高校数学I 文字係数の一次不等式—正と負と零に分けて解を整理する｜武蔵野個別指導塾

係数が0になる値を先に調べ、恒真と矛盾も含めて、文字係数の一次不等式の解を整理できます。

よくあるのは、高1の自習で文字を含む係数が0になる場合を忘れて、その係数で両辺を割ってしまう場面です。文字は一定の数を表しますが、その数が正とは限りません。負なら不等号の向きが変わり、0なら割る操作そのものができません。まず何を未知数として解き、どの文字を値の決まった数として扱うかを分けましょう。

どこで答えの形が変わるか

文字係数の一次不等式では、例えば「実数 a の値に応じて x について解く」と問われます。a は条件ごとに固定された数、x はその条件を満たす値を探す対象です。a に数を代入したときの不等式を、まとめて処理することになります。

出方の1つは、(a − 2)x > 3 のように x の係数が文字を含む型です。係数が正ならそのまま、負なら向きを逆にして割ります。係数が0なら、x の項が消えた後の真偽を調べます。

別の型は、両辺に x があり、移項して初めて係数が見えるものです。移項前の係数を別々に見ても、最終的な係数の符号は決まりません。さらに、係数が0になる値で残った条件が真か偽かを利用し、解が全実数または空集合になる条件を逆に求める問いもあります。

同じ問題でも、係数が0になる境界で答えが大きく変わります。分数の形を最初に書くと、その境界で分母が0になることを見落としやすいため、割る前に分岐を作ります。

割る前に係数の符号を見る

実数 A, B を使い、Ax > B を考えます。A > 0 なら両辺を A で割って x > B/A です。A < 0 なら負の数で割るので x < B/A です。どちらも A が0でないとわかった後に分数を書いています。

A = 0 では元の不等式は 0 > B です。B < 0 なら、どの実数 x を入れても成り立ちます。このとき解は全実数です。一方 B ≧ 0 なら、どの x を入れても成り立たず、解は空集合です。x が消えたことと、解がないことは同じではありません。

図1のように、まず係数 A の符号で3つに分け、0の枝では残った数の比較へ進みます。境界の等号をどの枝に入れたかを記録することが、分母0を避ける手がかりです。

図1の正と負の枝は、割る数の符号が決まってから不等号を選びます。0の枝には割り算の矢印がありません。≧ や ≦ の問題でも同じ分岐を使えますが、最後に残る数の比較に等号が含まれるかは元の不等号で決めます。

例えば 0 ≧ 0 は真ですが、0 > 0 は偽です。境界の等号を機械的に処理すると、全実数と空集合を逆にすることがあります。数直線に解を描く場合も、厳密な不等号なら端点を含めず、等号つきなら含めます。

基本例題：消える項を置き去りにしない

実数 a の値に応じて、不等式 (a − 2)x > 3 を x について解き、範囲または全実数・空集合で答えてください。

x の係数は a − 2 です。これが0になるのは a = 2 なので、2を境に3つに分けます。図2のように、各枝の条件と、その枝で許される操作を対応させます。

図2の上段では a − 2 > 0 です。正の数で割るので向きは変わりません。

a > 2
(a - 2)x > 3
x > 3/(a - 2)

中段では a − 2 < 0 です。負の数で割るため、向きを反転します。

a < 2
(a - 2)x > 3
x < 3/(a - 2)

下段では a = 2 なので、元の式に戻すと 0x > 3、すなわち 0 > 3 です。これは偽ですから解は空集合です。0で割って分数を作ることはできません。

答えを確かめるため、a = 3 なら x > 3 です。境界 x = 3 は元の式で 3 > 3 となり不成立、x = 4 は 4 > 3 で成立します。a = 1 なら x < -3 です。x = -3 は等号なので不成立、x = -4 なら 4 > 3 で成立します。a = 2 では x の選び方にかかわらず 0 > 3 となります。正負の向きと境界の扱いを元の問題に戻して確かめられます。

標準例題：両辺を整理してから分ける

実数 t の値に応じて、3x + 2 ≦ t(x − 1) + 2t を x について解き、範囲または全実数・空集合で答えてください。

右辺の括弧を外し、x の項と数の項を分けます。

3x + 2 ≦ tx - t + 2t
3x + 2 ≦ tx + t
(3 - t)x ≦ t - 2

ここで初めて割る係数 3 − t が見えます。t = 3 を境に符号を調べます。t の符号だけで分けても 3 − t の符号は決まりません。

t < 3 のとき 3 - t > 0
x ≦ (t - 2)/(3 - t)

正の係数で割ったので不等号の向きはそのままです。等号も残ります。

t > 3 のとき 3 - t < 0
x ≧ (t - 2)/(3 - t)

こちらは負の係数で割ったので向きが逆です。t = 3 のときは元の式に戻すと 3x + 2 ≦ 3x + 3、すなわち 2 ≦ 3 です。これは x によらず真なので、解は全実数です。

例えば t = 2 なら元の式は 3x + 2 ≦ 2x + 2 となり、x ≦ 0 です。境界 x = 0 で両辺は2、x = 1 では左辺5、右辺4で不成立です。t = 4 なら 3x + 2 ≦ 4x + 4 から x ≧ -2 です。x = -2 では両辺が -4、x = -3 では左辺 -7 が右辺 -8 以下にならず不成立です。t = 3 のときも、両辺の差を調べると右辺が常に1大きいので全実数という結論に戻ります。

発展例題：解が全実数になる条件を逆に探す

実数 p について、不等式 (p − 1)x + p ≧ 2x + 4 がすべての実数 x で成り立つような p を求め、存在するなら整数または分数で答えてください。

まず x の項をまとめます。

(p - 1)x + p ≧ 2x + 4
(p - 3)x ≧ 4 - p

p − 3 > 0 なら、解は x ≧ (4 − p)/(p − 3) です。この分数は実数で、その値より小さい実数を選べるため、全実数にはなりません。p − 3 < 0 なら、解は x ≦ (4 − p)/(p − 3) です。今度はその値より大きい実数を選べるので、やはり全実数にはなりません。

残る p = 3 を元の不等式に入れると、2x + 3 ≧ 2x + 4、つまり 3 ≧ 4 です。これは偽です。したがって条件を満たす p は存在せず、答えは空集合です。

係数が0なら必ず全実数、と決めることもできません。係数が0であることは、全実数になるために必要ですが、それだけでは足りず、残った数の比較が真でなければならないからです。この例ではその比較が失敗します。実際、p = 3 で x = 0 を入れても 3 ≧ 4 とはならず、元の場面で不成立を確認できます。

一方、右辺の定数が3だったと想像すると、p = 3 で残るのは 3 ≧ 3 です。このときは真になります。同じ係数の消え方でも、等号が許されるかと定数の値が結論を分けます。存在しない答えを出す場合も、他の p を除いた理由と、最後の候補の代入を両方示す必要があります。

誤答をほどく：分母に入れる前の条件

次の誤答を考えます。実数 b に対して (b + 1)x < 2 を解く際、両辺を b + 1 で割って、どの場合も x < 2/(b + 1) とする解答です。

図3のように、この処理には負の場合と0の場合の2種類の欠落があります。b + 1 の符号がまだ決まっていないため、割った後の向きを固定できません。

図3の負の枝では b < -1 なので、正しくは x > 2/(b + 1) です。例えば b = -2 なら元の式は -x < 2、解は x > -2 です。誤答が含める x = -3 を戻すと 3 < 2 となり、成立しません。

0の枝では b = -1 です。分母が0の式は使わず、元の式から 0 < 2 を得ます。これは真なので、解は全実数です。例えば x = 0 も x = -3 も元の条件を満たします。

正の枝 b > -1 では、誤答と同じ向きの x < 2/(b + 1) が正解です。ただし、たまたま正しい枝があることは、全体の解答の正しさを保証しません。3つの条件が重ならず、実数 b の取り得る範囲を残さず覆うかも点検します。

練習問題

次の各問で文字は実数とします。1〜4は指定された文字について解き、範囲または全実数・空集合で答えてください。5は条件を満たす文字の値を整数または分数で答え、存在しなければ空集合としてください。

1. (a + 4)x ≧ 8 を x について解いてください。
2. (2 − c)y < -6 を y について解いてください。
3. 5z − 1 > qz + 2q を z について解いてください。
4. (r − 6)u ≦ r − 6 を u について解いてください。
5. (s + 2)v + 1 > 3v − 2 がすべての実数 v で成り立つような s を求めてください。

練習の答えと道筋

1

a + 4 = 0 は a = -4 です。正負で割る向きを決め、0では数の比較に戻します。

a > -4 のとき x ≧ 8/(a + 4)
a < -4 のとき x ≦ 8/(a + 4)
a = -4 のとき 0 ≧ 8 は偽

よって最後の枝は空集合です。a = -3 なら x ≧ 8、a = -5 なら x ≦ -8 です。それぞれ境界を元の式に入れると両辺が8となり、等号が含まれることも確かめられます。a = -4 ではどの x でも左辺は0です。

2

2 − c が0になるのは c = 2 です。

c < 2 のとき y < -6/(2 - c)
c > 2 のとき y > -6/(2 - c)
c = 2 のとき 0 < -6 は偽

最後は空集合です。c = 1 なら y < -6、c = 3 なら y > 6 です。各境界を元の式に入れると両辺が -6 で、厳密な不等号を満たしません。境界の外側としてそれぞれ y = -7、y = 7 を入れれば成立します。

3

まず移項して係数を一つにまとめます。

5z - 1 > qz + 2q
(5 - q)z > 2q + 1

したがって q < 5 なら z > (2q + 1)/(5 − q)、q > 5 なら z < (2q + 1)/(5 − q) です。q = 5 なら 0 > 11 となり、解は空集合です。q = 0 では z > 1/5 で、z = 1/5 を元の式へ戻すと両辺が0です。q = 6 では z < -13 で、z = -13 を戻すと両辺が -66 です。いずれも境界は解に入りません。

4

r − 6 の符号により、次のようになります。

r > 6 のとき u ≦ 1
r < 6 のとき u ≧ 1
r = 6 のとき 0 ≦ 0

最後の比較は真なので全実数です。r = 7 と r = 5 では u = 1 を元の式に入れると左右がそれぞれ1と -1 で等しくなります。r = 6 では u の値に関係なく両辺が0です。係数と右辺が同時に0になる境界が、他の枝と異なることに注意します。

5

(s + 2)v + 1 > 3v - 2
(s - 1)v > -3

s ≠ 1 なら v の係数が0でないため、解は一方に限られた範囲となり、全実数ではありません。s = 1 なら 0 > -3 で真です。よって答えは s = 1 です。元の式に戻すと 3v + 1 > 3v − 2 で、両辺の差は常に3です。どの v でも条件が成立します。

覚えておくこと

• まず未知数の項をまとめ、その係数が0になる値を探します。
• 正で割ると向きはそのまま、負で割ると逆になります。
• 係数が0なら割らずに、残った比較の真偽を調べます。
• 真なら全実数、偽なら空集合です。
• 境界と各枝の代表値を元の不等式に戻します。

境界の前後を比べる

係数が0になる値のすぐ両側では、分数の見た目が似ていても、解の向きが異なります。基本例題で a = 2 より大きい側は右向き、小さい側は左向きでした。境界そのものにはどちらの式も使えず、元の比較に代入します。したがって、分岐の表を書くときは「正」「負」の2行の間に「0」の行を残すと、抜けを発見しやすくなります。

解の端にある分数は、その枝の条件のもとで初めて意味を持ちます。例えば負の係数で割る枝では、分母が負であることと、不等号が逆転することを別々に確認します。分子まで負であるとは限らないので、分数全体の正負から割る方向を判断してはいけません。等号を含むかどうかは分数の符号でなく、元の不等号から決まります。

全実数や空集合という答えは、計算を省いた印ではありません。どの値でも真になる理由、またはどの値でも偽になる理由が数の比較で示されています。逆に、係数が0でない枝では、有限の境界を越えた反対側に成り立たない値があります。この違いを言葉にすると、全実数の条件を逆算する問題でも候補を絞れます。

手が止まる位置を見つける

場合分けが進まないときは、最初に囲んだ係数が整理後の x の係数かを見直します。負の枝だけ間違えるなら、具体的な負の数を代入して向きの変化を追います。0の枝で迷うなら、文字を先に代入して x が消えた式を声に出して読み、真偽と解の集合を別々に答えます。

個別指導で確かめる際も、答えの式だけでなく、どの行で割る数が0でないと判断したか、等号を含む境界で何が起きるかを説明できるかが目印です。係数が消えた後の比較まで追えば、分母に隠れた例外を見落とさずに済みます。