高校物理 キルヒホッフの立式—仮の電流と周回方向を決めて負の解を読み直す｜武蔵野個別指導塾

向かい合う2電源と3枝の回路から、負の電流の向きを読み直す鍵は符号です。

よくあるのは、高校生が連立方程式を解いて負の電流を得るたび、回路図の矢印も式も全部消してしまう場面です。電流の矢印は、向きを予言する印ではなく、正の値を数える向きとして先に決められます。負の値は、実際にはその矢印と反対に流れるという情報です。

電池が2つあると、どちらが電流を送り出し、どちらに電流が入るかは、起電力の大小だけでは決められません。抵抗を含む回路全体で接続点の電流と電位差を合わせ、最後に向きを読み取ります。文部科学省の高等学校学習指導要領解説の「電気と電流」にある電気回路の基本法則に対応する話題です。

どこで符号を決めるか

出題の一つは、接続点に出入りする枝の電流を求める型です。枝ごとに矢印を決めて、接続点に入る電流と出る電流の関係を書きます。次に、電池と抵抗を含む閉路をたどり、電位の上昇と下降を足す型があります。さらに、電源の値を変え、ある枝の電流が零になったり反転したりする条件を問う型もあります。

いずれも、式を立てる前に決めるものは2種類あります。枝電流の正方向と、閉路をたどる周回方向です。前者は電流の符号を読むため、後者は各素子をどちら向きに横切るかを決めるために使います。両者は独立に選べます。周回方向を逆にしても、その閉路の式全体の符号が逆になるだけで、物理的な結果は変わりません。

以下の回路は、特に断らない限り十分時間がたった直流の定常状態とします。導線は理想的で抵抗がなく、電源は問題に記した起電力をもつ理想電源です。実際の電池の内部抵抗を考慮するなら、枝の抵抗に加えるなどして回路図に明示します。接続点の小さな領域に電荷が増え続けないという条件が、節点の式を使う根拠です。

接続点と電位の約束

図1のように、上の接続点Aと下の接続点Bの間に3本の枝を置きます。左と右の電源はどちらも上側が正極で、互いに下側を通じて向かい合う配置です。左、中、右の枝電流 I₁、I₂、I₃ は、いずれもAからBへの向きを正と決めます。電源を含む枝にある抵抗は、それぞれ電源と直列です。

図1では電流の矢印が3本ともAから出ています。定常状態ではAに流入する正味の電荷と流出する正味の電荷がつり合うので、符号つきの電流を用いて次のように書けます。

I₁ + I₂ + I₃ = 0

3つとも正だと電荷がAから流出し続けるため、この条件では少なくとも1つは零以下です。例えば I₁ が負なら、実際には左枝をBからAへ流れ、他の枝への流入を担えます。枝の矢印を最初から正しい実際の向きにそろえる必要はありません。

電位は高さに似た量として追えますが、基準は自由です。Bの電位を0 V、Aの電位を V とします。抵抗 R を正方向の電流 I と同じ向きに通るとき、電位は RI だけ下がります。I が負なら RI も負ですから、同じ向きに通っても電位は上がります。電池を負極から正極へ通ると起電力 E だけ上がり、正極から負極へ通ると E だけ下がります。

左枝をAからBへたどると、抵抗と電池による変化の合計は -R₁I₁ − E₁ です。Bの電位からAの電位を引いた値は -V なので、V = E₁ + R₁I₁ となります。同様に中央と右枝も合わせると、次の関係が得られます。

V = E₁ + R₁I₁
V = R₂I₂
V = E₃ + R₃I₃

この式は、電位がAとBという同じ2点の間で経路によらず一致することを表します。左枝をAからBへ進み、中央枝をBからAへ戻れば、閉路の式は -E₁ − R₁I₁ + R₂I₂ = 0 です。右枝と中央枝でも同様の式を作れます。閉路を一周して同じ点に戻れば電位の変化の和は零であり、これが閉路についての法則です。時間変化する磁場が閉路を貫いて誘導起電力を生じる場合には、ここで用いた静電的な電位差だけの説明をそのまま当てはめません。

電源の起電力と端子間電圧も区別します。理想電源単体の端子間電圧は起電力ですが、直列抵抗を含む枝全体の端子間電圧 V は、電流に応じて E + RI となります。電流が負なら V は E より小さくなり得ます。電位の基準をBから別の点に変えても、2点間の電位差と電流は変わりません。

基本例題：同じ向きに置いた矢印

図2のように、左枝に起電力 12 V の電源と 2 Ω の抵抗、中央枝に 6 Ω の抵抗、右枝に起電力 3 V の電源と 3 Ω の抵抗をつなぎます。両電源の正極は上です。Bを0 Vとし、各枝の電流はAからBを正とします。定常状態の V と各電流を、符号つきの整数または分数で単位とともに求め、実際の向きも答えてください。数値は計算用に設定したものです。

図2の矢印に従い、接続点と2つの閉路について立式します。抵抗の値には Ω、起電力には V を用い、電流は A で表します。

I₁ + I₂ + I₃ = 0
V = 12 + 2I₁
V = 6I₂
V = 3 + 3I₃

各枝の式を電流について解いて節点の式に代入します。

I₁ = (V - 12)/2
I₂ = V/6
I₃ = (V - 3)/3
(V - 12)/2 + V/6 + (V - 3)/3 = 0
3V - 36 + V + 2V - 6 = 0
6V = 42
V = 7 V

よって、I₁ = -5/2 A、I₂ = 7/6 A、I₃ = 4/3 A です。左枝は矢印に逆らってBからAへ 5/2 A、中央と右枝は矢印の向きにそれぞれ 7/6 A、4/3 A 流れます。電流の大きさは負にせず、向きと大きさで伝えます。

場面に戻して確かめましょう。Aに左枝から入る 5/2 A は、中央と右へ出る 7/6 + 4/3 = 5/2 A に一致します。Bを0 Vとしたとき、左枝をBからAに進むと電源で12 V上がり、抵抗では実際の電流に沿って5 V下がるため、Aは7 Vです。中央の 6 Ω に 7/6 A を流した電圧も7 V、右枝の正極側から電源へ向かう電流による抵抗の電圧は4 Vなので、枝全体では 3 + 4 = 7 V です。3経路が同じ電位差を与えます。

別解として、中央と左の閉路で 12 + 2I₁ − 6I₂ = 0、中央と右の閉路で 3 + 3I₃ − 6I₂ = 0 を立て、節点の式と連立しても同じ値になります。V を先に求める方法は、3枝が同じ2点につながることを見抜きやすい方法です。閉路を直接たどる方法は、図に周回の矢印を書き、抵抗と電源を横切る順番を確認したいときに役立ちます。

電源を変えると電流はいつ反転するか

次の標準例では、左枝の起電力を 8 V、抵抗を 2 Ω、中央を 6 Ω、右枝の抵抗を 3 Ω とします。両電源は正極を上にし、右枝の起電力を E V と変化させます。電流の正方向と電位の基準は基本例と同じです。E = 9 V のときの電流を符号つきの分数と単位で求め、右枝の電流が零になる E と、E がその値より大きいときの右枝の向きを答えてください。

まず V を使って3枝の電流を表します。

(V - 8)/2 + V/6 + (V - E)/3 = 0
3V - 24 + V + 2V - 2E = 0
V = 4 + E/3
I₃ = (V - E)/3 = 4/3 - 2E/9

E = 9 V では V = 7 V、I₁ = -1/2 A、I₂ = 7/6 A、I₃ = -2/3 A です。左右からAに入る電流の和は 1/2 + 2/3 = 7/6 A で、中央から出る電流に等しくなります。左枝の電源と抵抗をBからAへ進むと 8 − 1 = 7 V、右枝でも 9 − 2 = 7 V となります。

I₃ = 0 と置くと E = 6 V です。このとき右の抵抗には電流がなく、電圧降下もないので V = E = 6 V です。左から 1 A がAへ入り、中央を 1 A がBへ出ます。右の電源が存在していても、その枝の電流が零になる条件はあり得ます。E が 6 V より大きければ I₃ は負になり、右枝の実際の電流はBからAへ向かいます。

グラフにするなら横軸を E / V、縦軸を I₃ / A とし、式 I₃ = 4/3 − 2E/9 を直線で描きます。横軸との交点が電流の反転点です。傾きが負であることは、右の起電力を上げると、下向きを正とした電流が減ることを表します。縦座標の負は電流の不存在ではなく、定めた正方向の反対を意味します。

極性を反転した枝の扱い

発展例では左枝の起電力を 10 V、抵抗を 2 Ω、中央の抵抗を 6 Ω、右枝の起電力を 6 V、抵抗を 3 Ω とします。左電源は正極が上、右電源は正極が下です。他の条件と電流の正方向は基本例と同じです。V と各枝電流を符号つきの分数と単位で求め、接続点と2点間の電位差で答えを照合してください。

右枝をAからBへ進むと、電源は負極から正極へ通るので電位が 6 V 上がります。したがって右枝は V = -6 + 3I₃ です。右の起電力の大きさを負の値に変えたのではなく、決めた向きで横切る際の電位変化の符号を変えました。

I₁ = (V - 10)/2
I₂ = V/6
I₃ = (V + 6)/3
(V - 10)/2 + V/6 + (V + 6)/3 = 0
V - 3 = 0
V = 3 V
I₁ = -7/2 A
I₂ = 1/2 A
I₃ = 3 A

Aに左から 7/2 A が入り、中央と右から 1/2 + 3 = 7/2 A が出ます。左枝をBからAへ進む電位変化は 10 − 2・(7/2) = 3 V です。右枝をAからBへ進むと抵抗で 9 V 下がり、電源で 6 V 上がるため、合計で 3 V 下がります。中央でも 6・(1/2) = 3 V 下がるので、どちらの経路でもBはAより 3 V 低いとわかります。

電池の極性を変える操作は、電流の矢印を変える操作とは別です。極性は回路の条件であり、正方向は記述の約束です。矢印を変えずに電源の極性を変えれば、電流値も変わります。一方、同じ回路の矢印を逆に付け直したときは、対応する電流の符号が反転するだけで実際の流れは同じです。

測定するときの照合と限界

学校の指導の下で、適切な低電圧の電源と抵抗を使い、電源の極性と抵抗値を確かめた回路を用意します。電流計は測りたい枝に直列に入れ、電圧計はAとBの間に並列につなぎます。許容電流や計器の範囲を確認し、電源の接続を変えるときは指導者の指示に従います。抵抗を通さず電源を直接つなぐ回路は作りません。

測定値の符号を使うには、電流計の正端子の向きと図の矢印を対応させます。各枝を測った値の符号つき和と、AからBまでの各経路の電圧を比較すると、節点と閉路を別々に点検できます。右枝の電流が小さい条件では、計器の零点のずれが向きの判断に影響します。接触抵抗、電池の内部抵抗、電流計の抵抗や電圧計に流れる電流も、理想模型との差の原因です。測定で和が完全に零にならない場合は、ただちに法則を捨てず、測定範囲や接続と模型の違いを調べます。

例えば右枝の端子間電圧 V と電流 I₃ を複数の条件で測れれば、理想模型では V = E₃ + R₃I₃ に従う直線を考えられます。横軸に符号つき I₃、縦軸に V を取ると、傾きは抵抗、縦軸との交点は電流零のときの起電力に対応します。直線からのずれがあれば、素子の温度変化や計器の影響などを候補として調べます。これは模型の予測であり、実測値を表したものではありません。

誤答から矢印を修正する

図3のように、基本例の左枝で I₁ = -5/2 A が出たとします。式の中の I₁ はAからBを正に取った量なので、負号はBからAへ流れることを示します。図3では実際の流れを反対向きの矢印で描き直していますが、元の式に代入する値は -5/2 A のままです。

図3の矢印を見て「負の電流だから大きさも -5/2 A」とするのは誤りです。大きさは 5/2 A、向きはBからAです。また、負号を消して I₁ = 5/2 A のまま元の式に戻すと、正方向まで勝手に変わってしまいます。新たにBからAを正とする電流 J₁ を定義するなら J₁ = -I₁ = 5/2 A です。節点の式も -J₁ + I₂ + I₃ = 0 と書き直します。

別の誤りは、抵抗を通るたびに必ず -RI と書くことです。-RI は「矢印の向きに通る」という条件つきです。逆向きに通れば +RI です。電流値が負のときも符号つきの I をそのまま使えば、実際の電位変化が得られます。電源については電流の矢印を見て符号を決めず、通過する極が負から正か、正から負かを見ます。

独立な式の数にも注意します。3枝の回路で未知の枝電流を3つとすると、節点の式1本と独立な閉路の式2本で求められます。外側の大きな閉路の式も正しいのですが、内側2つの閉路の式を組み合わせて得られるため、それだけを追加しても新しい条件にはなりません。連立方程式が解けないときは、計算を繰り返す前に、同じ条件を別の形で数えていないか確かめます。

5つの問題で向きを点検する

いずれも理想導線と理想電源を用いる定常状態とします。各値は自作の計算用の値です。答えは指定の単位を付け、整数または既約分数で表してください。電流の大きさを答えるときは向きも記します。

1. 接続点Pに 4 A が入り、別の枝から 3/2 A が出ます。残りの1枝に流れる電流の大きさと、Pに入るか出るかを求めてください。
2. 起電力 18 V の電源と 4 Ω、5 Ω の抵抗を直列につなぎます。電源の負極から正極を通り、抵抗を通って負極に戻る向きを正として電流を求めてください。反対向きを正にした場合の符号つき電流も答えてください。
3. 上下の接続点C、Dの間に3枝をつなぎます。左枝は上が正極の 15 V 電源と 3 Ω、中枝は 12 Ω、右枝は上が正極の 4 V 電源と 4 Ω です。Dを0 V、各電流をCからDへ正として、Cの電位と3枝の符号つき電流を求めてください。
4. C、Dの間の左枝に上が正極の 6 V 電源と 3 Ω、中枝に 12 Ω、右枝に下が正極の 8 V 電源と 4 Ω をつなぎます。Dを0 V、各電流をCからDへ正として、Cの電位と3枝の符号つき電流を求めてください。
5. 正極が上の 8 V 理想電源と 4 Ω の抵抗が直列につながる1枝を考えます。上端から下端への電流を I、上端の下端に対する電位差を V とします。V が 4 V、8 V、12 V の各場合の I を求め、横軸 I / A、縦軸 V / V のグラフの傾きと縦軸切片を答えてください。

問題の答えと戻し方

1. 残りの枝はPから出る 5/2 A です。4 − 3/2 = 5/2 となり、出る電流を合計すると 3/2 + 5/2 = 4 A で、入る電流と一致します。

2. 抵抗の合計は 4 + 5 = 9 Ω です。正方向に一周して 18 − 4I − 5I = 0 と置くと I = 2 A です。反対向きを正にすると -2 A です。実際の電流 2 A で2つの抵抗の電圧降下を足すと 8 + 10 = 18 V となり、電源の上昇分に戻ります。

3. Cの電位を V とします。節点における符号つきの和から次の式を得ます。

(V - 15)/3 + V/12 + (V - 4)/4 = 0
4V - 60 + V + 3V - 12 = 0
V = 9 V

左、中、右の順に -2 A、3/4 A、5/4 A です。左からCへ入る 2 A と、中央と右へ出る 3/4 + 5/4 = 2 A が一致します。左は 15 − 3・2 = 9 V、中は 12・(3/4) = 9 V、右は 4 + 4・(5/4) = 9 V となり、各枝で同じ電位差です。

4. 右の電源は正極が下なので、右枝は I₃ = (V + 8)/4 です。残る枝と合わせて次のように計算します。

(V - 6)/3 + V/12 + (V + 8)/4 = 0
4V - 24 + V + 3V + 24 = 0
V = 0 V

左、中、右の電流は -2 A、0 A、2 A です。左からCに入る 2 A が右へ出て、中枝は流れません。左は 6 − 3・2 = 0 V、右は抵抗で 4・2 = 8 V 下がった後、電源で 8 V 上がるので、CとDの電位は等しくなります。接続点間の電位差が零でも、電源を含む枝には電流が流れ得ます。

5. 枝の関係は V = 8 + 4I なので、I = (V − 8)/4 です。順に -1 A、0 A、1 A です。負のときは実際には下端から上端へ 1 A 流れます。グラフの傾きは 4 Ω、縦軸切片は 8 V です。各電流を枝に戻すと電位差は順に 8 − 4 = 4 V、8 + 0 = 8 V、8 + 4 = 12 V となり、与えた条件に一致します。

持ち帰る約束

接続点では、定めた向きに従う符号つき電流の和を零にします。
閉路では、周回中の電位変化を足して零にします。
抵抗と電源の符号は、横切る向きと極性から別々に決めます。
負の解は、選んだ電流の正方向と逆向きの流れです。
答えは接続点の流入・流出と、各経路の電位差に戻して照合します。

どこで止まったかを見分ける

図を見て接続点の式が書けない場合は、まず各枝に矢印を描き、正の電流ならその接続点に入るか出るかを言葉にします。式は書けても閉路の符号が揺れる場合は、周回方向を指でたどり、抵抗では電流の正方向、電源では極性を順に確認します。計算結果が負になった直後に消してしまう場合は、元の矢印を残したまま反対向きの実際の流れを描き、節点で電流がつり合うかを見ます。

個別指導で確かめるときも、正解の数値だけで判断せず、図の矢印、各項の符号、最後の向きの説明を順に見ます。同じ回路で周回方向を逆にした式も作れれば、暗記した符号ではなく電位の変化を追えているかが見えます。負号を残した式と実際の流れを結び直すと、回路の中の電流が一つの図に収まります。