高校地理 図形表現図の面積—数量と円の半径の関係から大小の読み違いを直す｜武蔵野個別指導塾

数量が倍の円を描くときの半径を例題で考えます。鍵は図形表現図の面積です。

よくあるのは、高校生が数量が倍なら円の半径も倍にしてしまう場面です。大きい数量を大きい円で示す方向は合っていますが、何を数量に比例させるかを見落としています。半径を倍にすると円の面積は4倍です。凡例が面積で数量を表す約束なら、描いた円は2倍ではなく4倍の数量を意味してしまいます。円の広さと半径の長さを分けて、資料の約束から確かめましょう。

問われるのは何の比か

図形表現図は、場所に対応させた図形の大きさなどで数量を表す統計地図です。円を使う資料では、まず凡例や説明を読み、数量に比例するのが面積なのか、別の量なのかを確認します。円が大きいという見た目だけで、比例する対象を決めてはいけません。以下では、円の面積を数量に比例させるという条件を明示した場合を扱います。

問題の型には、数量の比から半径の比を求めるものがあります。逆に半径が示されている円を比べ、面積から数量の比を答えるものもあります。さらに、描かれた円が条件に合うか判定し、誤りの理由と修正を示す問題も考えられます。どの型でも、半径と面積をつなぐ段階を飛ばさないことが判断の要です。

図形の位置や色、円の内部の分割にも別の意味が与えられることがあります。それらは資料ごとの凡例で確かめます。円の面積の比較だけから、数量の増減の原因や、円が置かれた範囲の内部の分布までは決められません。図形の比較と、地域の事情を説明することは別の作業です。

面積を媒介にして半径を見る

円の面積は、半径×半径×円周率です。2つの円を同じ約束で描くとき、円周率は共通なので、面積の比は半径の比をそれぞれ2乗した比になります。数量に面積が比例する条件では、数量の比と面積の比が一致します。つまり、数量比から直ちに半径比へ移るのではなく、面積比を挟みます。

図1のように、半径が1対3なら、面積は1対9です。ここでの1と3は長さの比であり、1と9は面積の比です。数が同じ形式で並んでいても、何を比べているかを言葉で添えると取り違えを防げます。

図1の関係を逆に読むこともできます。面積が1対9なら、半径は正の長さですから1対3です。一般に面積をk倍にするとき、半径はその正の平方根倍にします。数量が2倍なら半径は2倍ではなく√2倍です。√2を無理に整数にせず、そのまま比として表してよいかは問題の指定に従います。

この関係は、両方の円について面積を同じ割合で数量に対応させるときに成り立ちます。片方は半径を数量に比例させ、もう片方は面積を比例させる、といった異なる約束では比較できません。また、直径の比は半径の比と同じですが、円周の比も面積の比とは異なります。どこを測った長さかも記録しておきます。

凡例がない、あるいは円の寸法が読み取れない場合には、正確な数量比を決められないことがあります。概略の大小と、根拠をもつ倍率は分けて述べます。数量が0の扱いや、円が重なった場合の表示方法も、資料の説明がなければ勝手に補いません。

面積比例の資料でも、比較する図形の形や尺度がそろっていることを確かめます。たとえば円と正方形が混在するなら、半径どうしを比較する手順は使えません。面積をそれぞれ求めるための寸法と、共通の凡例が必要です。円どうしでも、別の資料から切り出した図形を、同じ尺度だと決めつけないようにします。

紙面の拡大や縮小にも気を配ります。すべての円が同じ倍率で拡大されれば、半径の比は変わらず、面積の比も変わりません。しかし一方だけを拡大した図形を混ぜれば、元の面積比は失われます。比較の対象が同じ資料に属するか、加工の条件がそろっているかを見てから計算します。

基本例題：円を描く前に比を置く

次の条件は数学の練習のための与件で、観測値ではありません。数量Aを表す円の半径は2 cm、数量BはAの4倍です。円の面積を数量に比例させます。Bの円の半径をcm単位の整数で求め、Aに対する面積比を示してください。

図2のように、Aの半径を基準にして、面積比からBの半径を求めます。円の位置は比較のための並びであり、地図上の地点を表していません。

与件：Bの数量はAの4倍で、面積を数量に比例させます。

単位：求める半径はcm、面積の比は単位のない比です。

根拠：Bの面積もAの4倍になり、半径の比を2乗すると面積の比になります。

操作：4は2の2乗なので、半径は2倍です。2 cm×2で4 cmです。

答案：Bの半径は4 cm、面積比はA対Bで1対4です。

場面への戻し：半径2 cmと4 cmの円の面積はそれぞれ4π cm²と16π cm²です。16πを4πで割ると4となり、与えられた数量の4倍に戻ります。

円を描くときはコンパスの開きが半径なのか直径なのかにも注意します。直径が4 cmの円をBとして描けば、半径は2 cmでAと同じ面積になります。計算の答えを作図の操作に移す段階でも、指定された長さを確かめます。

なお、面積が4倍という結論は、半径が4倍という意味ではありません。もし半径を4倍の8 cmにすると、面積は16倍です。数量の倍率を半径にそのまま掛ける誤りは、求めた円を元の数量へ戻すと見つかります。

標準と発展：逆向きの読みと条件の点検

標準例題

自作の条件です。円Pと円Qは面積を数量に比例させ、共通の基準で描いています。Pの半径は3 cm、Qの半径は6 cmです。Pの数量を5単位とすると、Qの数量は何単位ですか。整数で答え、数量比もP対Qの順に示してください。

半径比は3対6、すなわち1対2です。面積比はそれぞれを2乗して1対4になります。同じ比例の基準なので数量比も1対4です。Pが5単位ならQは5×4で20単位です。

答えを元に戻すと、20単位は5単位の4倍です。半径3 cmと6 cmの面積も9π cm²と36π cm²で、後者は前者の4倍です。両方向の比が一致するので、与件を満たします。半径の差が3 cmという情報だけでは数量の差を直接計算できず、面積を経由する必要があります。

発展示例題

同じ比例の基準で描く円Rと円Sについて、Sの数量はRの3倍という自作条件を考えます。Rの半径は4 cmです。Sの半径を根号を用いてcm単位で答え、半径を12 cmにした案が適切か、面積比を根拠に説明してください。

Sの面積はRの3倍です。半径をRの何倍にするかを考えると、2乗して3になる正の数は√3です。したがってSの半径は4√3 cmです。半径12 cmの案はRの3倍の長さなので、面積は9倍になり、数量3倍の条件に合いません。

戻して確かめると、Rの面積は16π cm²、Sの面積は4√3を2乗して48π cm²です。48πは16πの3倍です。一方、12 cmの円は144π cm²であり、16πの9倍です。図にしたときの見た目が十分大きいかどうかではなく、対応する面積が指定の倍率かどうかで判定します。

数量の比が正の平方数でないとき、半径は整数にならない場合があります。近似値を使った作図では、描いた線からの読み取りにも誤差が入ります。問題が正確な比を求めるなら根号のまま答え、概数が求められた場合は指定された桁で丸めます。資料の円から読み取った寸法だけで、元の数量の厳密な値まで主張しないことも必要です。

誤答を戻して直す

数量が2倍の円について「半径も2倍」とした答案を考えます。原因は、数量と円の大きさがともに増えることを、数量と半径が同じ倍率で増えることに置き換えた点です。増える向きが合っていても、倍率まで合っているとは限りません。

図3のように、半径を2倍にした案では面積が4倍になります。面積を数量に比例させる条件に戻すと、表したかった2倍と一致しません。修正は、面積比を1対2と先に書き、半径比を1対√2とすることです。√2を2乗すれば2になり、元の条件へ戻ります。

もう一つの誤りは、半径比を面積比に直す際、差を2倍することです。たとえば半径の比が1対4なら、面積比は1対16です。差を2倍しても面積の倍率にはなりません。長さの倍率を2回掛けると考え、両方の面積を式に戻して確認します。

問題文が面積比例を指定していない場合、同じ計算を答案の前提にすることも危険です。半径比例の凡例なら、半径比がそのまま数量比になります。凡例が欠けていれば、どちらとも決めず、必要な条件を指摘します。間違った計算を直す前に、そもそも計算を始められる資料かを点検することが大切です。

練習：条件を読んでから答える

次の5問の数値は、円と数量の関係を考えるための数学的な与件です。実際の観測統計ではありません。問1から問4は、それぞれの設問内の円が同じ基準で描かれ、円の面積が数量に比例するとします。

1. 円Aの半径は1 cmです。数量がAの9倍の円Bの半径を、cm単位の整数で求めてください。
2. 円Cと円Dの半径はそれぞれ2 cm、10 cmです。数量比をC対Dの順に整数の最も簡単な比で示してください。
3. 円Eの数量は12単位、円Fの数量は3単位です。Eの半径が6 cmのとき、Fの半径をcm単位の整数で求めてください。
4. 円Gの数量を基準にすると、円Hの数量は5倍です。Hの半径をGの半径の何倍にするか、根号を用いて答えてください。半径を5倍にする案が条件に合わない理由を「面積」「25倍」を用いた1文で述べてください。
5. 2つの円について、片方の半径はもう片方の3倍ですが、数量と図形の対応を示す凡例がありません。数量の比を1対9と断定できるか答え、「凡例」「面積」を用いて理由を1文で述べてください。

解答と確かめ

問1：3 cmです。数量比が1対9なので面積比も1対9、半径比は1対3です。1 cmと3 cmの面積はπ cm²と9π cm²で、BがAの9倍という条件に戻ります。9 cmとすると面積は81倍になり、与件から外れます。

問2：1対25です。半径比2対10を1対5に直し、それぞれを2乗します。円CとDの面積は4π cm²と100π cm²で、100πを4πで割って25です。採点では、長さの5倍を数量の5倍とせず、面積を経由した比であることを確認します。

問3：3 cmです。数量比をE対Fで12対3、つまり4対1とします。面積も4対1ですから半径は2対1です。Eが6 cmならFは3 cmです。面積は36π cm²と9π cm²で4対1となり、12単位対3単位に戻ります。逆順にすると半径を大きくしてしまうので、比の順序を記してから計算します。

問4：√5倍です。半径の倍率を2乗すると面積の倍率になるため、√5を2乗して5に戻ります。理由の例は「半径を5倍にすると面積は25倍になり、数量5倍に対応しないためです」です。採点では正の平方根と、誤案の面積倍率の両方を確かめます。

問5：断定できません。理由の例は「凡例がなく、数量を円の面積に比例させるか決められないためです」です。半径が3倍なら面積は9倍ですが、それが数量比と一致するには面積比例という条件が必要です。半径比例という別の約束なら数量比は1対3です。採点では、面積比を求められることと、数量比を断定できることを区別します。

手元に残す要点

• 凡例で数量に対応する量を確かめます。
• 面積比例なら、数量比と面積比は同じです。
• 半径の倍率を2乗すると面積の倍率です。
• 面積の倍率から半径を求めるときは正の平方根を使います。
• 答えを面積へ戻し、元の数量比と照合します。

どこで止まったかを見分ける

個別指導で確かめる際には、最初に凡例を指して、何が数量に対応するかを本人の言葉で説明してもらいます。そこで迷うなら計算を急がず、半径と面積の区別に戻ります。凡例を読めていても答えがずれる場合は、比の順序、2乗と平方根のどちらを使うか、単位を順に見ます。

式が合っていても、答えの半径を図に移すとき直径と混同する場合があります。実際に半径を示し、できた円の面積比を元の条件に戻して説明できるか確かめます。根拠のない数量比を断定しない判断も含めて、円の広さが表す意味を読み取ります。