高校数学I 絶対値の方程式—距離と符号の二通りから解の適否を確かめる｜武蔵野個別指導塾

右辺が負・0・文字式の場合を分け、絶対値の中身の符号と候補の代入から解の適否や個数を確かめます。

よくあるのは、高1の自習で、絶対値が負の数に等しい方程式にも機械的に2つの解を出してしまう場面です。絶対値は数直線上の距離を表すので、負にはなりません。まず等号の右側が距離として成り立つかを調べると、計算を始める前に解なしと判断できることがあります。一方、右辺に文字があるときは、計算で得た候補がその条件を満たすかまで確かめる必要があります。

要点（結論から）

• 絶対値は0以上であり、負の数に等しくなりません。
• 正の距離には左右の候補、0の距離には重なった1点があります。
• 右辺が文字を含むときは、その非負条件を候補と合わせます。

どこで判断が分かれるか

出方の1つ目は、|x − a| = b のように距離と基準点がそのまま見える形です。b が正なら基準点の左右に候補があり、0なら基準点に重なり、負なら解はありません。2つ目は、絶対値の中が 2x − 1 のような式の形です。中身を1つの数と見て、その数が正負どちらかを調べます。距離の読み方を使う場合も、係数を考えて基準点と距離を直す必要があります。

3つ目は |x − a| = x + b のように、右辺の符号が x によって変わる形です。右辺が負の場所では等式が成立しないため、候補を求めて終わりにはできません。文字係数を含むときは、割る数が0かどうかも調べます。ここでは絶対値が1つの方程式に絞り、複数の絶対値の和や不等式は扱いません。

距離と符号をつなぐ定義

実数 A の絶対値 |A| は、A が0以上なら A、A が0未満なら -A です。どちらの場合も |A| は0以上で、0となるのは A = 0 のときに限ります。数直線では |x − a| は、点 x と点 a の間の距離を表します。引き算の順序を逆にしても距離は変わらず、基準点は a です。

図1のように、基準点 a から距離 r が正なら、左の a − r と右の a + r が対応します。r = 0 では2点は a に重なり、r が負ならその距離を持つ点はありません。図1の左右の矢印は同じ正の距離を示しています。

これを式で述べると、r > 0 なら |A| = r は A = r または A = -r と同値です。r = 0 なら A = 0、r < 0 なら解なしです。r が0以上と決まっている場合には、r = 0 も含めて A = r または A = -r と書けますが、0では2つの式は同じです。個数を数えるときは重複を除きます。

右辺が式 B の場合も、|A| = B が成立するなら B ≥ 0 です。この条件のもとで A = B または A = -B とできます。逆に、B ≥ 0 とどちらかの等式が同時に成り立てば、絶対値の定義から元の等式に戻れます。したがって、符号条件と候補の式を組にすることが、解を増やさず落とさないための根拠です。

別の進み方は、中身 A の符号で分ける方法です。A ≥ 0 では |A| = A、A < 0 では |A| = -A と置き、それぞれの範囲内で方程式を解きます。境界 A = 0 は前者に含めます。境界を両方に含めても答えを重複除去すれば正しいですが、片方に決めると判定が明瞭です。

基本例題：左右の点を求める

例題1　方程式 |2x − 6| = 4 を解き、解を整数で表してください。

右辺4は正です。中身が4か -4 になることと元の式は同値なので、次の2つを解きます。

2x - 6 = 4
2x = 10
x = 5

2x - 6 = -4
2x = 2
x = 1

どちらも同じ数を両辺に加え、0でない2で割りました。図2のように |2x − 6| = 2|x − 3| なので、点3からの距離は2です。左右の点は1と5となり、図2の位置と一致します。元の式に戻すと、x = 1 では |-4| = 4、x = 5 では |4| = 4 です。答えは x = 1, 5 です。

中身の符号でも同じ結果を得られます。2x − 6 ≥ 0、つまり x ≥ 3 では 2x − 6 = 4 から x = 5 で、範囲に入ります。2x − 6 < 0、つまり x < 3 では -2x + 6 = 4 から x = 1 で、こちらも範囲に入ります。片方が範囲外になる問題もあるため、得られた値と場合分けの条件を必ず照合します。

例えば右辺を -4 に変えると、左辺は0以上なので解なしです。中身を -4 と4にする計算をそのまま適用することはできません。また右辺が0なら 2x − 6 = 0 より x = 3 の1個です。正の距離で左右に2点あったことを、そのまま負や0に移さないようにします。

標準例題：右辺の符号が変わる

例題2　方程式 |x − 2| = x + 4 を解き、解を整数で表してください。

左辺は0以上ですから、解なら x + 4 ≥ 0、すなわち x ≥ -4 です。この条件のもとで、中身は右辺またはその反対です。

x - 2 = x + 4
-2 = 4

これは成り立たず、この枝には解がありません。もう一方を計算します。

x - 2 = -(x + 4)
x - 2 = -x - 4
2x = -2
x = -1

x = -1 は x ≥ -4 を満たします。元の式に戻すと、左辺は |-3| = 3、右辺は -1 + 4 = 3 です。よって答えは x = -1 です。

別解として x − 2 の符号を使うと、x ≥ 2 では x − 2 = x + 4 となり矛盾します。x < 2 では -x + 2 = x + 4 より x = -1 で、指定した範囲に入ります。こちらは右辺の符号を先に課さなくても、絶対値を定義どおりに外しているため、各範囲内の式と元の式は同値です。それでも代入は符号や移項の誤りを発見する助けになります。

一方、両辺をただ二乗して候補を出す方法には注意が必要です。二乗すると符号の違いが消えるため、右辺が負の候補まで混ざることがあります。二乗を使うなら右辺が0以上という条件を別に保ち、最後に元の式へ戻します。最初から符号を分ける方法なら、どの条件のもとで等式を扱っているかが見えます。

発展例題：文字によって解の個数が変わる

例題3　実数 a について、方程式 |x − 1| = ax + 1 の実数解の個数を a の値で分類してください。

中身の符号で分けます。x ≥ 1 なら左辺は x − 1 です。

x - 1 = ax + 1
(1 - a)x = 2

a = 1 なら 0 = 2 となり、この範囲に解はありません。a ≠ 1 なら x = 2/(1 − a) です。これが x ≥ 1 を満たす条件を、分母の符号に注意して調べます。a < 1 では分母が正なので、2 ≥ 1 − a、すなわち a ≥ -1 です。a > 1 では分母が負となり候補は負なので、x ≥ 1 を満たしません。したがってこの枝の解は -1 ≤ a < 1 のとき1個です。

次に x < 1 なら左辺は -x + 1 です。

-x + 1 = ax + 1
(a + 1)x = 0

a ≠ -1 なら0でない a + 1 で割れて x = 0 です。0 < 1 なので常にこの枝に入ります。a = -1 なら 0 = 0 となり、この枝のどの x も解です。実際、x < 1 では |x − 1| = 1 − x で、右辺 -x + 1 と一致します。

2つの範囲は重ならないので、個数を合わせます。a < -1 では後の枝の1個、a = -1 では後の枝に無数の解があり、前の枝にも x = 1 があります。-1 < a < 1 では各枝に1個ずつで2個、a ≥ 1 では後の枝の1個です。a = -1 では x ≤ 1 のすべてが解です。境界 x = 1 は左辺0、右辺 a + 1 なので、a = -1 の場合に限り解になることも一致します。

候補を元の式に戻すと、x = 0 では両辺とも1です。また前の枝で -1 < a < 1 のとき、x = 2/(1 − a) は1以上で、左辺と右辺はいずれも (1 + a)/(1 − a) です。a = -1 の x = 1 では両辺0です。係数が0になる a = -1 と a = 1 を割る前に切り出したことで、無数の解と矛盾を取り落とさずに済みます。

誤答を直す：二乗で消えた符号

|x − 3| = x − 5 を解くとき、両辺を二乗して (x − 3)² = (x − 5)² とし、x = 4 を答える誤答を考えます。二乗後の式自体は正しく、展開すると -6x + 9 = -10x + 25、よって 4x = 16 です。しかし元の式では x = 4 のとき左辺が1、右辺が -1 で一致しません。

図3のように、候補4では左辺は正の距離1ですが、右辺は負です。二乗すると1と -1 がともに1になるため、その違いが見えなくなります。図3の二つの箱は、二乗前の値を区別して示しています。

修正すると、まず右辺が0以上なので x ≥ 5 が必要です。その範囲では x − 3 > 0 だから、元の式は x − 3 = x − 5 となり、-3 = -5 という矛盾です。よって解なしです。あるいは中身の符号で x ≥ 3 と x < 3 に分けても、前者は矛盾し、後者から得る x = 4 は x < 3 に反するため解なしとなります。

候補が条件から外れた場合は、その枝を捨てます。1つの枝が失敗しても他の枝が残る場合があり、反対に両方で候補を失えば解なしです。範囲外の値を都合よく採用したり、1枝の矛盾だけで全体を終了したりしないことが重要です。

解の個数を先に見積もる

右辺が定数のとき、|A| = r の解の個数は、まず A が取りうる値と、各値に対応する x の個数を分けて考えます。r が負なら A の形に関係なく0個です。r が0なら A = 0 を解きますが、その方程式の解の個数は A の形に依存します。r が正なら A = r と A = -r を別々に解き、同じ解がないか確認します。中身が一次式で係数が0でなければ、それぞれ1個ずつで、正と負の異なる値を同時に取ることはないため計2個です。

中身の係数が0なら、この見積もりは変わります。例えば |0x + 2| = 2 はどの実数 x でも成立し、|0x + 2| = 3 はどの x でも成立しません。文字係数の問題で「正の距離だから必ず2個」と決める前に、x を動かしたとき中身が実際に変わるかを調べます。0でない係数のときに成り立つ判断と、係数が0の例外を区別する練習になります。

候補が1つも残らないことと、計算を途中でやめたことは別です。各枝について、矛盾したのか、候補が範囲外なのか、元の式の符号に反したのかを書き残せば、解なしの根拠を読み返せます。逆に条件を満たす候補が残れば、元の式の左右を比べて解であることを示します。

練習問題

次の方程式を解き、解を整数または分数で表してください。解がない場合は解なし、無数にある場合はその範囲を答えてください。文字は実数です。

1. |x + 7| = 3
2. |3x + 2| = 0
3. |x − 8| = -2
4. |x + 1| = 2x − 2
5. |x − 4| = t(x − 4) について、t の値ごとに解の範囲を求める。

練習の答えと道筋

1. 中身が3または -3 です。x + 7 = 3 から x = -4、x + 7 = -3 から x = -10 です。代入すると中身はそれぞれ3、-3で、距離はいずれも3です。答えは x = -10, -4 です。

2. 絶対値が0になるのは中身が0の場合です。3x + 2 = 0 より x = -2/3 です。代入すると 3(-2/3) + 2 = 0 で、元の条件を満たします。正の右辺の場合の2本を形式的に書いても、両方とも同じ値になる点に注意します。

3. 左辺は0以上で、右辺は負です。どの実数を入れても等号は成立しないので、解なしです。中身を2や -2にしても、絶対値は2となり -2には戻りません。

4. 解なら 2x − 2 ≥ 0、すなわち x ≥ 1 です。この範囲では x + 1 > 0 なので、x + 1 = 2x − 2 から x = 3 です。条件を満たし、元の式では左辺4、右辺4です。答えは x = 3 です。符号条件を無視して x + 1 = -(2x − 2) とすると x = 1/3 も出ますが、右辺が負で元の式に合いません。

5. x ≥ 4 では |x − 4| = x − 4 なので、(1 − t)(x − 4) = 0 です。t = 1 ならこの範囲の全点、それ以外なら x = 4 です。x < 4 では |x − 4| = -(x − 4) なので、(t + 1)(x − 4) = 0 です。この範囲では x − 4 は0でないため、t = -1 のとき全点、それ以外には解がありません。したがって t = 1 なら x ≥ 4、t = -1 なら x ≤ 4、それ以外なら x = 4 です。x = 4 では常に両辺0で、各範囲の点についても定義どおり両辺が一致します。

要点

• 絶対値は0以上であり、負の数に等しくなりません。
• 正の距離には左右の候補、0の距離には重なった1点があります。
• 右辺が文字を含むときは、その非負条件を候補と合わせます。
• 中身の符号で分けたら、各候補をその範囲と元の式に戻します。
• 文字で割る前には、その文字を含む係数が0の場合を調べます。

手が止まったときの確かめ方

右辺が負でも解を出したなら、まず絶対値が表す距離を数直線で言葉にしてみます。候補は合うのに個数を間違えるなら、0の距離で左右が重なる図を確認します。文字がある問題で式だけが長くなる場合は、どの係数で割る予定かを囲み、それが0になる場合を先に別枠に置きます。

個別指導で確かめる箇所は、符号の条件を自分で立てられるか、候補を条件へ戻して採否を説明できるかです。途中の等式が正しくても、適用した範囲を言えなければ別の枝の解を混ぜるおそれがあります。距離の意味と式の条件がつながれば、解なしも方程式の確かな答えです。