高校物理 抵抗率と測定グラフ—導線の寸法と傾きから抵抗を読み分ける｜武蔵野個別指導塾

導線の長さを変えた測定値と原点からのずれを読み、軸の入れ替えに注意して求める抵抗率。

よくあるのは、高校生が縦軸を電流にしたグラフの傾きを、そのまま抵抗と呼ぶ場面です。直線が急なら大きい量があることは確かですが、それが抵抗かどうかは軸を見ないと決まりません。横軸の電圧を同じだけ増やしたとき、電流が多く増える導線ほど、電流を流しにくいとは言えないからです。単位まで含めて傾きを読み、導線の長さや太さに戻して考えます。

問題の形と最初の一手

出方の1つは、同じ材質の導線の長さや断面積を変え、抵抗の比を問うものです。長さが2倍なら抵抗は2倍ですが、断面積が2倍なら半分です。直径が2倍という条件では断面積が4倍なので、直径をそのまま式に入れないことが必要です。材質と温度が同じかどうかも、比を作る前に確かめます。

もう1つは、電流と電圧の測定点から傾きを読み、抵抗を求めるものです。縦軸が電圧なら傾きは抵抗、縦軸が電流なら傾きは抵抗の逆数です。さらに、長さと抵抗のグラフが原点からずれている場合には、切片と傾きが表すものを分けます。直線の切片が零でないという事実だけでは、原因を1つに決められません。

長さ、断面積と傾きの意味

均一な導線の長さをl、電流に垂直な断面積をS、抵抗率をρとすると、温度が一定の条件で抵抗Rは次の関係に従います。

R = ρl/S
ρ = RS/l

図1のように、同じ導線を同じ太さのまま2本直列につなぐと、各部分を同じ電流が通り、電圧の降下が足されます。したがって長さを2倍にすると抵抗は2倍です。一方、同じ導線を2本並列につなぐと、両方の電圧は等しく電流が足されるので、全体の抵抗は半分です。同材質で断面積を2倍にすることに対応します。これらを合わせると、均一な導線について長さに比例し断面積に反比例する関係が得られます。

図1では材質と温度を固定しています。抵抗率はその条件での材料の性質を表し、単位はΩ・mです。Ω・m²/mを整理するとΩ・mとなります。抵抗は試料の寸法にも依存するため、抵抗の大きい試料が必ず大きい抵抗率を持つとは限りません。円形断面の半径をrとすればS = πr²であり、面積の換算を済ませてから代入します。

同じ温度でオームの法則が成立する範囲ではV = RIです。VとIは導線の両端で対応して測った電圧と電流で、符号は電流方向の電位降下を正とします。原点を通る直線でも、軸の置き方で傾きの意味は変わります。縦軸V、横軸IならΔV/ΔI = Rで単位はΩです。縦軸I、横軸VならΔI/ΔV = 1/Rで単位はA/Vです。傾きの逆数を取る前に、単位を見れば取り違えに気づけます。

この直線関係を無条件に延長してはいけません。電流による発熱で導線の温度が上がれば、抵抗率は変わり得ます。一般に金属では温度上昇に伴って抵抗率が増える傾向がありますが、すべての材料や温度で同じ変化を仮定することはできません。測定点が曲線を描くとき、傾きが一定の抵抗を表すという扱いは成り立たず、曲がった原因もグラフだけでは確定しません。

基本例題：縦軸が電流の直線

均一な導線について、温度を一定に保ち、定常状態で両端の電圧Vと電流Iを測る模型を考えます。導線の長さは2.0 m、断面積は1.0×10⁻⁶ m²です。自作の測定点は(電圧V, 電流A) = (0, 0)、(2.0, 0.50)、(4.0, 1.0)で、測定範囲では原点を通る直線に乗ります。抵抗と抵抗率をそれぞれ有効数字2桁で求めてください。計算に物理定数は必要ありません。

図2のように縦軸がIなので、電圧を4.0 V変えたときの電流の変化1.0 Aから傾きを求めます。

傾き = 1.0 A/4.0 V = 0.25 A/V
R = 1/0.25 = 4.0 Ω
ρ = 4.0 Ω × 1.0×10⁻⁶ m²/2.0 m
ρ = 2.0×10⁻⁶ Ω・m

答えは4.0 Ω、2.0×10⁻⁶ Ω・mです。別の見方では、直線上の(2.0 V, 0.50 A)についてV/Iを取れば2.0/0.50 = 4.0 Ωです。元の条件へ戻すと4.0 Ωに0.50 Aを流した電圧は2.0 Vとなり、もう一方の点でも1.0 Aに対して4.0 Vです。抵抗率を戻してもρl/S = 4.0 Ωとなります。図2の線の急さは0.25 A/Vであり、4.0 Ωではありません。

原点を通る直線なら、原点と測定点を使って傾きを出せます。ただし、図の上で目分量の点を選ぶより、与えられた座標を用いる方が読み取りの根拠が明確です。電流をmAで読み取った場合はAに直すか、単位を保持したまま逆数を取ってΩへ換算します。数字だけを逆数にして単位を忘れると、倍率を間違えます。

長さを変えたときの直線

標準例題です。同一材質、同一断面積の均一な導線を同じ温度で測ったところ、自作の模型データとして長さlが0.50 m、1.50 m、2.50 mのとき、測定された抵抗は順に1.5 Ω、3.5 Ω、5.5 Ωでした。測定値は、導線の抵抗と長さによらない固定の抵抗の和に等しいとします。断面積は2.0×10⁻⁶ m²です。固定の抵抗と抵抗率を有効数字2桁で求めてください。

長さを2.00 m増やすと測定抵抗は4.0 Ω増えるので、傾きは2.0 Ω/mです。固定部分は差を取ると消えます。0.50 mの試料自身は1.0 Ωで、測定値との差は0.50 Ωです。よって固定の抵抗は0.50 Ωです。

ρ/S = 2.0 Ω/m
ρ = 2.0 Ω/m × 2.0×10⁻⁶ m²
ρ = 4.0×10⁻⁶ Ω・m

答えは0.50 Ωと4.0×10⁻⁶ Ω・mです。別解として、2つの測定値をR = al + bに代入してaとbを求めても同じです。元に戻すと各導線の抵抗は1.0 Ω、3.0 Ω、5.0 Ωで、固定の0.50 Ωを足せば与えられた3点に一致します。最初の点の抵抗1.5 Ωを長さ0.50 mで割ると3.0 Ω/mとなり、固定部分まで導線の性質に混ぜてしまいます。

この問題で固定抵抗と判断できるのは、その存在と一定性が条件として与えられたためです。実際の測定で切片が見えた場合、接触部分や計器の影響などを候補として調べますが、切片のみから原因や値の確実さを断定しません。直線の傾きが材料の抵抗率に対応するのも、試料の断面積と温度が揃い、付加的な寄与が長さに依存しない模型の中です。

断面積と直径を区別する

発展例題です。同じ温度の均一な導線AとBは同材質で円形断面を持ちます。Bの長さはAの3倍、直径はAの2倍です。Aの抵抗が8.0 Ωのとき、Bの抵抗を有効数字2桁で求めてください。端の付加抵抗は無視します。

直径が2倍なら半径も2倍で、断面積は4倍です。抵抗率が等しいので、比を取ると次のようになります。

R B/R A = (l B/l A) × (S A/S B)
R B/R A = 3/4
R B = 8.0 Ω × 3/4 = 6.0 Ω

答えは6.0 Ωです。別解では、Aと同じ太さで3倍の長さなら24 Ω、そこから断面積を4倍にすると6.0 Ωです。逆にBを長さ3分の1、断面積4分の1に戻すと、6.0 Ω × (1/3) × 4 = 8.0 Ωとなり、Aの条件に一致します。長さと太さを同時に変えた結果が増加するか減少するかは、倍率を両方確かめて判断します。

測定の設計と読み取れる範囲

測定を考えるときは、同じ材質と断面の導線で測定する長さを複数選び、それぞれについて対応する電圧と電流を記録します。実験は学校の指導の下で行い、機器の定格を守ります。電流計と電圧計はそれぞれ適切な接続で用い、導線に加わる電圧と導線を通る電流が対応しているかを確認します。温度が変わりにくい条件を選び、測定の順序や時間も記録します。

各長さのV-Iグラフが測定範囲で直線か確かめてから、その傾きで抵抗を比較します。次に抵抗を縦軸、長さを横軸として描くと、傾きはρ/Sです。測定点がばらつくときは、離れた2点の読み取りだけで結論を固定せず、全体の並びと読み取りの幅を見ます。測定点を通るように原点へ無理に線を引くと、切片の情報を失います。

電流を大きくした後に同じ電圧で電流が小さくなった場合、温度上昇による抵抗増加は候補です。しかし接触状態の変化や計器の読み取りなども考えられます。条件を戻して再測定し、温度や接触を調べる必要があります。観測した電圧の範囲の外では直線が続くという保証はなく、測定を延長した推定と観測値を区別します。切片の有無はモデルを問い直す手がかりであり、それだけで原因を確定する札ではありません。

誤答をどこで直すか

図3のように、縦軸I、横軸Vの直線で傾きをRとする誤答は、増加量を割る順番が軸と逆です。例えば電圧が増えて電流が大きく増えるほど、同じ電圧に対するV/Iは小さくなります。ΔI/ΔVの単位はA/Vなので、抵抗の単位Ωとは逆の関係です。軸と単位を書き添えてから逆数を取れば修正できます。

図3の横軸と縦軸を入れ替えると、同じ測定点から得られる傾きは逆数になります。軸が変わっても導線自体の抵抗が変わるわけではありません。また、原点を通らない直線では、1点の縦座標を横座標で割っても直線の傾きにはなりません。2点の座標の差を使い、切片を分けます。

直径の倍率を断面積の倍率とする誤答も別の型です。円の面積は半径の2乗に比例しますから、断面図を描いて面積比を先に出します。さらに、温度が変わった2本の抵抗の差をすべて長さの違いに帰すこともできません。材質、温度、形状の条件をそろえ、変えた量と固定した量を分けてから式に入れます。

練習：条件を変えて読む

次の5問は独立した自作問題です。均一な導線を定常状態で扱い、温度は指定された範囲で一定、端の付加抵抗は特記のない限り無視します。数値は有効数字2桁で答え、必要な単位を付けてください。計算に物理定数は必要ありません。

1. 同材質、同温度で断面積が等しい線PとQがあります。Qの長さはPの4倍で、Pの抵抗は3.0 Ωです。Qの抵抗を求めてください。
2. 円形断面の同材質の線があります。長さを変えず、半径を元の3倍にした線の抵抗は元の抵抗の何倍ですか。分数で答えてください。
3. 電圧を縦軸、電流を横軸にした直線が原点と(0.30 A, 1.8 V)を通ります。抵抗を求めてください。
4. 縦軸を電流、横軸を電圧とした原点を通る直線上で、電圧6.0 Vに対し電流0.20 Aです。抵抗を求めてください。
5. 断面積3.0×10⁻⁶ m²の線について、長さ1.0 mと3.0 mの測定抵抗がそれぞれ3.0 Ω、7.0 Ωです。測定抵抗は線自身の抵抗と長さによらない固定抵抗の和です。固定抵抗と抵抗率を求めてください。

答えと途中の確認

1. 抵抗は長さに比例するので、3.0 Ω × 4 = 12 Ωです。12 Ωの線を同じ断面のまま4分の1の長さにすると3.0 Ωに戻ります。

2. 断面積は9倍なので抵抗は1/9倍です。逆に断面積を9分の1に戻せば、抵抗は9倍になり元の値に戻ります。半径の倍率と面積の倍率を別に書くのが要点です。

3. 縦軸が電圧なので、傾きは1.8 V/0.30 A = 6.0 Ωです。0.30 Aを6.0 Ωに流すと1.8 Vとなり、与えられた点に戻ります。

4. 傾きは0.20 A/6.0 V = 1/30 A/Vです。抵抗はその逆数の30 Ωです。30 Ωに6.0 Vを加えれば0.20 Aとなり、電流の条件と一致します。

5. 抵抗の増加4.0 Ωを長さの増加2.0 mで割り、傾きは2.0 Ω/mです。1.0 mの線自身は2.0 Ωなので、固定抵抗は3.0 Ω − 2.0 Ω = 1.0 Ωです。抵抗率は2.0 Ω/m × 3.0×10⁻⁶ m² = 6.0×10⁻⁶ Ω・mです。3.0 mでは線が6.0 Ω、固定分を足して7.0 Ωとなります。

覚えておくこと

• 一定温度の均一な導線ではR = ρl/Sです。
• V-I図の傾きはR、I-V図の傾きは1/Rです。
• 切片がある直線の傾きは2点の差から求めます。
• 温度や測定範囲が変われば直線の外挿は再検討します。

手が止まる場所を見分ける

式は覚えていても、縦軸と横軸を入れ替えた途端に答えが変わる場合は、傾きの単位を声に出して確認します。A/VとΩを並べ、同じ電圧に対して電流が大きい導線の抵抗を比べると、式の向きと物理的な意味がつながります。直径を使う問題で迷う場合は、円の半径と断面積の比を図に書いてから、長さの比を掛けます。

個別指導で確かめる箇所は、計算結果だけではありません。測定点の2点を選んで差を取り、切片を説明できるか、さらに求めた抵抗を元の電圧と電流に戻せるかを見ます。温度一定という条件が外れたときに、直線を延ばす前に何を調べるかも言葉にします。軸、単位、測定条件をそろえると、グラフの傾きは導線の性質を読み取る根拠になります。