高校物理基礎 熱と仕事の関係—内部エネルギーの増減と熱効率の式を整理する｜武蔵野個別指導塾

気体がした仕事とされた仕事の符号を区別し、1周期の収支から熱効率を求める手順を追えます。

よくあるのは、気体が外へ押し広げる仕事と、外から気体を押し縮める仕事の符号を混ぜる場面です。同じ「仕事が40 J」という数値でも、誰が誰にしたかで気体のエネルギー収支への入り方が変わります。まず気体を勘定の対象に決め、境界を通る熱と仕事の向きを矢印で分けましょう。

問題文から拾う3つの型

第1の型は、加えられた熱と外からされた仕事から、内部エネルギーの変化を求める問題です。増加と減少を数値の符号で区別し、単位を J にそろえます。初めの内部エネルギーまで与えられた場合は、変化量を初めの値に加えて終わりの値を出します。変化量と終わりの値は別の量です。

第2の型は、内部エネルギーの変化から、出入りした熱や仕事を逆算する問題です。未知数をいったん文字で置き、移項してから数値を代入します。「外へ放出した熱」は気体が受け取った熱としては負です。負の答えが出たら、その大きさと実際の向きを言葉に戻します。

第3の型は、熱機関が高温側から受け取る熱、低温側へ捨てる熱、外部へする仕事の関係を問う問題です。1周期後に作動物質が元の状態へ戻ることが、収支を結ぶ条件です。熱効率は受け取った熱を分母にする割合で、百分率にするときは100倍します。気体の状態方程式や過程ごとの圧力の計算は扱いません。

気体を囲んで出入りを数える

対象の内部に蓄えられているエネルギーを内部エネルギー U とします。初めを U₁、終わりを U₂ とすると、変化は ΔU = U₂ − U₁ です。ΔU が正なら増加、負なら減少です。U そのものと、ある変化の間に移動する熱や仕事を同じ種類の数として扱わないようにします。

ここでは気体が外部から受け取る熱を Q、外部から気体がされる仕事を W とし、どちらも気体にエネルギーが入る向きを正とします。熱力学第一法則は次の式です。

ΔU = Q + W

図1のように、熱が気体へ入ると Q は正、気体から出ると負です。外から圧縮されると W は正、気体が外へ押し広げると W は負です。気体が外へした仕事を A と呼ぶ問題では W = -A なので、同じ法則は ΔU = Q − A と書けます。式を選ぶ前に、記号の意味を余白に書きましょう。

図1の矢印は、気体へ入る量を正に選んだことを表します。矢印と逆向きなら、その量は負です。たとえば熱を受け取っても、外へする仕事がそれを上回れば内部エネルギーは減ります。反対に、熱を放出していても、圧縮で受ける仕事が放出量を上回れば増えます。熱が入ったかどうかだけで変化の符号を決めないことが要点です。

仕事も熱もない場合は Q = 0、W = 0 ですから ΔU = 0 です。熱の出入りがない条件は Q = 0 を意味しますが、仕事まで0とは限りません。また、内部エネルギーが変わらない条件は ΔU = 0 であり、熱と仕事がそれぞれ0であることまでは意味しません。等しい大きさで反対符号の出入りがあれば、合計が0になります。

もう一つ、熱の移動と温度の変化は同じ言葉ではありません。熱は温度差によって境界を通って移るエネルギーです。仕事によっても内部エネルギーは変わるため、熱の出入りの有無だけから内部エネルギーの増減を決めることはできません。問題で示された移動を両方数えてから、合計を判定します。

符号を取り違えやすいときは、計算の前に「入力を正」と書いて、問題文の量を表に置き換えます。熱の放出は熱の欄に負、外からの圧縮は仕事の欄に正を付けます。値が与えられない欄を勝手に0とせず、条件から0と判断できるかを確かめます。未知のまま残る量があれば、与えられた情報だけで何が求まるかを区別します。

たとえば変化量と熱が既知なら、仕事は W = ΔU − Q で求められます。この値が負なら、今回の約束では気体が外部へ正味の仕事をしたことになります。逆に正なら外部から正味の仕事をされたことになります。求めた符号を文章に戻して初めて、数式が場面とつながります。

基本例題：膨張するときの収支

ピストンに閉じ込めた気体を対象とします。気体は外部から熱を120 J受け取り、膨張して外部に35 Jの仕事をしました。この変化の初めの内部エネルギーを400 Jとします。気体が受け取る熱と、気体が外部からされる仕事を正に取り、内部エネルギーの変化と終わりの値を整数で求めてください。単位は J とします。

図2のように、熱は気体へ入り、仕事は気体から外へ出ます。出入りの相手が同じ向きではないので、与えられた2つの正の大きさをそのまま足してはいけません。気体が外部にした仕事は35 Jですが、気体がされた仕事はその逆の -35 J です。

順に記号へ直します。

Q = +120 J

W = -35 J

ΔU = Q + W

ΔU = 120 + (-35) = +85 J

したがって内部エネルギーの変化は +85 J、つまり85 Jの増加です。終わりの値は次のように求めます。

U₂ = U₁ + ΔU

U₂ = 400 + 85 = 485 J

答えは485 Jです。図2の数字へ戻して、受け取った120 Jのうち35 Jが仕事として外へ移り、残る85 Jが内部エネルギーの増加に対応することも確かめられます。終わりの485 Jから初めの400 Jを引いても85 Jです。

逆向きの検算もできます。気体がした仕事を A = 35 J と置けば、ΔU = Q − A = 120 − 35 = 85 J です。2つの式は別の法則ではなく、仕事の記号の取り方が違う同じ収支です。途中で W を「気体がした仕事」に読み替えると、マイナスを重ねて誤るので注意します。

条件が切り替わる問題：1周期の熱機関

紙の上で考える熱機関が、1周期の間に高温側から熱600 Jを受け取り、低温側へ熱450 Jを放出します。作動物質は周期の終わりに初めと同じ状態へ戻ります。装置全体の損失はなく、外部への正味のエネルギー移動は示された熱と仕事だけとします。外部へした正味の仕事を整数の J、熱効率を整数の百分率で求めてください。

作動物質を対象とし、受け取る熱とされる仕事を正にします。低温側へ出た熱は受け取った熱として -450 J なので、正味の熱 Q は次の値です。

Q = 600 − 450 = 150 J

元の状態に戻るため、1周期の内部エネルギーの変化は ΔU = 0 です。第一法則に代入すると、

0 = 150 + W

W = -150 J

外部からされた正味の仕事は -150 J ですから、外部へした正味の仕事は150 Jです。熱効率は外部へした仕事を高温側から受け取った熱で割ります。

熱効率 = 150 / 600 = 0.25 = 25%

検算では、外部へした仕事150 Jと低温側へ出た熱450 Jを足すと、受け取った600 Jへ戻ります。分母を正味の熱150 Jにすると100%となり、入力の600 Jに対する仕事の割合を表せません。

分かれ目は、途中の1変化を見ているか、元の状態に戻る1周期を見ているかです。1周期なら ΔU = 0 と置けますが、途中でピストンが動いている一部分については、元の状態に戻る条件がなければ0とは決められません。熱機関の式を単独の膨張にそのまま当てはめる前に、対象と始点・終点を読み直します。

符号が逆になった答案を直す

図3のように、気体が外から熱90 Jを受け取り、外へ60 Jの仕事をした場面を考えます。対象は気体、受け取った熱とされた仕事を正にします。内部エネルギーの変化を整数の J で求めるとき、「90 + 60 = 150 J」と答えたとします。

誤答の原因は、気体がした仕事の大きさ60 Jを、気体がされた仕事 W にそのまま入れたことです。図3の仕事の矢印は気体の外へ向かいます。W の正の向きは気体への入力なので、W = -60 J と直します。よって ΔU = 90 + (-60) = +30 J、30 Jの増加です。30 Jの増加と外へ出た仕事60 Jを合わせると、入力の90 Jに戻ります。

別の誤りとして、圧縮されたのに W を負とする答案もあります。圧縮では周囲が気体に仕事をするので W は正です。断熱という言葉を見て Q と W の両方を0にする誤りもあります。断熱なら熱の出入りを0にしますが、圧縮や膨張の仕事の有無は別に読み取ります。

最後に、変化が負という結果を、終わりの内部エネルギーそのものが負と読み違えることがあります。初めの値が示されていれば、そこに負の変化を加えて終わりの値を求めます。初めの値がなければ変化は求められても、終わりの値を数値で決められるとは限りません。

手を動かす4問

各問では指定された対象について、受け取る熱 Q と外部からされる仕事 W を正に取ります。熱や仕事の大きさは問題中に与えた値とし、エネルギーは J、割合は百分率で答えてください。数値の答えは整数とします。

1. シリンダー内の気体が外部から70 Jの熱を受け取り、外部から25 Jの仕事をされました。気体の内部エネルギーの変化を求め、増加か減少かも答えてください。
2. 気体が断熱された容器内で外部へ40 Jの仕事をしました。初めの内部エネルギーが310 Jのとき、変化と終わりの内部エネルギーを求めてください。
3. 気体は外部から30 Jの仕事をされ、内部エネルギーが20 J減少しました。気体が受け取った熱 Q を符号つきで求め、熱がどちらへ何 J移ったか答えてください。
4. 1周期で元の状態へ戻る熱機関が高温側から800 Jを受け取り、外部へ200 Jの正味の仕事をします。損失はなく、エネルギーの移動は熱と仕事だけとします。低温側へ放出する熱の大きさと熱効率を求めてください。

答えと考え方

1. Q = +70 J、W = +25 J です。ΔU = 70 + 25 = +95 J なので、95 Jの増加です。熱と仕事による入力を合わせると95 Jであり、逆に増加95 Jから仕事25 Jを引くと受け取った熱70 Jに戻ります。圧縮の向きを仕事の正負に反映したことがポイントです。

2. 断熱なので Q = 0、外部へした仕事が40 Jなので W = -40 J です。ΔU = 0 − 40 = -40 J、つまり40 Jの減少です。終わりは 310 − 40 = 270 J です。310 Jから270 Jへの減少分は40 Jで、熱の出入りがない条件のもと外部への仕事40 Jと一致します。

3. W = +30 J、ΔU = -20 J です。-20 = Q + 30 より Q = -50 J です。気体から外部へ50 Jの熱が移りました。気体への仕事30 Jから熱の放出50 Jを差し引くと -20 Jとなり、指定された減少に戻ります。負号は熱の大きさが負という意味ではなく、正に選んだ向きと逆に移ったことを示します。

4. 1周期で ΔU = 0 なので、高温側からの入力800 Jは外部への仕事と低温側への放出熱に分かれます。放出熱は 800 − 200 = 600 J です。熱効率は 200 / 800 = 0.25 = 25% です。仕事200 Jと放出熱600 Jを合わせると入力800 Jに戻ります。正味の熱は 800 − 600 = 200 J、された仕事は -200 J なので、第一法則の右辺も0です。

解答を見直すときは、単位も収支の一部として確かめます。熱、仕事、内部エネルギーの変化はどれもエネルギーなので J で表します。一方、熱効率は同じ単位の量の比なので単位を持ちません。小数を百分率に直すときに100を掛け忘れると、割合の表記が変わるため、最後に分数へ戻して照合します。

持ち帰る要点

対象と熱・仕事の正の向きを先に決めます。
気体が受け取る熱とされた仕事を正にすると ΔU = Q + W です。
気体が外へした仕事は、気体がされた仕事と符号が逆です。
元の状態に戻る1周期では ΔU = 0 です。
熱効率は外部への仕事を高温側から受け取った熱で割ります。

答案のどこで止まったかを見る

式が出てこないときは、まず対象を丸で囲み、熱と仕事を表す矢印を別に描けるか確かめます。式は書けるのに答えが逆になるときは、問題文の「した」「された」を読み上げ、どちらを正にしたかを記号の横で説明します。数値が合っても、増加量を終わりの値と取り違えていないか、初めの値との差を戻して点検します。

個別指導では、同じ生徒に仕事の向きだけを変えた条件を示し、符号を変える理由を言葉で説明してもらいます。熱機関では、作動物質が元の状態に戻る範囲を指し、入力を仕事と放出熱に分けられるかを確かめます。矢印と対象を添えた式なら、熱と仕事の関係を自分でたどれます。