高校物理 原子 ボーア模型の量子条件—円軌道と定常波を結び許される半径を導く｜武蔵野個別指導塾

円周に収まる波の数と向心力を比べ、半径が飛び飛びになる理由をたどるボーアの量子条件。

よくあるのは、原子核の周りを回る電子について、速さを調節すれば好きな半径の円軌道をとれると考える場面です。確かに、引力と円運動の条件だけなら、正の半径を選ぶたびに対応する速さを決められます。ボーア模型では、そこにもう1つ条件を加えます。電子に対応する波が円周を一周して自分自身とつながる、という条件です。2つの式を同時に満たすと、半径の候補が整数で区切られることを確かめましょう。

要点（結論から）

• 定常波の条件は 2πr = nλ、n は正の整数です。
• λ = h/(mₑv) と合わせると mₑvr = nh/(2π) です。
• クーロン力が円運動に必要な向心力を担います。

どの条件から手をつけるか

問題の型は大きく3つあります。円周に何波長が収まるかを問う場合は、円周と波長を同じ長さの単位にそろえ、円周を波長で割ります。整数にならない場合は、この模型で許される定常状態ではありません。整数に近いというだけでも、厳密な条件を満たしたことにはなりません。

半径や速さを求める場合は、力の式と波の式を連立します。一方だけで答えを決めようとすると、速さまたは半径が未定のまま残ります。ある軌道を別の軌道と比べる場合は、定数をまとめてから整数の比を見ると、代入する量を減らせます。

以下では、正電荷を持つ原子核の周りを電子が円運動する水素原子の単純な模型を使います。核は静止しているものとし、電子の質量を mₑ、電気素量を e、クーロン力の比例定数を k、プランク定数を h とします。いずれも正の量です。電子の電荷は -e ですが、力の大きさを式にするときは e² を使います。原子核の有限質量や外部からの影響はこの計算では無視します。

円周を波がつなぐ条件

図1のように、円の周りに波長 λ の波が整数個並ぶと、一周した波の位相が出発点と一致します。円周 2πr に n 個の波長が入る条件は、n を正の整数として次のように表します。

2πr = nλ
n = 1, 2, 3, …

図1は波の対応を模式的に示したもので、波の振幅や原子核の大きさを実寸で表していません。整数以外の波長数では、一周して戻った波の位相が出発点と合わず、同じ波の状態を円周上に連続して置く条件を満たしません。波が1回で消えると断定するのではなく、ここでは一周後の一致を条件として使います。

電子の運動量の大きさを p とすると、物質波の関係は λ = h/p です。電子の速さが光速より十分小さい範囲では p = mₑv として、次のように変形できます。

λ = h/(mₑv)
2πr = nh/(mₑv)
mₑvr = nh/(2π)

左辺 mₑvr は、この円運動で原子核を中心とした角運動量の大きさです。右辺は h/(2π) の正の整数倍です。定常波の条件から量子条件へ移る途中では、円周の 2π を落としやすいので、最初の式を残して確かめます。両辺の単位も kg・m²/s で一致します。

この説明は、ボーアが定常状態を仮定する模型と、後から物質波の考えを結びつけたものです。古典的な円運動の式だけから、電子が放射せず安定に回り続けることを証明したわけではありません。現代の量子力学では電子を決まった細い円軌道上の粒として表すことは一般にできません。円の図は模型の計算条件を整理するための図です。

力と量子条件から半径を導く

電子に働くクーロン力は原子核へ向き、円運動に必要な向心力になります。向心力という別の力を加えるのではなく、この模型ではクーロン力が向心力の役目を果たします。

mₑv²/r = ke²/r²
mₑv²r = ke²
mₑvr = nh/(2π)
v = nh/(2πmₑr)

速さの式を力の式へ代入します。r は正なので、途中で r を約分できます。

mₑ・[nh/(2πmₑr)]²・r = ke²
n²h²/(4π²mₑr) = ke²
r = n²h²/(4π²mₑke²)

ここで a = h²/(4π²mₑke²) と置くと、許される半径は rₙ = n²a です。a はこの模型の n = 1 の半径を表す正の長さです。n が 1、2、3 と変わると半径は a、4a、9a です。半径は整数倍ではなく、整数の2乗に比例します。

速さも同じ条件に戻して導けます。

vₙ = nh/(2πmₑrₙ)
vₙ = nh/(2πmₑn²a)
vₙ = h/(2πmₑa)・1/n

b = h/(2πmₑa) と置けば vₙ = b/n です。外側ほど円周は長くなりますが、速さは小さくなります。式を使うときは、この模型での比であることと、非相対論的な運動量を使った条件を忘れないようにします。

基本例題：第2の円周に収まる波

水素原子の模型で、第1の半径を a、第1の速さを b とします。n = 2 の軌道の半径、速さ、円周に収まる波長数を、それぞれ a、b と整数で表してください。a と b は上で定めた正の量です。図2の数字はこの問題の条件に対応します。

図2では、円周全体に2波長が収まります。まず導いた比を使います。

r₂ = 2²a
r₂ = 4a
v₂ = b/2
2πr₂ = 2λ₂

したがって答えは半径 4a、速さ b/2、波長数 2 です。λ₂ は πr₂、つまり 4πa です。第1の波長は λ₁ = 2πa なので、第2の波長は第1の2倍です。半径が4倍なのに波長が4倍ではないのは、円周に並ぶ波の数も2倍になるためです。

元の条件に戻してみます。第2の円周は 8πa、波長は 4πa なので、円周は確かに2波長です。また、mₑ(b/2)²/(4a) は mₑb²/(16a) で、クーロン力 ke²/(4a)² は ke²/(16a²) です。第1軌道で mₑb²/a = ke²/a² が成立するので、両者は一致します。波の条件と力の条件の両方に戻すと、半径だけを偶然正しく出した誤答も見分けられます。

標準例題：表とグラフの傾き

同じ模型で、n = 3 と n = 4 の半径を a で、速さを b で表してください。さらに横軸を n²、縦軸を半径 r としたグラフで、2点を結ぶ直線の傾きと切片を答えてください。n は正の整数に限ります。

r₃ = 3²a = 9a
r₄ = 4²a = 16a
v₃ = b/3
v₄ = b/4
傾き = (16a - 9a)/(16 - 9)
傾き = a
切片 = 9a - a・9
切片 = 0

横軸の n² は単位を持たないため、傾きの単位は縦軸と同じ長さです。切片は式を直線として延長したときの値であり、n = 0 の軌道が存在するという意味ではありません。許されるデータは n = 1、2、3、… に対応する点です。点を通る直線は比例関係を読み取る補助であり、点の間の半径も許されると読むことはできません。

逆に、縦軸 r、横軸 n として結べば直線にはなりません。例えば n が 3 から 4 に増えるときの半径の増加は 7a ですが、1 から 2 では 3a です。軸の意味を見ずに「傾きが一定」とする判断がどこで崩れるか、隣り合う2組の差を取れば確認できます。

答えを円周に戻すと、n = 3 は円周 18πa に波長 6πa が3個、n = 4 は円周 32πa に波長 8πa が4個です。速さの比 b/3 と b/4 から、波長の比も 3 対 4 になります。力の条件についても、半径が n² 倍で速さが 1/n 倍なら、向心力とクーロン力はいずれも第1軌道の 1/n⁴ 倍です。

発展例題：模型からの外れを点検する

ある自作の資料には、同じ模型で求めた半径として n = 1、2、3 に対し、それぞれ a、4.2a、9a と記されています。a は正の長さです。理論値から外れた点を選び、そのずれを理論値に対する割合で求めてください。また、資料の読み取りで起こりうる原因と、確かめ方を1つずつ挙げてください。百分率は小数第1位までとします。

n = 2 の理論値 = 2²a = 4a
ずれ = 4.2a - 4a = 0.2a
割合 = 0.2a/(4a)
割合 = 0.05
百分率 = 5.0%

n = 2 の値が理論値より 5.0% 大きいと読みます。割合を資料の値 4.2a で割ると、理論値を基準とした割合とは別の量になるので、分母を問題の言葉に合わせます。逆に 4a の 5.0% を足すと 4.2a に戻るため、符号と大きさを確認できます。n = 1 と n = 3 は、示された桁では理論値と一致します。

別の見方として r/n² を各行で比べる方法もあります。理論ではすべて a ですが、この資料の n = 2 の行は 4.2a/4 = 1.05a です。一定になるはずの比が1行だけ大きいとわかります。これは 5.0% の差と同じ情報を、計算の順序を変えて表しています。

資料の値を図から読み取ったとすれば、目盛りの読み間違いや丸めが原因の候補です。ただし、この3点だけでは原因を特定できません。元の目盛りと単位を確認し、同じ点を別の尺度でも読み直します。仮に同じ割合のずれが各点に現れるなら、尺度の換算を誤った可能性も検討します。1点だけのずれと共通のずれを区別してから原因を絞ります。

実際の原子に関する測定資料を扱う場合、直接観測した量と模型から推定した半径を区別します。模型の半径がそのまま定規で測られた値だと扱うことはできません。実験の比較を設計するときは、変える条件、固定する条件、観測する量を先に決め、測定値の幅が模型間の差より大きければ判定を保留します。装置の操作は学校の指導の下で行い、ここでは資料の読み方に限ります。

誤答をほどく

図3のように「円周が 3λ/2 でも波が入っている」と数えた場合、長さとして並べることと、出発点に戻ったときの位相の一致を混同しています。円周には整数個の波長が必要です。3λ/2 は n = 1.5 に対応し、正の整数という条件を満たしません。

また、rₙ = na とした場合は、量子条件だけから半径を読み取っています。量子条件には速さ v も含まれ、v が n によって変わるため、r は単純に n に比例しません。力の式と連立し、vₙ = b/n を含めて確かめます。第2軌道なら誤答 2a に対し、波の条件と力の条件を同時に満たすのは 4a です。

もう1つの誤りは、クーロン力と向心力を別々に足すことです。内向きに働く実際の力がクーロン力であり、その大きさが必要な向心力に等しいと置きます。矢印を1本描き、式の左右が「実際の力」と「円運動に必要な値」だと説明できるか試してください。

練習：まず5問を解く

次の問題も、核を固定した水素原子の円軌道模型で考えます。a と b は上の定義に従い、正の長さと速さです。数値は自作の条件です。比や整数は正確に表してください。

1. 円周が波長の 5 倍である軌道の n と半径を求めてください。
2. n = 6 の軌道について、半径と速さを a、b で表してください。
3. 円周が波長の 7/2 倍である場合、定常波条件を満たすか判定し、理由を述べてください。
4. n = 2 と n = 5 の軌道の半径の比と速さの比を、この順に最も簡単な整数比で表してください。
5. ある軌道の半径が 49a です。正の整数 n、速さ、および円周に収まる波長数を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 円周が 5λ なので n = 5、半径は 25a です。円周 50πa に波長 10πa を5個並べると、元の条件に戻ります。

2. r₆ = 6²a = 36a、v₆ = b/6 です。円周 72πa を6で割ると波長は 12πa です。速さが第1軌道の1/6なので物質波の波長が6倍になることとも一致します。

3. 7/2 は正の整数ではないので満たしません。円周に波長を3個並べると半波長分が残り、一周後の位相が一致しません。単に波が収まるかではなく、周回後につながるかで判定します。

4. 半径は 4a と 25a なので 4:25 です。速さは b/2 と b/5 なので、両方に10を掛けて 5:2 です。元に戻すと、半径の比は 2²:5²、速さの比は 1/2:1/5 です。

5. n²a = 49a から n² = 49 です。n は正の整数なので n = 7、速さは b/7、波長数は7です。半径に戻すと 7²a = 49a となり、負の整数を採らない条件も満たします。

要点とつまずきの手がかり

• 定常波の条件は 2πr = nλ、n は正の整数です。
• λ = h/(mₑv) と合わせると mₑvr = nh/(2π) です。
• クーロン力が円運動に必要な向心力を担います。
• 2条件を連立すると rₙ = n²a、vₙ = b/n です。
• 定常状態は模型の仮定で、現代の電子像をそのまま描いたものではありません。

円周に並ぶ波の数は答えられるのに半径の比を間違える場合、速さを一定とみなしていないかを確認します。力の式で迷う場合は、電子に働く力の向きを描き、その1本が向心力に対応すると言葉で結びます。個別指導では、n = 2 の答えを波の条件と力の条件の両方へ戻せるかを確かめると、公式の暗記と連立の理解を区別できます。許される半径は、波のつながりと力のつり合いを同時に満たして決まります。