きければ sin r は sin i より小さく、r は i より小さいので、屈折光は法線に近づきます。垂直入射では両方の角が 0° で、向きは変わりません。

同じ振動数の光について、媒質中の速さを v、真空中の速さを c とすれば n = c / v です。境界を越えても振動数は変わらず、速さと波長は変わります。媒質ごとに波長が変わるので、屈折率の比を波長の比として使うときは対応する媒質の順序に注意します。

大きい屈折率の媒質から小さい媒質へ進む場合、入射角を大きくすると屈折角はより大きくなります。屈折角が 90° になる入射角を臨界角と呼びます。それより大きい入射角では屈折光として外へ進む光がなく、全反射が起こります。屈折角が 90° の境目と、その角を超えた場合を区別してください。逆向きの入射では臨界角をこの方法で設けられません。

屈折率は光の色によって異なることがあります。白色光がプリズムを通ると色ごとの進路が分かれる現象が分散です。偏光は、光の電場の振動方向に偏りがある状態です。偏光板を通した光は透過軸方向の成分を持ち、2枚の透過軸が直交すれば理想的には光が通りません。色による進路の差と、振動方向の選択は別の現象です。

基本例題：凸レンズの実像

薄い凸レンズの焦点距離は 0.10 m です。高さ 0.030 m の物体を光軸に垂直に立て、レンズの左 0.30 m に置きます。光は左から右へ進むものとします。像の位置をレンズからの距離、像の高さを m 単位の分数で求め、向きと実像か虚像かも答えてください。レンズの厚さは無視します。

図2のように、光軸に平行な光はレンズ通過後に右の焦点を通り、レンズの中心を通る光は直進します。この2本の交点が物体の先端の像です。図は形を示す模式図で、距離と高さの縮尺は同一ではありません。

物体距離を a、像距離を b、焦点距離を f とします。物体は入射側に実在するので a を正とし、像は光の進む側にあれば b を正、入射側にあれば負とします。凸レンズの f は正です。この符号で薄いレンズの式は次のようになります。

1/a + 1/b = 1/f

条件を代入して、1/0.30 + 1/b = 1/0.10 です。したがって 1/b = 10 − 10/3 = 20/3 m⁻¹、b = 3/20 m です。正なので像はレンズの右側にでき、実際の光が集まる実像です。

高さは光軸から上向きを正にして、物体の高さを h、像の高さを h’ とします。中心を通る光線による相似から h’/h = -b/a です。よって h’ = -(3/20)/(3/10) × 0.030 = -3/200 m です。負は倒立を示し、像の高さの大きさは 3/200 m です。

元の条件に戻して、物体距離 3/10 m、像距離 3/20 m なら逆数の和は 10/3 + 20/3 = 10 m⁻¹ です。焦点距離 1/10 m の逆数と一致します。倍率は -1/2 なので、物体の高さの半分で上下が逆という図の関係とも合います。像距離が正だからといって高さも正になるわけではありません。

光線図を描くときは、物体の先端から出る光を選びます。軸に平行な光と中心を通る光は同じ点から出発するので、通過後の交点を先端の像として対応させられます。物体の根元は光軸上にあるため、像の根元も光軸上です。先端と根元の対応を確認すると、倒立を図から読み違えにくくなります。交点から軸へ垂線を下ろせば像の高さが読み取れます。レンズの端から任意に線を引くと、元の先端を通らない光線を混ぜてしまいます。

作図で交点が紙の外に出た場合は、交わらないと即断せず、物体が焦点の外か内かを先に調べます。焦点に近い外側では実像が遠くにでき、図の範囲に収まらないことがあります。式で得た距離が大きいときは、作図の範囲と符号を照らし合わせて判断します。物体が焦点上の場合に限って、ここで使った理想化のもとでは出射光が平行です。

分かれ目：焦点の内側に物体を置く

同じく薄い凸レンズについて、焦点距離を 0.12 m、物体距離を 0.08 m、物体の高さを 0.020 m とします。実物体は左側にあり、光は右向きです。像の位置と高さを m 単位の分数で求め、実像と虚像、正立と倒立を判定してください。

1/b = 1/0.12 − 1/0.08 = 25/3 − 25/2 = -25/6 m⁻¹ です。したがって b = -6/25 m となります。負号はレンズの左側を表すので、像はレンズから左へ 6/25 m の位置です。倍率は -b/a = 3 で、像の高さは 3/50 m、正立です。

レンズを出た光は右側で広がり、実際にはそこで交わりません。出射光線を左へ延長すると交わるため、目には左側に像があるように見えます。これが虚像です。スクリーンを左側に置いて光を集める像ではありません。計算結果を戻すと、1/0.08 + 1/(-0.24) = 25/2 − 25/6 = 25/3 m⁻¹ となり、焦点距離の逆数と一致します。

物体が焦点上にあるときは 1/b = 0 です。出射光は平行となり、有限の位置に像距離を決められません。この場合に b = 0 とするのは誤りです。また、凹レンズでは同じ規約で焦点距離を負にします。入射側に実物体があるとき、像は入射側の焦点とレンズの間にできる正立縮小の虚像です。

鏡では入射角と反射角を法線から測り、両者は等しくなります。平面鏡なら鏡面に垂直な方向に、物体と同じ距離だけ鏡の裏に虚像ができます。凹面鏡は平行光を反射後に焦点へ集め、物体が焦点の内側にある場合には鏡の裏に正立の虚像を作ります。鏡の反射後は光の進む向きが逆になるので、レンズの左右をそのまま写さず、入射光と反射光の矢印を描いて判断します。

誤答を修正する：面から測った角

図3のように、境界面と入射光線の角が 30° であるとします。入射角を 30° として屈折の式に入れる答案は、与えられた角の基準を取り違えています。法線は境界面に垂直なので、正しい入射角は 90° − 30° = 60° です。図の角を法線まで補ってから代入することで修正できます。

例えば入射側の屈折率が √3、屈折側が 2 なら、√3 sin 60° = 2 sin r です。sin 60° = √3/2 より sin r = 3/4 です。屈折角は 60° より小さく、屈折率が大きい側で法線に近づく図とも矛盾しません。30° を誤って代入すると sin r = √3/4 となり、異なる進路を求めてしまいます。

もう一つの誤りは、大きい屈折率から小さい屈折率へ入る問題で、計算した sin r が 1 を超えても角度を探し続けることです。これは実数の屈折角がないという合図です。入射方向と臨界角を調べ、条件を満たせば全反射と答えます。sin r が 1 ちょうどなら屈折光が境界に沿う臨界状態であり、超えた場合と区別します。

練習：条件を読み替えて進める

以下の距離は薄いレンズまたは鏡の面から測り、光線は光軸に近いものとします。角の計算には sin 30° = 1/2、sin 45° = √2/2、sin 90° = 1 を用います。屈折率は各問題の条件であり、媒質の実測値ではありません。

1. 屈折率 1 の媒質から屈折率 √2 の媒質へ光が入ります。入射光線と境界面の角が 45° のとき、屈折角を法線から測った角度で答えてください。
2. 屈折率 2 の媒質から屈折率 1 の媒質へ光が進みます。入射角が 30° の場合と 45° の場合について、屈折光の有無と、存在すれば屈折角を答えてください。
3. 焦点距離 0.20 m の薄い凸レンズの左 0.60 m に、高さ 0.040 m の物体を置きます。光は右へ進みます。像の位置と高さを m 単位の分数で求め、向きと実像か虚像かを答えてください。
4. 平面鏡の前 0.35 m に小さな物体を置きます。物体を鏡に垂直に 0.10 m 近づけた後の、物体と像の間の距離を m 単位の小数で答えてください。鏡は動かず、像を鏡の裏側にとります。

答えと途中の判断

1. 面と法線は垂直なので、入射角は 90° − 45° = 45° です。1 × sin 45° = √2 sin r から sin r = 1/2、屈折角は 30° です。元の式に戻すと両辺とも √2/2 です。屈折率の大きい側で角が小さくなることも一致します。

2. 30° の場合、2 sin 30° = sin r = 1 となり、r = 90° です。屈折光は境界に沿う臨界状態です。45° なら sin r = √2 となり、1 を超えるので屈折角は存在せず全反射です。30° が臨界角であり、45° はそれを超えるという判定に戻せます。屈折光が出ない場合にも反射光は存在します。

3. 1/b = 1/0.20 − 1/0.60 = 5 − 5/3 = 10/3 m⁻¹ なので b = 3/10 m です。レンズの右 3/10 m に実像ができます。倍率は -(3/10)/(3/5) = -1/2 ですから、像の高さは -1/50 m、すなわち大きさ 1/50 m の倒立像です。逆数の和は 5/3 + 10/3 = 5 m⁻¹ となり、与えた焦点距離に戻ります。

4. 移動後の物体と鏡の距離は 0.35 − 0.10 = 0.25 m です。像は鏡の裏に同じ 0.25 m だけ離れ、物体と像の間は 0.50 m です。鏡から両側へそれぞれ 0.25 m を足せば元の配置に戻り、移動前の間隔 0.70 m より 0.20 m 短くなったことも確かめられます。

要点を持ち帰る

入射角と屈折角は法線から測ります。
大きい屈折率から小さい側へ進むとき、臨界角を超えると全反射です。
レンズの像距離は光の進む側を正とし、負なら入射側の虚像です。
光線の交点と延長線の交点を区別し、倍率の符号で像の向きを判定します。

答案のどこを見るか

角度の問題では、答案の図に法線があるか、与えられた角と式へ入れた角が同じ場所を指すかを見てください。数式が合っていても、図の角が境界面から測られていたら角の読み取りに戻ります。法線からの入射角には、その角の余角、つまり90°から引いた角を使います。全反射の答えでは、入射側と屈折側の大小、臨界角との比較まで言葉にできるかを確かめます。

個別指導で確認するなら、レンズの式を書いた後に像距離の符号の意味を本人に説明してもらい、光線の実線と延長線を描き分けます。さらに倍率の負号を高さの向きへ結びつけ、答えを元の焦点距離に代入して照合します。光の進路は、角の基準と光線の向きをそろえた図から決まります。