高校物理基礎 波の表し方—波形から振幅と波長を読み周期と速さを求める｜武蔵野個別指導塾

山どうしの間隔と振動の回数を手がかりに、振幅・波長・周期を区別して波の速さを計算します。

よくあるのは、ひもの波形を見た高校生が、山が右へ進む速さを、ひもの一点が上下に動く速さとして計算する場面です。ひもの各部分は上下に振動し、その振動の状態が隣へ伝わることで山が移ります。図の中で何が移動しているのかを言葉にしてから、距離と時間を対応させます。

問われる量を先に選ぶ

波の問題には、ある時刻の形から振幅と波長を読む型があります。横軸が位置なら、隣り合う山の間隔は距離です。縦軸の中心線から山までの距離は振幅で、山から谷までの高さをそのまま振幅にしないことが出発点です。

もう1つは、一定の場所にある媒質の振動から周期や振動数を求める型です。1回の振動にかかる時間と、1秒あたりの振動回数は逆数です。さらに波長と周期を組み合わせて、波の進む速さを出す型もあります。どの型でも、図の横軸と単位を確かめ、求めるものが長さか時間か速さかを先に書きます。

ここで扱うのは、一定の速さで進む周期的な波の基本です。重なった波や端で反射する波の形は扱いません。縦波を表すときも、媒質の動きの向きと波の進む向きを区別するところまでを考えます。

波の形と振動の尺度

波を伝える物質を媒質といいます。張ったひもに波を送るなら、ひもが媒質です。波の進行方向に対して媒質が垂直に振動する波を横波、平行に振動する波を縦波といいます。横波でも縦波でも、振動の状態が次々と伝わります。媒質の各部分が波と一緒に端から端まで運ばれるという意味ではありません。

図1のように、ある時刻のひもの形を位置に対して描くと、中心線からの変位が縦に示されます。変位は、振動していないときの位置からの向きつきのずれです。上向きを正にすると、中心線より下の変位は負です。振幅はその絶対値の最大であり、正の長さで表します。

図1では、振幅は中心線から山までです。波長は、同じ時刻に隣り合う山どうしの距離です。隣り合う谷どうしでも同じ波長を測れます。山から隣の谷までは半波長で、波長全体ではありません。同じ変位であっても、山へ向かう途中と谷へ向かう途中の点を無条件につなぐと、1波長にはならないことに注意します。

周期を T、振動数を f とすると、f = 1 / T です。周期の単位は s、振動数の単位は Hz で、1 Hz は1秒あたり1回の振動を表します。例えば1回に2 sかかるなら1秒あたり1/2回なので、振動数は0.5 Hzです。これは振動が半分で止まるという意味ではなく、一定時間あたりに換算した回数です。

波長を λ、波の速さを v とすると、v = λ / T = fλ です。1周期の間に、山など同じ振動状態が1波長分進むためです。式の右辺は m / s または Hz と m の積で、速さの単位 m/s になります。この速さは波形が進む速さです。媒質の一点は往復するので、その速さは振動中に変わり、一般に波の速さとは一致しません。

縦波では、媒質が進行方向に沿って往復し、密な部分と疎な部分が伝わります。同じ時刻に隣り合う密な部分の間隔は1波長です。粒子の集まり自体がその間隔を移動するのではなく、密になった状態が伝わります。横波の山に相当する目印として密な部分を追うと、伝わる状態と振動する媒質を分けて考えられます。

時間の情報だけが与えられた場合は、位置の間隔を直接読むことはできません。例えば一点が一定の周期で振動しているとわかっても、波の速さがわからなければ波長は決まりません。逆に、ある時刻の形から波長が読めても、その形がどのくらいの速さで進むかには時間についての条件が必要です。図にある数字を何でも掛けるのではなく、求めたい量に必要な情報がそろっているか確かめます。

単位が cm と m で混ざるときは、速さを m/s で出す前に長さを m にそろえます。時間が複数回分なら、どの区間が1回の振動にあたるかも確認します。波形の山を追う場合と一点の往復回数を数える場合では、観察している対象が違いますが、周期的な波では1周期に波形が1波長進む関係で結びつきます。

基本例題：山の間隔から速さへ

水平に張った長いひもを、一定の周期で上下に振動させます。波は右向きに一定の速さで進み、形は変わらないものとします。ある時刻の波形で、中心線から山までの距離は0.04 m、隣り合う山の位置は0.30 mと1.50 mです。ひもの一点は3.0 sに2回振動します。振幅、波長、周期、振動数、波の速さを求め、振動数は小数第2位まで、それ以外は小数で表してください。右向きを位置の正方向とします。

図2のように、まず同じ時刻に撮った形から距離を読み取ります。ひもの一点の振動回数は別の時間の情報です。2種類の情報を混ぜずに、それぞれ単位を付けて並べます。

振幅 A は中心線から山までなので、A = 0.04 mです。山と谷の間を測って2倍にしないよう、始点が中心線であることを確認します。次に、隣り合う山の位置の差を取ります。

λ = 1.50 − 0.30 = 1.20 m

3.0 sで2回振動するので、1回にかかる周期は次の通りです。

T = 3.0 / 2 = 1.5 s

振動数は1秒あたりの回数です。周期の逆数を取っても、回数を時間で割っても同じになります。

f = 1 / 1.5 = 2 / 3 Hz

指定に合わせると循環小数なので、振動数は約0.67 Hzと小数第2位まで表します。途中では2 / 3 Hzを使います。波の速さは、1周期に1波長が進むことから求めます。

v = λ / T = 1.20 / 1.5 = 0.80 m/s

答えは振幅0.04 m、波長1.20 m、周期1.5 s、振動数約0.67 Hz、速さ0.80 m/sです。小数第2位で丸めた振動数を途中で使うと、速さにも丸めの影響が出ます。最後まで分数を保てば、1.20 × 2 / 3 = 0.80 m/sと戻せます。

答えを場面に戻すと、0.80 m/sで1.5 s進む距離は1.20 mで、2つの山の間隔に一致します。また1回1.5 sの振動を2回行うと3.0 sです。波の山がこの距離を進むことと、ひもの一点が上下に動く距離を同一視しないでください。

条件が変わるときの分かれ目

同じ媒質中で波の速さが一定のまま、振動源の振動数を変える場合を考えます。ひもを右へ進む波の速さは2.4 m/sで、初めの振動数は3.0 Hzです。振動数を4.0 Hzに変えて十分時間がたった後も、波の速さは2.4 m/sとします。各状態の周期は小数第3位まで、波長は小数で求めてください。位置の正方向は右とし、波はそれぞれ一定の形で進むものとします。

初めの周期は T = 1 / 3.0 = 1/3 s、後の周期は T = 1 / 4.0 = 0.25 sです。前者は小数第3位までで約0.333 sです。速さと振動数から波長を出すには、v = fλ を λ = v / f と変形します。

初めの波長は λ = 2.4 / 3.0 = 0.80 mです。変更後は λ = 2.4 / 4.0 = 0.60 mです。振動数を増やしても波の速さが一定なら、1周期が短くなり、その間に進む距離も短くなります。振動数が大きいから波の速さも必ず大きい、と決めないことが分かれ目です。

逆に、振動数が一定で波の速さが変わるという条件なら、波長は速さに比例します。どの量が一定かは問題文によって異なります。ここでは初めも後も、波長に振動数を掛けるとそれぞれ0.80 × 3.0 = 2.4、0.60 × 4.0 = 2.4となり、与えられた速さに戻ります。周期も振動数との積が1になることを確かめられます。

誤答を図に戻して直す

図3の波形で中心線から山までが0.05 m、山から谷までが0.10 mだとします。振幅を0.10 mとする誤答は、振動の中心から最大のずれではなく、両端の間隔を取ったことが原因です。中心線を始点にし直すと、振幅は0.05 mです。谷の変位は、上向きを正として -0.05 mですが、振幅そのものは正の0.05 mです。

図3のように、中心線と両端に印を付けると、山から谷までが振幅の2倍だと見えます。図の縦軸の単位を見落として数だけを写した場合も、長さの単位を付け直してください。中心線が示されない問題では、山と谷の中間が振動の中心かどうかを条件から確かめます。

周期を求めるとき、4回の振動にかかる時間をそのまま1周期とする誤りもあります。回数が複数なら、合計時間を回数で割ります。一方、振動数を求めるなら回数を時間で割ります。どちらを求めるかを単位で照合すると、割る順序の取り違えに気づけます。

波長を山から隣の谷までとする誤りには、同じ振動状態が繰り返される位置を探すことで対応します。山から次の山までは、山から谷、谷から次の山の2区間です。また、波の速さを求めた後にその値を媒質の最大の速さとして扱う誤りには、何が進む距離かを式の横に書きます。v = λ / T の分子は波形の目印が進む距離です。

自分で確かめる問題

次の波は各状態で一定の速さで進む周期的な波です。位置の正方向は進行方向とします。数値は問題の条件として与えます。答えは指定された形で、単位も付けてください。

1. 横波のある時刻の形で、中心線から山までが3 cm、隣り合う谷の位置が12 cmと52 cmです。振幅と波長を整数で求めてください。
2. 水平に置いたばねを長さ方向に振動させると、密な部分が右へ進みます。ばねの各部分の振動方向に対して横波か縦波か答えてください。隣り合う密な部分の距離が0.90 m、周期が0.30 sのとき、振動数を分数で、波の速さを小数で求めてください。
3. 波が一定の速さ1.5 m/sで進みます。振動源は5.0 sに10回振動します。周期、振動数、波長を小数で求めてください。
4. 同じ媒質中で速さが3.6 m/sの波を作ります。振動数を2.0 Hzから6.0 Hzに変えた後も速さは変わりません。変更前後の波長を小数で求め、どちらが長いか答えてください。

答えと道筋

1. 振幅は中心線からの最大のずれなので3 cmです。谷どうしは隣り合う同じ状態ですから、波長は52 − 12 = 40 cmです。12 cmの谷から40 cm進むと52 cmに戻り、位置の条件に合います。山から谷までなら6 cmで、振幅とは異なります。

2. 振動方向と進行方向が平行なので縦波です。振動数は f = 1 / 0.30 = 10/3 Hz、波の速さは v = 0.90 / 0.30 = 3.0 m/sです。3.0 m/sで0.30 sに進む距離は0.90 mで、隣り合う密な部分の間隔に戻ります。ばねの各部分が0.90 m移動すると考える必要はありません。

3. 1回の時間は T = 5.0 / 10 = 0.50 s、1秒あたりの回数は f = 10 / 5.0 = 2.0 Hzです。よって波長は λ = vT = 1.5 × 0.50 = 0.75 mです。0.50 sを10回分合わせると5.0 s、0.75 mを0.50 sで進む速さは1.5 m/sとなり、両方の条件に戻ります。

4. 変更前は λ = 3.6 / 2.0 = 1.8 m、変更後は λ = 3.6 / 6.0 = 0.60 mです。変更前のほうが長く、3倍です。1.8 × 2.0 と0.60 × 6.0 はともに3.6 m/sなので、一定とした速さに戻ります。振動数が3倍になった分、波長は3分の1になります。

覚えておくこと

振幅は中心からの最大のずれ、波長は隣り合う同じ振動状態の間隔です。 周期 T と振動数 f は f = 1 / T で結ばれます。 波の速さは v = λ / T = fλ です。 媒質の振動と波形の進行は別の動きです。

説明が止まる場所を見つける

式に代入できても、波長の両端を図で指せないときは、山と谷のどちらから測り始めたかを声に出してみます。山から隣の谷までを1波長と答えたなら、さらに次の山までたどり、同じ状態が繰り返される位置を探します。周期と振動数が逆になる場合は、1回あたりの秒数と1秒あたりの回数を別々に書きます。

個別指導で確かめるなら、ひもの一点を指しながら、その点がどちらへ動き、波形の山がどちらへ進むかを説明してもらいます。次に1周期で山が進む距離を図に示し、速さの式を自分の言葉でつなげます。波形の移動と媒質の往復を区別できれば、数字のない図からも考え始められます。