高校物理 原子 電子の加速と電子ボルト—電位差と運動エネルギーの単位を対応させる｜武蔵野個別指導塾

静止した電子を電位差で加速するとき、速さの平方根の関係と初速がある場合の収支をたどり、単位も整理する電子の加速。

よくあるのは、高校生が加速電圧を上げたとき、電子の速さも同じ倍率にするという場面です。電圧を4倍にしたら速さも4倍でしょうか。電子が受け取るエネルギーは4倍ですが、運動エネルギーは速さの2乗に比例します。出発時の運動エネルギーがあるかどうかでも答えは変わります。電位差による仕事を先に書けば、速さと単位の混乱をほどけます。

どの量の倍率を聞かれているか

出方の1つは、静止した電子をある電位差で加速し、得た運動エネルギーをジュールまたは電子ボルトで答える問題です。電圧の数値と電子ボルトの数値が一致する場面がありますが、量の種類まで同じになるわけではありません。電圧の単位はV、エネルギーの単位はeVです。

次は、電圧を変えたときの速さの比を問う問題です。出発時の速さが0なら、運動エネルギーの比は電圧の比になり、速さの比はその平方根です。例えば電圧が9倍なら速さは3倍です。電子の質量が変わらず、通常の運動エネルギーの式を使える条件で比べています。

さらに、初速がある電子の到着時の速さを問う形があります。このとき電圧に比例するのは運動エネルギーの増加分です。到着時の運動エネルギー全体を電圧に比例させると、出発時の分を失ってしまいます。どの形でも、始点と終点を決め、電子が加速される向きに動くことを確認してから式を立てます。

電位差が渡すエネルギー

電気素量の大きさをe、電子の質量をmₑとします。電子の電荷は-eです。電位を出発点から到着点へVだけ高くし、Vを正の値とすると、電位エネルギーUの変化は次のようになります。

ΔU = (-e)V
ΔU = -eV

電位エネルギーがeVだけ減るので、電気力以外の仕事を無視すれば、電子の運動エネルギーKはeVだけ増えます。ここでのeVは記号eと電位差Vの積です。図1のように、負の電荷をもつ電子は高い電位の側へ進むとき加速されます。電位の高低と電子の電位エネルギーの高低は逆です。

図1の左右は出発点と到着点を表し、曲線を描く装置の寸法を示していません。電気力の仕事をWとすると、W = -ΔU = eVです。電子を含む系のエネルギー収支として書くなら、KとUの和が一定です。途中の電場の形が異なっても、他の仕事や損失がなく、同じ電位差を通ればKの増加は同じです。

電子ボルトはエネルギーの単位です。1個の電子が1 Vの電位差を加速方向に通過するときに得るエネルギーを1 eVと定義します。1 V = 1 J/Cなので、電気素量をe = 1.60×10⁻¹⁹ Cと近似すれば、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ Jです。たとえば2.0 eVは3.2×10⁻¹⁹ Jであり、2.0 Vという電位差そのものではありません。数式のeVが積なのか、数値の後のeVが単位なのかは文脈で読みます。

電子の速さをvとし、光速に比べ十分小さい範囲ではK = mₑv²/2を使えます。静止からならmₑv²/2 = eVです。vは負でない速さですから、v = √(2eV/mₑ)を選びます。電圧を大きくし続けた場合までこの式を無条件に延長することはできません。速さが光速に近づく領域ではこの運動エネルギーの近似を見直す必要があります。

基本例題：静止からの到着

静止電子を加速方向の電位差100 Vで進めます。他の仕事や損失を無視し、e = 1.60×10⁻¹⁹ C、mₑ = 9.11×10⁻³¹ kg、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J、光速を3.00×10⁸ m/sと近似します。得た運動エネルギーをJとeV、速さをm/sで、それぞれ有効数字3桁で求めてください。

図2のように始点のKは0です。到着点までの電位差を正の100 Vと取り、電気力がした仕事を運動エネルギーに移します。

K - 0 = eV
K = (1.60×10⁻¹⁹ C)・(100 V)
K = 1.60×10⁻¹⁷ J
K = 100 eV
mₑv²/2 = 1.60×10⁻¹⁷ J
v² = (2・1.60×10⁻¹⁷)/(9.11×10⁻³¹) m²/s²
v = 5.93×10⁶ m/s

図2の100 eVは到着時のエネルギー、100 Vは通過した電位差です。速さを光速と比べると約0.0198倍で、ここでは非相対論的な式を使う近似が妥当です。丸め前の速さをmₑv²/2に戻すと1.60×10⁻¹⁷ Jとなり、電位差による仕事に一致します。途中で電子の電荷を負のまま仕事に代入する場合は、電位エネルギーの変化に負号を付けてから仕事に直します。

標準例題：グラフから電圧と速さを比べる

同じ電子を毎回静止から出発させ、損失を無視します。加速電圧を25 V、100 V、225 Vとしたとき、速さの比を整数比で求めてください。また、横軸をV、縦軸をv²とするグラフの形と傾きを、eとmₑを用いて答えてください。非相対論的な範囲とします。

mₑv²/2 = eV
v² = (2e/mₑ)V
v²の比 = 25 : 100 : 225
vの比 = √25 : √100 : √225
vの比 = 1 : 2 : 3

縦軸v²、横軸Vなら原点を通る直線で、傾きは2e/mₑです。縦軸の単位はm²/s²、横軸の単位はVなので、傾きの単位はm²/(s²・V)です。縦軸をvに変えると直線ではなく、電圧が大きくなるにつれて傾きが小さくなる曲線です。軸を確かめずに同じ形を描くと、倍率の読み取りが変わってしまいます。

逆向きにも確かめます。速さの比1 : 2 : 3を2乗すると、運動エネルギーの比は1 : 4 : 9です。与えられた電圧25 : 100 : 225も1 : 4 : 9なので、静止から得た仕事の比と一致します。速さの比を4 : 16 : 36にする必要はありません。

発展例題：初速と測定値の切片

電子が加速領域に入る時点ですでに運動エネルギー40 eVをもちます。加速方向の電位差をそれぞれ50 Vと210 Vにしたとき、出口の運動エネルギーをeVで、出口の速さの比を簡単な整数比で求めてください。損失を無視し、非相対論的な範囲とします。

K₁ = 40 eV + 50 eV
K₁ = 90 eV
K₂ = 40 eV + 210 eV
K₂ = 250 eV
v₁² : v₂² = 90 : 250
v₁ : v₂ = 3 : 5

電圧の比は5 : 21ですが、速さの比を√5 : √21としてはいけません。50 Vと210 Vが決めるのはそれぞれの増加分です。答えから出発時の40 eVを引くと50 eVと210 eVに戻り、各電圧による仕事と合います。別解では出口の速さの2乗を加速前の速さの2乗と増加分に分けます。後者は電圧に比例し、前者は両条件に共通です。

v₁² = v₀² + 2e・50/mₑ
v₂² = v₀² + 2e・210/mₑ
mₑv₀²/2 = 40 eV
v₁² : v₂² = (40 + 50) : (40 + 210)

数値40、50、210の足し算は、それぞれをeV単位のエネルギーとして表した上で行っています。電圧の数字を単位なしでエネルギーに足しているのではありません。

この関係を確かめる測定の設計では、学校の指導の下で装置の模式図と測定資料を扱います。加速電圧を変える一方、電子の出発条件と測定方法を一定にし、各電圧で速さの2乗を縦軸に取ります。理想的には傾きが2e/mₑ、縦軸切片がv₀²の直線です。切片が0でなければ初速の可能性がありますが、電圧のゼロ点のずれや速さの測定誤差も切片を動かします。切片だけで原因を断定せず、ゼロ点の確認や繰り返し測定と比べます。

電圧の設定値と電子が実際に通過する電位差にずれがある場合、横軸の値にも誤差が生じます。電圧を変えても一定のずれが残るなら切片に影響し、倍率に応じたずれなら傾きにも影響します。測定資料では軸の単位と設定条件を併記し、推定した傾きがどの量に対応するかを確認します。

値が直線から外れる場合も、測定のばらつき、電子の出発条件の変化、損失、近似の限界を区別して調べます。たとえば衝突による損失があれば、電気力の仕事がそのまま電子の運動エネルギーの増加になりません。測定値の直線への近さだけで、損失がないと証明したことにもなりません。

間違いを収支へ戻す

図3のように、静止電子への電圧が4倍になったとき速さを4倍とする答えは、電圧と運動エネルギーが比例する関係を、そのまま速さに移した誤答です。速さを4倍にすると運動エネルギーは16倍なので、電圧4倍で与えられた仕事と合いません。図3の正しい経路では、エネルギーが4倍になった後に平方根を取り、速さを2倍にします。

もう1つの間違いは、負の電子が高い電位へ向かう場合にKの増加を負とすることです。原因は電位の変化と電位エネルギーの変化を同一視することにあります。ΔU = qΔφにq = -eを代入し、Kの増加は-ΔUだと書き直します。逆向きに進む電子は電気力から負の仕事を受け、十分な初期運動エネルギーがなければその電位差を通過できません。

また、100 Vと100 eVを同じ単位とする誤答もあります。電位差に電荷の大きさを掛けるとJになり、そのエネルギーをeVで表すと数値が100になる、という2段階に戻します。複数の電子が同じ条件を通過する場合、1個あたりの値と全体のエネルギーも分けます。

練習問題

各問は自作の条件です。電気力以外の仕事と損失を無視し、電子には非相対論的な式を使えるものとします。必要な場合はe = 1.60×10⁻¹⁹ C、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ Jと近似します。答えの数字は指定のない限り有効数字2桁とします。

1. 静止電子を加速方向に30 V進めます。得た運動エネルギーをeVとJで求めてください。
2. 静止電子の加速電圧を36 Vから144 Vに変えます。速さの比を簡単な整数比で求めてください。
3. 初めに20 eVの運動エネルギーをもつ電子を加速方向に60 V進めます。出口の運動エネルギーをeVで求めてください。
4. 静止電子を加速し、得た運動エネルギーが8.0×10⁻¹⁸ Jでした。加速電圧をVで求めてください。
5. 初めに75 eVの運動エネルギーをもつ電子が、減速方向に25 Vの電位差を通過します。通過後の運動エネルギーをeVで求め、通過が可能か答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. 30 eV、4.8×10⁻¹⁸ Jです。1個の電子が30 Vで受ける仕事を電子ボルトで表すと30 eVです。30・1.60×10⁻¹⁹ = 4.8×10⁻¹⁸ Jとなり、逆に1.60×10⁻¹⁹ Jで割ると30 eVに戻ります。
2. 1 : 2です。電圧の比は1 : 4で、静止からの運動エネルギーの比も1 : 4です。速さを2乗すると1 : 4に戻り、与えた電圧の比と一致します。
3. 80 eVです。出発時の20 eVに電気力の仕事60 eVを足します。出口から20 eVを引くと60 eVで、60 Vを加速方向に通過した仕事に戻ります。
4. 50 Vです。8.0×10⁻¹⁸ Jを1.60×10⁻¹⁹ Jで割ると50 eVです。静止から得たエネルギーが50 eVなので電圧は50 Vです。50 Vに電気素量を掛けると8.0×10⁻¹⁸ Jへ戻ります。
5. 50 eVで、通過可能です。減速方向では電気力の仕事が-25 eVなので、75 eVから25 eVを引きます。残りは正であり、到着時の50 eVに失った25 eVを足すと出発時の75 eVに戻ります。出発時のエネルギーが必要な減少分より小さい場合は、指定の終点まで届くとして負の運動エネルギーを書いてはいけません。

要点と、つまずきの見分け方

静止からの加速ではK = eV、速さは電圧の平方根に比例します。 初速があるときはKの増加分がeVです。 電子ボルトはエネルギーの単位で、Vは電位差の単位です。 減速では到着時のKが負にならないか確認します。 速さの式は非相対論的な範囲で用います。

速さの倍率を誤ったときは、まず「何が電圧に比例するか」を言葉にしてもらい、その量を速さの2乗へつなげられるかを確かめます。符号に迷う場合は、電位と電位エネルギーを別々に始点と終点へ書き、電子の負電荷を掛ける位置を見ます。個別指導では初速のある条件とない条件を並べ、計算後に仕事を引き戻せるかも確認します。電圧から速さまでの間には、運動エネルギーという橋がかかっています。