高校物理 原子 原子核の発見と散乱—曲がり方と最近接距離から原子模型を考える｜武蔵野個別指導塾

大角度に曲がる粒子の少なさと正面衝突のエネルギー収支から、姿が見えてくる原子核です。

よくあるのは、高校生が大角度に散乱されるα粒子の少なさを見て、原子核も原子の中に広がっていると考える場面です。少ないという結果は、強く曲げられる場所が限られていることを示します。どこを通る粒子が強い力を受けるのかを考えると、観測と模型の結びつきが見えてきます。

要点（結論から）

• 直進に近い粒子が多く、大角度に曲がる粒子が少ない分布は、正電荷の狭い領域への集中と整合します。
• 固定核への正面入射では、遠方を位置エネルギー0としてK = kqQ/rです。
• 最近接距離は核の中心から粒子までの距離であり、核半径そのものではありません。

散乱の問題で問われること

出方は大きく3種類あります。第一に、多くの粒子がほぼ直進し、少数が大きく曲がるという分布から、正の電荷と質量が原子の小さな領域に集中した模型を選ぶ問題です。第二に、正面から近づく粒子の運動エネルギーを電気的な位置エネルギーに移して、最近接距離を求める問題です。第三に、入射エネルギーや核の電荷を変えたとき、距離の比と模型の適用範囲を考える問題です。

どの型でも、観測された散乱角と、粒子が核へどれほど近づくかを区別します。散乱角は入射方向と散乱後の進行方向のなす角です。大きい角は、進行方向が大きく変わったことを表し、粒子の数が多かったことを意味しません。正面衝突の計算には、核が動かない近似を置けるか、他の原子や電子による影響を無視できるかも書き添えます。

曲がり方から核の存在を推論する

α粒子は正の電荷を持ちます。原子の正電荷も正なので、両者の間には斥力が働きます。図1のように、核から遠い側を通る粒子は力の強い領域に長く近づかず、わずかに曲がります。核へ向かう経路に近い粒子は強く押し返され、大きな角度で散乱される可能性があります。

図1の曲線は経路の模式図であり、実寸の縮尺ではありません。多くが直進に近いことは、原子の大部分で粒子の進行を大きく変えるほどの集中した電荷に出会わないことと整合します。一方、少数の大角度散乱は、狭い領域で強い斥力を受ける粒子がいることを示します。正の電荷が原子全体に一様に薄く広がる模型では、このような強い曲がりを説明しにくくなります。

ここで「粒子が少ないから核が広い」と逆に読まないことが重要です。狙いを定めずに入射させた粒子のうち、中心近くを通るものの割合が小さければ、大きく曲がる粒子も少なくなります。薄い箔を用いるのは、複数の原子で何度も曲がった効果を抑え、一度の散乱と対応させやすくするためです。ただし、少ないという言葉だけから核の半径の数値を直接決めることはできません。

最近接距離を求める条件

正面衝突では、入射方向の延長上に核の中心があるとします。核は十分重く、動かないと近似します。α粒子の電荷をq、核の電荷をQ、クーロン力の比例定数をkとし、いずれも正とします。電子や他の核の影響を無視し、核から十分遠い位置を電気的な位置エネルギーの基準0に選びます。

中心間距離をrとすると、位置エネルギーはU=kqQ/rです。近づくにつれてUが増える分、運動エネルギーが減ります。遠方での運動エネルギーをKとすれば、正面では最近接点で速度が一瞬0になり、エネルギー保存から次のようになります。

K = kqQ/r
r = kqQ/K

単位はKをJ、電荷をC、kをそれらとmに対応する単位で扱えば、rがmになります。斜めに入射した場合には最近接点でも一般に接線方向の速度が残るため、Kをそのまま位置エネルギーに等置できません。核の反跳が無視できない場合も、核とα粒子を合わせた系の運動エネルギーを考える必要があります。

求めたrは中心間距離であり、そのまま核の半径ではありません。クーロン斥力と点電荷の近似で計算した位置まで、粒子が核の表面や短距離の別の力に妨げられずに近づけたと考えられるなら、核の半径はその距離より小さいと推測できます。近似が破れる条件では、その上限の解釈も再検討が必要です。

基本例題：正面から近づく粒子

正に帯電した核を固定し、電荷qのα粒子を遠方から正面に入射します。クーロン相互作用の係数をkqQ = 12 J・m、入射時の運動エネルギーをK = 3.0 Jとする自作の模型です。他の力を無視し、最近接距離をmで有効数字2桁で求めてください。数値は計算の関係を見るための模型条件であり、実測値ではありません。

図2のように、遠方では運動エネルギーが3.0 J、位置エネルギーを0 Jとします。最近接点では運動が一瞬止まり、運動エネルギーは0 Jです。保存する量はα粒子と固定された核の間の電気的な位置エネルギーを含む力学的エネルギーです。

3.0 = 12/r
3.0r = 12
r = 4.0 m

答えは4.0 mです。図2の最近接点で位置エネルギーを計算すると12/4.0 = 3.0 Jとなり、与えた入射エネルギーへ戻ります。単に3.0を12で割ると逆数になり、単位もmにならないので、式と単位の両方で点検できます。

粒子が最近接点で永久に止まるわけではありません。正電荷同士の斥力が引き続き働き、粒子は入射してきた側へ戻ります。遠方に戻るまで他の作用がなければ、位置エネルギーは再び0に近づき、運動エネルギーは元の3.0 Jに戻ります。

標準例題：エネルギーと距離のグラフ

同じ固定核と同じ電荷の粒子について、正面入射のエネルギーKを変えます。模型条件としてkqQ = 24 J・mとします。Kが2.0 J、4.0 J、8.0 Jのときの最近接距離をそれぞれmで有効数字2桁で求め、横軸を1/K、縦軸をrとしたグラフの傾きと原点を通る理由を答えてください。

r = 24/K
K = 2.0 J のとき r = 24/2.0 = 12 m
K = 4.0 J のとき r = 24/4.0 = 6.0 m
K = 8.0 J のとき r = 24/8.0 = 3.0 m

答えは順に12 m、6.0 m、3.0 mです。それぞれKとrの積は24 J・mに戻ります。横軸をx = 1/Kと置くと、r = 24xです。したがって傾きは24 J・m、切片は0 mです。横軸の単位はJ⁻¹なので、縦軸の単位mを横軸の単位で割ると傾きの単位はJ・mになります。

横軸をKそのものにすると直線ではありません。Kを2倍にすれば距離は1/2倍になる曲線です。なお、1/K = 0は有限のエネルギーで測った点ではなく、モデルの式を延長した位置です。そこで核の内部まで点電荷近似が成立すると主張することはできません。

発展例題：核電荷と距離の上限

同じα粒子を同じエネルギーで固定核AとBに正面入射します。核Bの電荷は核Aの2倍です。AについてkqQ = 18 J・m、K = 6.0 Jとし、どちらも同じ近似が成り立つとします。最近接距離をmで有効数字2桁で求め、Bの距離と核半径の関係を条件つきで述べてください。

rA = 18/6.0
rA = 3.0 m
kqQB = 2・18 = 36 J・m
rB = 36/6.0
rB = 6.0 m

答えはAが3.0 m、Bが6.0 mです。逆に位置エネルギーを求めると、Aは18/3.0 = 6.0 J、Bは36/6.0 = 6.0 Jで、いずれも入射エネルギーへ戻ります。別解では、rはQに比例するのでrB/rA = 2と先に求め、3.0 mの2倍としてもよいです。

Bの核半径が6.0 mより小さいという推論には、計算した距離まで粒子が核の表面に接触せず、クーロン斥力が支配的であるという条件が要ります。距離が大きいことは、その核の半径が必ず大きいことを意味しません。ここで得たのは電荷とエネルギーに応じて決まる到達距離であり、半径を直接測った値ではないからです。

散乱の分布を調べる計画では、入射粒子のエネルギーや箔の材質・厚さをそろえ、検出方向ごとの粒子数を比べます。角度ごとの検出器の受け持つ範囲や測定時間もそろえるか補正します。数の少ない大角度側は偶然の揺らぎの影響を受けやすく、背景を測って差し引く際の不確かさにも注意します。箔が厚すぎると複数回の散乱が混じり、単一の核による曲がりとして読みにくくなります。放射線源を使う実験は学校の指導の下で行い、ここでは模式的な観測条件を考えます。

誤答を直す：距離と半径を混同しない

図3のように、計算した最近接距離をそのまま核の半径と書く誤答があります。原因は「止まった位置が核の表面だ」と決めてしまうことです。実際には、正の粒子は表面に接触しなくても斥力によって押し返されます。正面衝突の式に接触条件は入っていません。

図3では核の中心から最近接点までを距離r、核の中心から表面までを半径Rとしています。核の外でクーロン斥力により折り返したという条件の下ではR < rです。尺度は説明用であり、実物の比率ではありません。問題文が与える近似と観測を確認してから、不等号を書くようにします。

もう一つの誤答は、大角度散乱が少ないことから、すべてのα粒子が弱い力しか受けなかったと結論することです。少数でも大きく曲がった事実があるため、その粒子には大きな進行方向の変化を生む作用が必要です。分布の多数派と少数派を別々に説明できるか、答案の最後に読み返します。

練習：条件を選んで立式する

次の数値は自作の模型条件です。距離はmで有効数字2桁とし、各問題では固定核、正面入射、遠方で位置エネルギー0、クーロン斥力以外の影響を無視できるとします。

1. kqQ = 20 J・m、K = 5.0 Jです。最近接距離を求めてください。
2. kqQ = 30 J・m、最近接距離が10 mです。入射エネルギーをJで有効数字2桁で求めてください。
3. 同じ核と粒子で入射エネルギーを最初の3倍にします。最近接距離は最初の何倍ですか。
4. 同じ入射エネルギーと粒子で、核の電荷を最初の1/2倍にします。最近接距離は最初の何倍ですか。
5. ある模型でkqQ = 28 J・m、K = 7.0 Jです。最近接距離を求め、核の半径との関係を述べるために必要な条件を1つ挙げてください。

解答と確かめ

1. エネルギー保存から次のように求まります。

5.0 = 20/r
r = 20/5.0
r = 4.0 m

答えは4.0 mです。位置エネルギーに戻すと20/4.0 = 5.0 Jで、入射時の値と一致します。

2. 最近接点で運動エネルギーが0なので、入射エネルギーは位置エネルギーに等しくなります。

K = 30/10
K = 3.0 J

答えは3.0 Jです。この値から距離を求め直すと30/3.0 = 10 mとなり、与えた距離に戻ります。

3. 最初のエネルギーをK、距離をr、係数をCとすると次の関係です。

r = C/K
新しい距離 = C/(3K)
新しい距離/r = 1/3

答えは1/3倍です。新しいエネルギーと距離の積は3K・r/3 = Kr = Cとなり、同じ係数に戻ります。エネルギーが大きいほど、斥力に逆らって近づけます。

4. 係数Cは核の電荷に比例します。エネルギーを固定すると次のようになります。

r = C/K
新しい距離 = (C/2)/K
新しい距離/r = 1/2

答えは1/2倍です。新しい距離における位置エネルギーは(C/2)/(r/2) = C/r = Kとなり、同じ入射エネルギーへ戻ります。

5. 保存則に模型の値を入れます。

7.0 = 28/r
r = 28/7.0
r = 4.0 m

答えは4.0 mです。28/4.0 = 7.0 Jで元のエネルギーへ戻ります。半径がこの距離より小さいと述べるには、たとえば粒子が核の外側でクーロン斥力によって折り返したことが必要です。この条件なしに4.0 mを半径と断定することはできません。

要点と答案の点検

• 直進に近い粒子が多く、大角度に曲がる粒子が少ない分布は、正電荷の狭い領域への集中と整合します。
• 固定核への正面入射では、遠方を位置エネルギー0としてK = kqQ/rです。
• 最近接距離は核の中心から粒子までの距離であり、核半径そのものではありません。
• 核の外でクーロン斥力により折り返す条件なら、最近接距離は核半径の上限を与えます。

つまずきの見分けには、最初に核と粒子の電荷の符号を書き、力の向きを矢印で説明できるかを確かめます。個別指導では、斜め入射でも最近接点の速さが0になるかを問い、正面入射の条件が式に反映されているかを見ます。次に計算した距離を位置エネルギーへ戻し、入射エネルギーと一致するかを一緒に点検します。散乱の少数派を見落とさず、その理由を力と距離で結びつければ、模型の根拠が明確になります。