高校物理 原子 光子のエネルギーと個数—波長と光の出力から届く光子数を計算する｜武蔵野個別指導塾

同じ出力でも波長で毎秒の粒子数が変わる理由を、面積と時間の条件からたどる光子数の計算です。

よくあるのは、同じ出力の二つの光を見て、毎秒に届く光子の数も同じだと考える場面です。出力は1秒間に運ばれるエネルギーであり、粒の数そのものではありません。波長が違えば1個の光子のエネルギーも違うため、同じ総量を運ぶ粒の数は変わります。光がどの面を通るかも含めて、量のつながりを順にたどります。

問いの形を見分ける

まず、波長から1個の光子のエネルギーを求める問題があります。真空中の波長と振動数の関係を使い、単位をmに直してから計算します。次に、単色光の出力から毎秒の光子数を求める問題があります。出力を1個分で割りますが、光源の全出力と、途中の面を通る出力は同じとは限りません。

さらに、光の強さと受光面積から届く数を求める問題があります。強さが面全体で一様で、光が面に垂直に入るなら、強さに面積を掛けてその面を通る出力を得ます。数えたいのが1秒当たりか、ある時間内の総数かも読み取ります。単位を書けば、何を掛け何で割るかを点検できます。

光子1個と光全体を分ける

振動数をν、真空中の波長をλ、光速をc、プランク定数をhとします。光子1個のエネルギーEはE=hνです。真空中ではc=λνですから、ν=c/λを代入するとE=hc/λです。波長を2倍にすると振動数と1個のエネルギーはそれぞれ半分です。ここで使う波長は真空中の値です。媒質中の波長をそのまま真空中のcと組み合わせてはいけません。

図1のように、波長からまず1個分を求め、次に光全体のエネルギーと比べます。光の色に対応する振動数は粒1個のエネルギーを決めます。一方、出力は1秒ごとに運ばれるエネルギーの合計です。単色光では同じ振動数の光子として計算するので、1秒間の個数をN、出力をPとするとP=NE、したがってN=P/E=Pλ/(hc)です。

図1の矢印は計算の順です。Pの単位WはJ/s、EはJなので、P/Eの単位は1/sです。個数を数える期間をt秒とするなら、一定の出力の下で総数はNtです。実際の短い時間に検出される個数には揺らぎがあり、この式は平均として扱います。混ざった波長の光では、全出力を代表的な1個分で割る前に、各波長の出力を分ける必要があります。

強さIは単位面積を単位時間に通るエネルギーで、単位はW/m²です。面積Sの面に垂直な一様な光ならP=ISです。面積が光束より大きい場合、光のない部分まで同じ強さとして掛けてはいけません。斜めに入る場合は光に垂直な投影面積を使うか、その面を通る出力を直接与えてもらいます。途中で吸収や反射があれば、光源の出力から届く出力への変化も必要です。

出力が時間とともに変化する場合は、一定のPを全時間に掛けることはできません。区間ごとの出力がわかるなら、それぞれの時間内に届くエネルギーを計算して足します。波長も変化する場合は各区間の1個分を使って個数を求め、その個数を足します。出力の平均だけでは波長ごとの内訳が決まらない場合があります。

基本例題：出力が等しい2つの光

真空中の波長がそれぞれ 3.00×10⁻⁷ m、6.00×10⁻⁷ m の単色光A、Bが、それぞれ受光面に全出力 1.00 W で届きます。h=6.63×10⁻³⁴ J s、c=3.00×10⁸ m/s とします。各光子のエネルギーをJで、毎秒届く光子数を個/sで、有効数字3桁で求めてください。途中では丸めません。

図2のように、両方の面へ1秒に届くエネルギーは1.00 Jです。まずAの1個分を計算します。

E_A = hc/λ_A
    = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(3.00×10⁻⁷)
    = 6.63×10⁻¹⁹ J
N_A = P/E_A
    = 1.00/(6.63×10⁻¹⁹)
    = 1.51×10¹⁸ 個/s

Bについても同じ順です。図2のようにBの波長はAの2倍なので、計算前に1個分が半分、個数が2倍になると予想できます。

E_B = hc/λ_B
    = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(6.00×10⁻⁷)
    = 3.315×10⁻¹⁹ J
    ≒ 3.32×10⁻¹⁹ J
N_B = 1.00/(3.315×10⁻¹⁹)
    = 3.02×10¹⁸ 個/s

丸める前のBの個数に1個分を掛けると1.00 J/sに戻ります。Aも同様です。比較するとき、長波長側は1個分が小さいため、同じ出力を運ぶのに必要な個数が多くなります。エネルギーと個数を一度に同じ倍率にしないことが要点です。

標準例題：面積と時間を加える

波長 4.42×10⁻⁷ m の単色光が、面積 2.00×10⁻⁴ m² の面に垂直に一様に入ります。その面での強さは 5.00 W/m²、時間は 2.00 s とします。h=6.63×10⁻³⁴ J s、c=3.00×10⁸ m/s として、面を通るエネルギーをJ、光子数を個で、それぞれ有効数字3桁で求めてください。光は面全体に広がり、途中の損失は考えません。

面を通る出力と時間内のエネルギーを先に出します。面積を掛けずに強さを1個分で割ると、面積当たりの個数になり、求める総数と単位が違います。

P = IS
  = 5.00・2.00×10⁻⁴
  = 1.00×10⁻³ W
U = Pt
  = 1.00×10⁻³・2.00
  = 2.00×10⁻³ J
E = hc/λ
  = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(4.42×10⁻⁷)
  = 4.50×10⁻¹⁹ J
個数 = U/E
     = 2.00×10⁻³/(4.50×10⁻¹⁹)
     = 4.44×10¹⁵ 個

丸め前の個数と1個分の積は 2.00×10⁻³ J に戻り、これを2.00 sで割ると面を通る出力です。別解は毎秒の個数P/Eを求めてから2.00 sを掛ける方法です。どちらも同じ面を通る量でそろえているため一致します。

発展例題：波長を変えたときの傾き

受光面に全出力 P=2.00×10⁻³ W が届く単色光を考えます。h=6.63×10⁻³⁴ J s、c=3.00×10⁸ m/s とし、真空中の波長λを変えます。波長 3.00×10⁻⁷ m と 9.00×10⁻⁷ m の毎秒の光子数を有効数字3桁で求め、Nを縦軸、λを横軸にしたグラフの形を述べてください。出力は各波長で同じです。

N = P/E
  = P/(hc/λ)
  = Pλ/(hc)
N₁ = (2.00×10⁻³・3.00×10⁻⁷)/(6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)
   = 3.02×10¹⁵ 個/s
N₂ = (2.00×10⁻³・9.00×10⁻⁷)/(6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)
   = 9.05×10¹⁵ 個/s

波長が3倍なので個数も3倍です。丸め前の各個数にそれぞれのhc/λを掛けると、どちらも 2.00×10⁻³ J/s に戻ります。Nとλのグラフは原点を通る直線で、その傾きはP/(hc)です。横軸をmからnmに変えると数値の傾きも変わるので、軸の単位を添えて読みます。λ=0の点は比例関係を表す数学上の延長で、波長0の光を実際に作った測定点ではありません。

実験の資料を読む場合は、波長ごとに受光面での出力をそろえたかを確かめます。光源の表示が同じでも途中の透過率が波長によって異なれば、面に届く出力は同じとは限りません。面での出力を別に測り、面積や向きをそろえる設計なら比較しやすくなります。出力の測定値が実際より高ければ、算出した光子数も同じ割合で高くなります。波長の読み取りにも不確かさがあるため、1点のずれだけで直線関係の成否を決めず、条件と複数点を見直します。実験は学校の指導の下で行い、光源や装置の操作条件は指導者の指示に従います。

誤答を原因から直す

図3のように、同じ出力を見て「同じエネルギーだから同じ個数」とする誤りがあります。等しいのは一定時間に届く総エネルギーであって、1個分ではありません。まずE=hc/λで1個分を比べ、その後にP/Eで個数を求めると、比較する対象が入れ替わりません。

図3の右側のように、総量と1個分を分けて書きます。別の誤りは、nmをmに直さずに式へ入れることです。1 nm=10⁻⁹ mを用い、代入前に単位をそろえます。また、出力WとエネルギーJを混同すると、1秒以外の個数を誤ります。Pに時間を掛けてJにし、最後に1個分で割ると立式を確認できます。

強さを出力として扱う誤りもあります。W/m²には面積当たりという条件が残っているので、面を通る個数には面積が必要です。受光面の一部にしか光が当たらないときは照らされた部分を使います。条件が不足して面に届く出力が決まらない場合、数を無理に決めず、面積や光の分布を追加条件として求めます。

練習問題

以下はすべて自作の条件です。各問で真空中の光を扱い、h=6.63×10⁻³⁴ J s、c=3.00×10⁸ m/s を使います。数値の答えは有効数字3桁とし、途中では丸めないでください。

1. 波長 6.63×10⁻⁷ m の光子1個のエネルギーをJで求めてください。
2. 波長 2.21×10⁻⁷ m の単色光が、ある面に 9.00×10⁻⁴ W の出力で届きます。毎秒その面を通る光子数を個/sで求めてください。
3. 波長 8.84×10⁻⁷ m の単色光が、一様な強さ 3.00 W/m² で面積 4.00×10⁻⁴ m² の面に垂直に入ります。1.50 sに面を通る光子数を個で求めてください。
4. 同じ面を通る単色光CとDの出力は等しく、Cの波長はDの4倍です。Cの毎秒の光子数はDの何倍か求めてください。
5. 光源の全出力が 6.00×10⁻³ W、波長が 4.42×10⁻⁷ m の単色光について、途中で出力の半分が吸収され、残りが受光面に全て届きます。毎秒届く光子数を個/sで求めてください。

練習の答えと戻し方

1. E=hc/λより、(6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(6.63×10⁻⁷)=3.00×10⁻¹⁹ Jです。この値に波長を掛けるとhcに戻ります。波長とエネルギーの単位を逆算して照合します。

2. 1個分は (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(2.21×10⁻⁷)=9.00×10⁻¹⁹ Jです。9.00×10⁻⁴をこれで割り、1.00×10¹⁵ 個/sです。1秒の個数に1個分を掛けると 9.00×10⁻⁴ J/sとなり、指定された面の出力に戻ります。

3. 1個分は (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(8.84×10⁻⁷)=2.25×10⁻¹⁹ Jです。面を通る出力は 3.00・4.00×10⁻⁴=1.20×10⁻³ W、1.50 sのエネルギーは 1.80×10⁻³ Jです。よって個数は 1.80×10⁻³/(2.25×10⁻¹⁹)=8.00×10¹⁵ 個です。この個数に1個分を掛けて1.50 sで割ると面の出力に戻ります。

4. 同じ出力ならN=Pλ/(hc)ですから、CはDの4倍です。Cの1個分はDの1/4なので、4倍の個数を掛けた総エネルギーはDと等しくなります。光子数が等しいという結論では与えられた出力の一致に戻りません。

5. 受光面に届く出力は 6.00×10⁻³/2=3.00×10⁻³ Wです。1個分は (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(4.42×10⁻⁷)=4.50×10⁻¹⁹ Jです。毎秒の個数は 3.00×10⁻³/(4.50×10⁻¹⁹)=6.67×10¹⁵ 個/sです。丸め前の個数に1個分を掛けると届く出力に戻り、それを2倍すると光源の出力になります。

手元に残す要点

波長は真空中の値をmに直し、1個分をE=hc/λで求めます。
面を通る出力Pから毎秒の個数はP/Eです。
一様で垂直な光の強さIと面積Sから、その面の出力はISです。
一定出力なら時間tの総数はPt/Eです。
同じ出力では波長が長いほど毎秒の個数が多くなります。

計算が合わないときは、まず答案の各数値にJ、W、W/m²、m²のどれを付けたかを見ます。個別指導で確かめるなら、同じ出力の2本を描き、1個分と1秒間の総量を別々に指して説明できるかを見ると、比例関係の取り違えが見つかります。面積が不足する問題で何を追加すれば計算できるかも言葉にしてみてください。光子数は、届いたエネルギーを1個分で数え直した量です。