高校物理 音の干渉とドップラー効果—経路差と波の間隔から聞こえる振動数を求める｜武蔵野個別指導塾

同位相の音源からの経路差と、音源・観測者が動くときの波面間隔を図でたどり、符号に迷うドップラー効果を整理します。

よくあるのは、音源と観測者が近づく問題で、2つの速さをまとめて分母に入れてしまう場面です。どちらも近づく動きですが、音源の動きは空気中の波面の間隔を変え、観測者の動きはその波面に出会う速さを変えます。式を覚える前に、何が変わるかを分けましょう。同じ音の単元でも、2つの音源から届く道のりを比べる問題では、波の山と山がどのように重なるかが出発点です。

問題文から選ぶ2つの入口

定期テストでは、同じ振動数で同位相の2つの音源と観測点が与えられ、強め合うか弱め合うかを経路差で判定する型があります。長い道のりと短い道のりの差を波長で割り、何波長分ずれて届くかを調べます。距離の合計ではなく差を使う理由は、共通して進んだ分が到着時の位相差には影響しないからです。

もう1つは、動く音源や観測者が聞く振動数を求める型です。音源と観測者の速さを、静止した空気に対する速さとして読み取ります。問題の方向を図に書き、波が進む向きに沿って波面間隔と出会う速さを順に求めます。音の速さより速い運動や相対論的な扱いはここでは考えません。

回折を問う設問では、障害物の向こう側に音が回り込む様子を考えます。開口部の幅と波長の関係を言葉で説明できるかが大切です。数値計算に入る前に、問題が経路差、運動、回り込みのどれを求めているかを見極めます。

波面と経路差を描く

音は空気の圧力が高い部分と低い部分の変化が伝わる波です。波長 λ は同じ状態の隣り合う波面の間隔、振動数 f は1秒あたりの振動回数です。静止した空気中の音速を V とすると、静止音源の波長は λ = V / f です。音が進むことと空気の粒子が音源から観測者まで運ばれることは別です。

図1のように、同位相で振動する2つの音源 A、B から点 P までの距離をそれぞれ rA、rB とします。音速が両方の経路で同じなら、経路差 d = |rA − rB| が波長の整数倍のとき、同じ位相で届いて強め合います。d = mλ です。m は 0 以上の整数です。経路差が半波長の奇数倍、すなわち d = (m + 1/2)λ なら逆位相で届き、弱め合います。

図1の線は経路を示す模式図です。音源の強さが等しく、同じ大きさの波が点 P に届く理想条件なら、逆位相で変位が打ち消されます。届く振幅が異なる場合は弱め合っても完全には消えません。強め合う点も無限に大きく振動するという意味ではありません。

音の回折は波が障害物の背後や開口部の外側へ広がる現象です。開口部の幅が波長と同程度以下になると広がりが目立ちます。幅が波長より十分大きい場合にも回折はありますが、直進する成分に比べて広がりは目立ちにくくなります。音の高さだけでなく、同じ音速なら低い振動数ほど波長が長いという関係を使って比べます。

式の符号を決めるための基準

波面を紙の上の縦線として想像します。一定の時間ごとに音源から新しい線が出て、それぞれの線は空気に対して音速で進みます。音源が観測者側へ進むと、次の線は前の線に近い位置から出ます。逆に観測者側から離れると、次の線はより遠い位置から出るので間隔は広がります。これは音源が出す周期を変えなくても起こります。

観測者の運動を考える段階では、すでに描いた線の間隔をそのまま使います。波に向かう人は短い時間で次の線に出会い、波と同じ向きに逃げる人は長い時間をかけて次の線に追いつかれます。どちらも観測する回数の変化です。波長と振動数を混同せず、空気に対する量と観測者が測る量を区別してください。

静止した音源と観測者なら、1秒に f 個の波面が届きます。音源だけが近づいた場合は間隔が狭まるので f より高く、音源だけが遠ざかった場合は低くなります。観測者だけが波に向かう場合も高くなります。両方が動く場合は、それぞれの効果が逆向きなら大小を計算してから判断します。

基本例題：近づく音源と観測者

静止した空気中で音速を計算条件として 340 m/s とします。一定の振動数 500 Hz の音源が右向きに 20 m/s で動き、右側にいる観測者が左向きに 10 m/s で動きます。両者は同一直線上で近づき、音源と観測者の速さは音速未満です。観測者が聞く振動数を整数の Hz で求めてください。反射は考えません。

図2のように、まず音源が1回振動する時間を求めます。周期を T とすると、

T = 1 / 500 s

です。この時間に先に出た波面は右に 340 / 500 m 進みます。一方、音源は右に 20 / 500 m 進んで次の波面を出します。したがって観測者側の隣り合う波面の間隔 λ’ は、

λ’ = 340 / 500 − 20 / 500

= 320 / 500 = 0.64 m

です。音源が前進した分だけ波面の間隔が縮みます。空気中を伝わる波面の速さそのものは 340 m/s のままです。

次に観測者から見た波面との近づく速さを求めます。波面は右へ 340 m/s、観測者は左へ 10 m/s なので、1秒間に両者の間隔は 350 m 縮みます。1秒間に出会う波面の数が聞こえる振動数 f’ ですから、

f’ = 350 / 0.64 = 546.875 Hz

整数に丸めて 547 Hz です。式をまとめると f’ = 500 × (340 + 10) / (340 − 20) です。音源の速さは分母の波面間隔に、観測者の速さは分子の出会う速さに現れます。

答えを場面に戻すと、波面は 0.64 m 間隔で並び、観測者との接近速さは 350 m/s です。1秒に 546.875 個の間隔を通過するので、丸める前の値と一致します。近づく両方の効果で元の 500 Hz より高くなる点も確認できます。音源が止まれば分母は 340 に戻り、観測者も止まれば元の振動数に戻ります。

少し難しい例題：追いかけるときの方向

静止した空気中の音速を計算条件として 300 m/s とします。600 Hz の音源が右へ 30 m/s で動き、その右側の観測者も右へ 15 m/s で動きます。両者は同一直線上にあり、観測者は音源より前にいます。互いに出会う前に聞こえる振動数を整数の Hz で求めてください。速さは音速未満で、反射は考えません。

音源が1周期に進む分を引くと、前方の波面間隔は

λ’ = (300 − 30) / 600 = 0.45 m

です。観測者は波と同じ右向きに動くので、波面が観測者に追いつく速さは 300 − 15 = 285 m/s です。よって

f’ = 285 / 0.45 = 1900 / 3 Hz

となり、整数では 633 Hz です。音源が観測者に近づく効果は振動数を上げ、観測者が波から逃げる効果は下げます。この条件では前者の効果が勝ち、元の 600 Hz より高くなります。

戻して確かめると、観測者に対して1秒間に 285 m 進む波面が、0.45 m ごとに到着します。285 ÷ 0.45 は 1900 / 3 で、求めた値に一致します。観測者が音源に近づいているかという言葉だけで分子を決めると、この例では間違えます。分子は波面に向かうか、波面から逃げるかで決めます。

観測者が音源の左側にいる場合には、届く波は左向きです。右へ動く音源は左側へ出す波面から遠ざかるため、間隔は (300 + 30) / 600 になります。左右のどちらに観測者がいるかを先に描くことが分かれ目です。音源が観測者を通過する瞬間をまたぐ問題では、通過前と通過後を別々に考えます。

誤答を波面へ戻す

基本例題で、2つの速さを分母へまとめて 500 × 340 / (340 − 20 − 10) とする答えは誤りです。観測者の運動は、すでに空気中にできた波面の間隔を変えません。観測者が波面と出会う回数を変えるため、分子に反映します。

図3のように、音源から出る波面の間隔を先に描いてから、観測者と波面の矢印を比べます。音源が近づくと分母が小さくなり、観測者が波面へ向かうと分子が大きくなります。観測者の速さを引くか足すかは、音源との距離だけでなく波の進行方向で判断します。

干渉では、経路差が 1/2 波長のときに強め合うとする誤りもあります。同位相で出た波の一方が半周期遅れると、山と谷が重なります。まず同位相という出発条件を書き、差を波長で割って整数か半整数かを確認します。音源の位相が初めからずれている場合は、そのずれも加える必要があり、同位相用の条件をそのまま使えません。

条件が変わるときの点検

経路差の条件は、2つの波が同じ媒質を通り、同じ波長で点に届く場合の判定です。もし異なる道で音速が変わるなら、道のりの差だけでは位相差を決められません。また、音源の動きが一定でない場合、連続する波面を出した時刻の位置関係を個別に考える必要があります。問題に与えられた条件を見ずに式の符号だけを暗記すると、どこまで適用できるかを見失います。

振動数の単位 Hz は1秒あたりの回数です。波面間隔を m、出会う速さを m/s でそろえれば、割り算の結果は1/sとなります。計算が終わったら、単位と、近づく場合に値が増えるかという両方を確認しましょう。逆に効果が打ち消し合う場合は、見た目の方向だけで大小を決めずに式を計算します。

自分で試す4問

各問の音速は計算のために与えた条件です。音源と観測者は同一直線上で、動く速さは音速未満、空気は静止し、反射はないものとします。数値の答えは指定した形で求めてください。

1. 同位相で同じ振動数の2音源から点 P までの距離が 4.0 m と 5.5 m です。音速 300 m/s、振動数 200 Hz とします。点 P で強め合うか弱め合うか、経路差を m で示して答えてください。
2. 右向きに 25 m/s で動く 550 Hz の音源の右側に、静止した観測者がいます。音速は 300 m/s です。聞こえる振動数を整数の Hz で求めてください。
3. 静止した 400 Hz の音源の右側で、観測者が右向きに 30 m/s で動きます。音速は 300 m/s です。聞こえる振動数を整数の Hz で求めてください。
4. 同位相で同じ振動数の2音源から点 Q までの距離が 2.0 m と 3.2 m です。音速 240 m/s、振動数 300 Hz です。点 Q で強め合うか弱め合うか、経路差を波長の何倍か分数で示して答えてください。

解答と道のりの確認

1. 波長は 300 / 200 = 1.5 m です。経路差は 5.5 − 4.0 = 1.5 m で、ちょうど1波長です。したがって 強め合います。長い経路には短い経路より1波長多く入るので、同位相で出た波は同位相で届きます。距離を足した 9.5 m は到着時のずれではありません。

2. 音源の周期は 1 / 550 s です。前方の波面間隔は (300 − 25) / 550 = 0.5 m です。静止した観測者には波面が 300 m/s で近づくため、300 / 0.5 = 600 Hz です。場面に戻すと、1秒に 300 m 進む波面の間に 0.5 m ごとに1つの波面があるので、600 回出会います。音源が近づくため元の振動数より高い結果です。

3. 静止音源の波長は 300 / 400 = 0.75 m です。観測者は右へ進む波から逃げるので、波面が追いつく速さは 300 − 30 = 270 m/s です。270 / 0.75 = 360 Hz です。1秒で観測者に対して 270 m 進む波が 0.75 m ごとに到着すると考えても、360 回になります。分母を変えてはいけません。

4. 波長は 240 / 300 = 0.8 m、経路差は 3.2 − 2.0 = 1.2 m です。1.2 / 0.8 = 3/2 なので、波長の3/2倍の差があり、弱め合います。長い経路の余分な部分は1波長と半波長です。1波長分では位相が元に戻り、残る半波長分で逆位相になります。完全に消えるかは、点 Q に届く振幅が等しいかにも依存します。

手元に残す要点

• 同位相の2音源では、経路差が整数波長なら強め合い、半整数波長なら弱め合います。
• 音源の運動で波面間隔が変わり、観測者の運動で波面と出会う速さが変わります。
• 波が向かう側と音源・観測者の矢印を描き、波面間隔から順に式を立てます。
• 回折の広がりは開口部の幅と波長を比べて考えます。

答案のどこを点検するか

経路差の問題で答えが逆になったら、距離の差を取った後に波長で割ったか、音源が同位相という条件を書いたかを答案で確かめます。ドップラー効果で符号が合わないときは、音源が1周期に進む距離と、観測者に対する波面の速さを別の行に書き直します。個別指導では、本人が描いた矢印と式の各項を対応させ、音源を止めた場合や観測者を止めた場合に元の式へ戻るかを一緒に点検できます。経路差も波面の間隔も、図に戻せば符号の理由が見えてきます。