高校地理 統計表の増減率—差と比率と指数を区別して基準の取り方を確かめる｜武蔵野個別指導塾

同じ増加量でも基準が異なれば率が変わります。差と指数の計算から、比較の条件まで読み解く増減率です。

よくあるのは、高校生が2つの数列を見て、増加量が同じなら増加率も同じと答える場面です。増えた数が同じという観察は合っています。しかし、その増加を何に対する割合として表すかが抜けています。もとの数が小さい場合と大きい場合では、同じ増加量が占める割合は変わります。差、率、指数をそれぞれ何と比べた数かまで戻して読みましょう。

比較で問われる3つの判断

表の前後の値から増減を読む問題では、まず何を答えるよう求められたかを見ます。差は同じ単位のまま増えた量や減った量を表し、増減率は基準の値に対する変化の割合を表します。指数は、選んだ基準の値を100として別の値を換算した数です。同じ2つの値から求められても、3つの答えは別の問いに対応します。

1つ目の型は、増えた量と増加率の大小を比べる問題です。差が同じで基準が異なれば率は異なります。反対に、率が同じでも基準が異なれば増加量は異なります。表の数字に飛びつく前に、比べる2つの時点とそれぞれの基準を印で結びます。

2つ目は、指数を読み直す問題です。基準時点を100にするため、指数120は基準時点の1.2倍を意味します。指数そのものが増加率120%を意味するわけではありません。値が基準よりどのくらい変化したかは、指数と100の差で読みます。

3つ目は、計算できる条件や結論の範囲を確かめる問題です。基準が0なら通常の増減率は求められません。対象や単位が異なる表を、そのまま時間変化の証拠にすることもできません。以下の数は計算のために問題文で与えた条件で、地域の観測値や実在の年次統計ではありません。

差・増減率・指数の役割

図1のように、同じ前後の値から3つの量を取り出せます。基準をどこに置くかで割り算の分母が決まります。増減量は「比較する値 − 基準の値」、増減率は「増減量 ÷ 基準の値 × 100」、指数は「比較する値 ÷ 基準の値 × 100」です。率には%を付け、指数は基準を100とする数として示します。

図1の3段は別々の見方です。差の単位は元の数量と同じですが、率と指数は基準に対する比なので元の数量の単位を付けません。減った場合は差と増減率が負になります。例えば計算結果が-15%なら、基準に対して15%減ったことです。減少率として正の数で答えるよう指定されたときは「15%減」と表します。

基準の値が正のとき、比較する値 ÷ 基準の値は1に増減率を小数で表した数を足したものです。したがって、指数は100に増減率の数値を足したものになります。指数が100より大きいと増加、100より小さいと減少、100なら変化なしです。指数が90から110に変わった場合、その差は20指数ポイントですが、90を基準にした増加率は20 ÷ 90 × 100です。20%と即答する前に、どの基準を尋ねられたかを確かめます。

基準を変えると、同じ変化にも別の率が対応します。基準から比較先への増加率と、比較先から基準への減少率は分母が違うため、通常は大きさが一致しません。増えた後の値から元へ戻すとき、増加率と同じ割合を引いても元には戻らないことがあります。掛ける相手まで書くと誤りを見つけやすくなります。

指数の基準も固定とは限りません。異なる基準を100とした2つの指数をそのまま並べ、大小を実数値の大小と見なすことはできません。共通の時点の指数が両系列にあり、その値が0でなく、対象・指標などの条件も一致するなら、同じ時点を100に換算して比較できます。共通のつなぎ目がないときは、数値だけから換算の倍率を決められません。

計算に入る前には、表題や注記から対象、単位、時点、指標の定義を確かめます。例えば対象範囲が途中で変わった表では、数字の差に対象の変更が混ざる可能性があります。資料だけで変更の影響を取り除くことはできません。率の大きさから変化の原因まで言い切ることも避けます。

基本例題：同じ増加量を比べる

次の値は計算の条件として与えた数です。ある指標の値が、系列Aでは40から60、系列Bでは100から120に変わりました。いずれも単位は点とします。各系列の増加量を点、増加率を%で求め、増加率が大きい系列を答えてください。小数が出る場合は小数第1位まで示します。

図2では増加した幅を同じ長さで示し、その幅をそれぞれの出発点と比べます。棒の長さは共通の尺度なので、もとの値の違いにも注目できます。

与件：Aは40点から60点、Bは100点から120点です。どちらも前の値を基準とします。

単位：差には点を付けます。率は基準に対する割合なので%で表します。

根拠：増加量は後の値から前の値を引き、増加率は増加量を前の値で割ります。AとBの分母を取り違えないことが判断の要です。

操作：Aの増加量は60 − 40で20点、増加率は20 ÷ 40 × 100で50%です。Bの増加量は120 − 100で20点、増加率は20 ÷ 100 × 100で20%です。

答案：増加量は両方20点、増加率はAが50%、Bが20%で、Aの方が大きいです。増えた量が等しくても、その量を割る前の値が異なるためです。

場面への戻し：Aは40点の50%が20点で、40点に加えると60点です。Bは100点の20%が20点で、100点に加えると120点です。両方とも元の後の値に戻るので、率と基準の対応を確認できます。

図2の幅だけを見れば差は等しいと判断できますが、率まで等しいとは決められません。率は増加幅を基準の全体と比べた数だからです。逆に後の値を分母にして20 ÷ 60を計算すると、60点のうち増加分が占める割合になります。これは問いが指定した前の値からの増加率とは異なります。

標準と発展：基準を動かして読む

標準例題：減った後から戻す

計算条件として、ある指標が80点から60点に変わり、その後80点に戻ったとします。最初の減少率と、その後の増加率を、それぞれ直前の値を基準に%で求めてください。小数第1位を四捨五入して整数で示し、丸める前の分数も書きます。

最初は80点を基準にして20点減ったので、減少率は20 ÷ 80で1/4、25%です。次は60点を基準にして20点増えたので、増加率は20 ÷ 60で1/3、約33%です。減少率と増加率の分母を入れ替えると、それぞれ別の問いに答えることになります。

戻して点検すると、80点からその1/4の20点を引けば60点です。60点にその1/3の20点を足せば80点です。約33%を使うと丸めのため厳密には元の値にならないので、検算には丸める前の1/3を使います。「25%減った後に25%増えれば元通り」とすると、60点の25%は15点なので75点にしかなりません。

発展例題：指数の基準をそろえる

同じ指標・対象・単位で測った正の値について、時点Pを100とする指数が、Pで100、Qで120、Rで150です。Qを100とする指数でPとRをそれぞれ表してください。答えは整数で示し、PからRへの増加率と、QからRへの増加率も区別して%で答えます。数は計算のための与件です。

Pを基準とする指数の120は、Qの実際の値がPの1.2倍という意味です。同じ尺度のままRとQを比べると150 ÷ 120で1.25倍です。よってQを100にしたRの指数は125です。Pは100 ÷ 120 × 100で、分数では250/3、整数に丸めると83です。Q自身は120 ÷ 120 × 100で100になります。

PからRへの増加率は、Pを100とした指数の差150 − 100から50%です。一方、QからRへの増加率は、Qに対するRの比が1.25なので25%です。同じRを見ても起点が違うため答えは変わります。

確かめるには丸める前の指数を使います。Qの実際の値を任意の正の数として、Pはその5/6倍、Rは5/4倍です。するとPに対するQの比は6/5、Pに対するRの比は3/2となり、与えられた120と150に戻ります。指数がわかっても、もとの値の単位を伴う実数値そのものは、この条件だけでは決まりません。

基準の値が0だったら、この換算の割り算は成立しません。後の値が正なら差は求められても、0を分母とする増加率や、0を100とした通常の指数は定義できません。基準の値自体が不明な場合も率は決められません。表に空欄があるときは、勝手に0を代入せず、表の注記を調べます。

誤答から分母を直す

図3は基本例題で起こりやすい誤答の経路です。AとBはいずれも20点増えたので、「どちらも50%」とする答えは、Aで使った40点をBにも流用しています。図3では基準と増加量を分け、各系列に対応する割り算を示しています。

原因は、増えた部分だけに目が向き、その部分がもとの全体の何割かを確かめていないことです。修正するときは、まず系列ごとに矢印の出発点に印を付けます。次に増加量をその系列の出発点で割り、最後に出た割合を出発点に掛け戻します。Bでは20%を100点に掛けて20点となり、後の120点に戻ります。

別の誤りは指数120を「120%増」と読むことです。指数120にはもとの100に相当する部分が含まれています。増加した部分は120 − 100の20なので、基準から20%増です。もし120%増なら、基準の2.2倍で指数は220になります。指数と増減率のどちらを問われているか、答案の語尾まで確認しましょう。

率の計算ができても、資料の条件が異なれば時系列の変化としては読めません。例えば測る対象が途中で変わったと注記にある場合、同じ単位の数字が並んでも、それを同一対象の増減と断定する根拠は不足します。注記を確認して比較の可否を答えることも、資料を読む操作の一部です。

練習問題

次の5問の数値は、いずれも計算のために与えた条件です。実在の観測値ではありません。問題を一通り考えてから、後の解答で分母と根拠を照合してください。

1. ある指標が30点から45点になりました。増加量を点、前の値を基準とする増加率を%で整数として求めてください。
2. 別の指標が200点から150点になりました。前の値を基準とする減少率を正の整数の%で求め、後の値から前の値への増加率も%で求めてください。後者は小数第1位を四捨五入して整数とし、丸める前の分数を併記してください。
3. 同じ指標の指数が、時点Sを100としてSは100、Tは80、Uは96です。Tを100としたUの指数と、TからUへの増加率をそれぞれ整数で求めてください。元の値の単位を伴う数量がこの情報だけで決まるかも答えてください。
4. 値が0点から12点へ変わりました。差を点で求め、前の値を基準とする通常の増加率を求められるか答えてください。「分母」「0」を使い、理由を1つ書いてください。
5. ある表は前の時点が18点、後の時点が27点ですが、注記には後の時点から対象範囲が変わったとあります。この数の差を点で求めたうえで、同一対象の増加率と断定できるか答えてください。「対象」「注記」を使い、理由を1つ書いてください。

解答と考え方

1. 増加量は45 − 30で15点、増加率は15 ÷ 30 × 100で50%です。30点の50%は15点なので、足すと45点に戻ります。後の45点を分母にすると問いの基準が変わるため、採点では30点を分母にできたかが要点です。

2. 減少量は200 − 150で50点、減少率は50 ÷ 200 × 100で25%です。戻るときは150点が基準なので、増加率は50 ÷ 150で1/3、約33%です。200点からその1/4を引けば150点、150点にその1/3を足せば200点となります。同じ50点でも、前後で率が違うことを確認できます。

3. Tを100とするUの指数は96 ÷ 80 × 100で120、増加率は20%です。Tを基準とする比は1.2なので、Tの値に1.2を掛ければUの値です。例えばSの値を任意の正の数とすると、Tはその0.8倍、Uは0.96倍で、両者の比は1.2に戻ります。もとの単位を伴う数量は決まりません。指数は比を示すため、Sの実際の値が必要です。

4. 差は12 − 0で12点です。通常の増加率は求められません。分母が0となり、割り算が定義できないからです。差が12点であることと、率を求められないことは両立します。理由に、単に「増えたから」ではなく分母が0であることを書けたかを確認します。

5. 表の数値の差は27 − 18で9点です。しかし同一対象の増加率とは断定できません。注記に対象範囲が変わったとあるため、差には対象変更の影響が含まれ得るからです。18を分母に9を割ること自体はできますが、その数に同一対象の増加率という意味を与える根拠はありません。答案では計算上の差と比較上の限界の両方を示します。

手元に残す要点

差は後の値から基準の値を引いた量です。 増減率は差を基準の値で割った割合です。 指数は基準の値を100として別の値を表します。 分母が0のとき、通常の率やその基準の指数は求められません。 比べる前に対象・単位・時点・指標の定義を確かめます。

つまずいた場所を探す

答えが合わないときは、まず表に2本の矢印を書き、各矢印の出発点を分母に選んだかを確かめます。差は合って率が違うなら分母、指数は合って増減率が違うなら100との差を見る段階に戻ります。数式が正しくても比較の結論が強すぎるなら、対象や単位の注記を読み直します。

個別指導では、答えだけでなく「どの値に割合を掛けるか」を声に出し、掛け戻した数が問題の後の値に一致するかを確認します。0を基準にした場合には計算を進めず、なぜ割れないかを自分の言葉で説明します。増減率は、出発点を明らかにして初めて意味を持ちます。