高校数学I 複数の絶対値—境界を順に並べて区間ごとの式を作る｜武蔵野個別指導塾

2つの境界で区間を分け、和や差の方程式で候補と範囲を照合します。解なしになる場合や区間全体が解になる理由まで判定します。

よくあるのは、高1の自習で2つの絶対値を含む式に出会い、一つの境界だけで場合分けする場面です。片方の符号が変わる場所を見落とすと、途中の式は一見正しくても、ある区間では元の式と異なるものを解いてしまいます。境界を数直線に並べ、それぞれの中身がどこで正負を変えるかを順に追いましょう。最後に得た候補を区間と元の方程式の両方に戻せば、解を捨てる理由も拾う理由も説明できます。

どの形で問われるか

まず、2つの絶対値の和が定数に等しい方程式があります。たとえば2地点からの距離の和を固定すると、外側の区間では距離の和が変わり、2地点の間では一定になることがあります。一定の値が右辺と一致すれば、その区間の点はどれも解です。一致しなければ、その区間には解がありません。

次に、2つの絶対値の差を定数と比べる形があります。和と違って、外側で差が一定になることもあります。差は負にもなるので、絶対値そのものが非負だからといって、差全体まで非負だと決めてはいけません。

さらに、右辺に文字を含む方程式では、区間ごとに一次式を解き、その候補が区間に入るか調べます。ここでは絶対値の中身が一次式のものを扱い、二次式は扱いません。いずれの型でも、計算の前に境界を集める操作は共通です。

符号が切り替わる場所を表にする

場合分けで |A| を外すには、実数 A の符号を先に調べます。A ≥ 0 の区間では中身をそのまま使い、A < 0 の区間では符号を反転した -A に置き換えます。0 のときは A も -A も 0 ですから、境界を左右のどちらの区間に含めても式の値は一致します。ただし、区間を重複なく並べると候補の管理がしやすくなります。

例として |x + 2| と |x − 3| を見ます。中身が 0 になるのは順に x = -2、x = 3 です。この2点で数直線を区切ると、中身の符号は各区間の内部で変わりません。図1のように左から順に符号を並べます。

図1では、左端の区間で両方が負、中央で前者が正、後者が負、右端で両方が正です。したがって和は順に -2x + 1、5、2x − 1 となります。たとえば中央では |x + 2| = x + 2、|x − 3| = 3 − x なので、足すと 5 です。端点 -2 と 3 でも隣り合う式はともに 5 を与えます。

区間を x < -2、-2 ≤ x < 3、3 ≤ x とすれば、各実数はどこか1つの区間に入ります。境界の片方を両隣から除くと、そこが解である場合に落としてしまいます。逆に両方に含めた場合、同じ解を2回得ることはありますが、最後に重複を除けば構いません。

中身の係数が負の場合にも、境界の左右の符号を実際に調べます。たとえば 4 − 2x は x = 2 で 0 となり、左で正、右で負です。x − 2 と同じ向きに符号が変わると決めつけるのは誤りです。境界が一致するときは同じ点を2回並べず、左右の2区間で各中身の符号を判定します。

境界を並べた後は、区間の中から例えば左・中央・右にそれぞれ1点を選んで符号を点検できます。ただし試した点での値を一般の式に代入してしまうのではなく、符号だけを判定し、文字 x を残して式を作ります。点検の値が境界そのものだと中身が 0 になり、左右の符号の違いが見えないので、区間の内部から選びます。

基本例題：和を区間ごとに解く

例題1　実数 x について |x + 2| + |x − 3| = 7 を解き、解を列挙してください。

境界は -2 と 3 です。図2のように3区間に分け、各区間で絶対値を外します。ここでは端点を中央側に含めてもよいのですが、先ほどと同じ区間の分け方を使います。

x < -2 では、両方の中身が負です。

-(x + 2) - (x - 3) = 7
-2x + 1 = 7
-2x = 6
x = -3

-3 < -2 なので、この候補は今の区間に入ります。式を変形する前提を満たすため、候補として残します。

-2 ≤ x < 3 では、前者の中身は 0 以上、後者は負です。

(x + 2) - (x - 3) = 7
5 = 7

これは成り立ちません。この区間に解はありません。x の項が消えたときに、0 で割って x を求めようとしてはいけません。残った等式が真か偽かを判定します。

3 ≤ x では、両方の中身が 0 以上です。

(x + 2) + (x - 3) = 7
2x - 1 = 7
2x = 8
x = 4

4 ≥ 3 なので残します。よって解は x = -3、4 です。元の左辺に戻すと、-3 では 1 + 6 = 7、4 では 6 + 1 = 7 です。両方とも与えられた和を再現します。

中央の和が 5 であることは、-2 と 3 の間の距離が 5 であることにも対応します。右辺が 5 なら中央の全点が解で、端点も含みます。右辺が 5 より小さい場合は、左右の式も境界から離れるほど大きくなるので解はありません。式による確認では、外側の候補がそれぞれの区間に入らないことを確かめられます。

標準例題：差では一定になる区間が変わる

例題2　実数 x について |x − 1| − |x + 4| = 2 を解き、解を列挙してください。

境界は小さい順に -4、1 です。式中に先に現れる数を左に置くのではなく、数直線上の順序を使います。区間を x < -4、-4 ≤ x < 1、1 ≤ x にします。

x < -4 では両方の中身が負です。後ろの絶対値を引くので、その外側の負号も忘れずに扱います。

-(x - 1) - (-(x + 4)) = 2
-x + 1 + x + 4 = 2
5 = 2

偽の等式ですから、この区間には解がありません。差が一定になることは、解が無数にあることを意味しません。一定値が右辺と一致するかどうかが必要です。

-4 ≤ x < 1 では x − 1 は負、x + 4 は 0 以上です。

-(x - 1) - (x + 4) = 2
-2x - 3 = 2
-2x = 5
x = -5/2

-4 ≤ -5/2 < 1 なので残します。分数のまま大小を比べられます。

1 ≤ x では両方の中身が 0 以上です。

(x - 1) - (x + 4) = 2
-5 = 2

ここも解なしです。答えは x = -5/2 です。元の式では | -5/2 − 1| = 7/2、| -5/2 + 4| = 3/2 であり、その差は 2 です。区間の確認と元の式への代入を両方終えて、初めて答えを確定します。

もし右辺が 5 なら、左側の区間は恒等式 5 = 5 となります。端点 -4 でも元の差は 5 なので、その場合は x ≤ -4 が解です。これに対して右辺を 6 とすると、中央で得る候補は -9/2 で中央の条件に入らず、左右の一定値とも一致しません。このように、途中で一次方程式が解けても、区間外なら元の方程式の解として採用できません。

発展示例：右辺にも x があるとき

例題3　実数 x について |2x − 2| + |x − 4| = x + 2 を解き、すべての解を不等式で表してください。

左辺は非負ですから、解では右辺 x + 2 も非負です。ただし、それだけで解は決まりません。境界は 2x − 2 = 0 から x = 1、x − 4 = 0 から x = 4 です。係数 2 は 0 ではないので割れます。右辺にも x があるため、距離の和が一定であるという観察だけでは終えられません。

x < 1 では両方の中身が負です。

-(2x - 2) - (x - 4) = x + 2
-3x + 6 = x + 2
-4x = -4
x = 1

候補 1 は x < 1 を満たさないので、この区間からは採用しません。1 が元の方程式の解でないと決まったわけではありません。境界を含む次の区間で判定します。

1 ≤ x < 4 では、前者の中身が 0 以上、後者が負です。

(2x - 2) - (x - 4) = x + 2
x + 2 = x + 2
0 = 0

これはこの区間のどの x でも成り立ちます。従って 1 ≤ x < 4 の全体が解です。恒等式から特定の数をひねり出す必要はありません。

4 ≤ x では、両方の中身が 0 以上です。

(2x - 2) + (x - 4) = x + 2
3x - 6 = x + 2
2x = 8
x = 4

4 は区間に入るので残します。合わせると答えは 1 ≤ x ≤ 4 です。端点 1 では左辺が 0 + 3 = 3、右辺も 3 です。端点 4 では左辺が 6 + 0 = 6、右辺も 6 です。内部については上の恒等式が元の式と等しいことから、代表値の代入に頼らず全点を確認できます。

右辺の非負条件を最初に使うなら x ≥ -2 ですが、それを加えても境界 1 と 4 での符号分けは必要です。反対に右辺の符号だけで候補を選ぶと、元の等式そのものを満たさない数が残ります。条件は絞り込みに使い、等式の検証とは区別します。

誤答を直す：境界を一つで済ませない

例題1で、x = -2 だけを境にして、x ≥ -2 では常に |x − 3| = x − 3 と置く誤りを考えます。図3のように、x = 3 を越えるまでは x − 3 は負です。たとえば x = 0 では |x − 3| = 3 ですが、x − 3 は -3 です。

この誤りを直すには、元の2つの中身をそれぞれ 0 と置き、-2 と 3 を数直線に記します。次に各区間で中身の符号を別々に調べます。図3の中央では後者の絶対値を 3 − x とし、右側では x − 3 とします。区間内の試しの数で符号を点検してもよいですが、端点では中身が 0 であることも別に確かめます。

もう一つの失敗は、区間ごとの式から出た値を無条件で並べることです。区間の外では、その式は元の絶対値の式と一致する保証がありません。候補が外れたらその枝からは捨て、境界なら隣の枝での扱いも確認します。0 = 0 は今の区間全体、0 = 1 は今の区間に解なし、という違いも記録しておきましょう。

練習問題

いずれも x は実数です。解が点なら列挙し、区間なら不等式で表してください。解がなければその旨を答えます。

1. |x + 1| + |x − 5| = 10 を解いてください。
2. |x + 3| + |x − 2| = 5 を解いてください。
3. |x − 2| − |x + 2| = 5 を解いてください。
4. |x − 6| − |x + 1| = -3 を解いてください。
5. |2x + 2| + |x − 2| = x + 4 を解いてください。

練習の答えと道筋

1. 境界は -1、5 です。x < -1 では -2x + 4 = 10 から x = -3、-1 ≤ x < 5 では 6 = 10 で解なし、5 ≤ x では 2x − 4 = 10 から x = 7 です。両候補はそれぞれの区間に入り、答えは x = -3、7 です。元の和は順に 2 + 8 = 10、8 + 2 = 10 です。

2. 境界は -3、2 です。x < -3 では -2x − 1 = 5 から x = -3 ですが、区間外です。-3 ≤ x < 2 では 5 = 5 です。2 ≤ x では 2x + 1 = 5 から x = 2 で、区間内です。答えは -3 ≤ x ≤ 2 です。両端で和は 0 + 5、5 + 0 となり、内部は区間式が常に 5 です。

3. 境界は -2、2 です。左、中、右の区間で差は順に 4、-2x、-4 です。左と右では 5 に等しくなりません。中央の -2x = 5 は x = -5/2 ですが、-2 ≤ x < 2 に入りません。よって解なしです。境界での差もそれぞれ 4、-4 で、5 にはなりません。

4. 境界は -1、6 です。x < -1 では差は 7、-1 ≤ x < 6 では 5 − 2x、6 ≤ x では -7 です。中央で 5 − 2x = -3 とすると x = 4 で、区間内です。左右は右辺と一致しません。答えは x = 4 で、元の差は |4 − 6| − |4 + 1| = 2 − 5 = -3 です。

5. 境界は -1、2 です。x < -1 では -3x = x + 4 から x = -1 ですが、区間外です。-1 ≤ x < 2 では x + 4 = x + 4 なので区間全体が解です。2 ≤ x では 3x = x + 4 から x = 2 で、区間内です。答えは -1 ≤ x ≤ 2 です。端点では左辺と右辺がそれぞれ 3、6 に一致し、内部は恒等式で確認できます。

手元に残す要点

• 絶対値の中身をそれぞれ 0 と置き、境界を小さい順に並べます。
• 各区間で中身ごとに符号を調べ、定義に従って絶対値を外します。
• 得た候補をその区間に戻し、端点の所属も確かめます。
• 恒等式は区間全体、偽の等式はその区間に解なしを意味します。
• 最後に元の方程式へ戻し、区間の解は式の一致で確かめます。

どこで止まったかを見分ける

境界の数が足りないなら、式の中の絶対値を一つずつ指して、中身を 0 にする値を書き出します。境界は合っていても符号が逆なら、各区間の数を一つ代入し、負の中身に付ける負号を追います。計算後の候補をすべて採用してしまう場合は、候補と区間条件を隣に書いて比較します。

個別指導では、例えば端点で中身が 0 になることと、恒等式が区間全体を表すことを本人の言葉で説明できるか確かめます。答えの数だけで判断せず、捨てた候補と残した境界の理由をたどると、次の方程式にも使える区間分けが残ります。