中学受験の算数 逆算—最後の操作から順に戻して空欄の数を求める｜武蔵野個別指導塾

引き算の空欄と括弧の順序を、確かめの計算まで逆算でたどります。

よくあるのは、小4のお子さまが、引き算の左にある数と右にある数を取り違える場面です。たとえば、箱に入っていた数から取り出した数を求めるつもりが、箱に最初にあった数を求める計算をしてしまいます。どちらも引き算に見えますが、空欄が表すものは違います。式を前から眺めるだけでなく、最後に何をしたかを確かめ、結果から1歩ずつ戻ると、空欄の場所を見失いにくくなります。

どんな空欄が出てくるか

逆算（ぎゃくさん）は、計算の結果から、もとの数や途中の数を求める方法です。数を隠した式にあてはめる問題だけでなく、物を加えたり取り出したりした後の数から、はじめの数をたずねる文章題にも使えます。文章題では、まず何をしたかを順に並べてから、最後の数を出発点にします。

出方には主に3つの型があります。1つ目は、足す数や引く数など、1回の計算の中に空欄がある型です。2つ目は、いくつかの計算を続けた後の答えから、はじめの数を求める型です。3つ目は、括弧（かっこ）の中に空欄があり、括弧全体を1つの数として先に戻す型です。

同じ記号が並んでいても、空欄の位置によって戻し方は変わります。特に引き算と割り算では、左側と右側を入れかえると別の計算になります。式を見た瞬間に記号だけを反対にするのではなく、どの数が先にあり、どの数を使って結果が出たかを言葉にしましょう。

計算の道を行きと帰りで見る

足し算では、ある数に足した分を取り去ればもとに戻ります。引き算では、ある数から引いた分を戻して足せば、引く前の数に戻ります。かけ算では、同じ数をかけてできた結果をその数で割ります。割り算では、割った結果に割った数をかけます。ただし、割る数が0の場合は計算できないので、ここでは0で割りません。

図1のように、はじめの数に5を足して、その結果を3倍する道を考えます。帰りは、最後にした3倍を先に戻し、その後で5を足した操作を戻します。行きと帰りは、操作の順番も逆です。足した5をいきなり答えから引いてしまうと、3倍する前の5と、3倍した後の数を混ぜてしまいます。

図1では「足す5」の後にある箱の数が、次の「3倍」の出発点です。箱を1つずつ指して、行きには何が起き、帰りには何を取り消すかを声に出してみましょう。途中の数がまだ不明でも、箱として残せば順番を追えます。

引き算には別の見分け方もあります。引かれる数は、取り出す前の全体です。引く数は、全体から取り出す分です。残りに取り出した分を足すと全体になり、全体から残りを引くと取り出した分になります。どちらを求めるかで式が変わります。

割り算も同様です。割られる数は分ける前の全体で、割る数は何等分するかなどを表します。全体を求めるなら、1つ分に等分した数をかけます。一方、割る数を求めるなら、全体を1つ分で割ります。たとえば24を何等分すると1つ分が6になるかは、24 ÷ 6で4等分と求めます。24 ÷ 4が6になることまで戻して確かめます。

括弧がある式では、まず括弧の中を1つのまとまりとして扱います。まとまりの値がわかった後で、その内側へ入ります。括弧の内側の計算を最初に戻すのではなく、実際の計算で最後に行う外側の操作から戻すことが要点です。

戻す順を紙に残す

順序が見えにくいときは、式を1行で解こうとせず、操作を短い言葉で並べます。たとえば、はじめの数に4を足し、その後2で割って8になったとします。行きの順は「4を足す、2で割る」です。帰りは「2をかける、4を引く」になります。8 × 2 = 16、16 − 4 = 12なので、はじめの数は12です。12 + 4 = 16、16 ÷ 2 = 8と行き直すと、途中の16も同じです。

途中で16という数が出たとき、それがはじめの数だと思って止めてしまうことがあります。16は4を足した後の数ですから、まだ1つ戻す操作が残っています。行きの操作と帰りの操作を対応させ、戻したものに印を付ければ、どこまで進んだかを確かめられます。反対に、はじめの数まで戻った後にもう一度同じ操作を戻してしまうと、条件にない計算が加わります。行きにした操作の数と、帰りに戻した操作の数を照らし合わせてください。

また、答えが整数にならない計算が出た場合は、その時点で空欄の位置や操作の順序を見直します。ただし、整数にならないこと自体がいつも誤りとは限りません。問題がどのような数を求めているかを確かめ、カードの枚数などなら個数として成り立つかも調べます。計算の結果と場面の意味を両方見ることが、見直しの手がかりになります。

基本例題：残りからはじめに戻る

箱に同じ大きさのカードが何枚か入っています。そこへ6枚を加え、入っているカードを4人に同じ枚数ずつ分けたところ、1人分は7枚でした。はじめに箱に入っていたカードは何枚ですか。カードは余りません。

行きの道では、はじめの枚数に6枚を加え、全体を4人で等分しています。最後に行ったのは4で割る操作です。そこで7枚から出発し、まず4人分の全体に戻します。図2のように、途中の全体を箱に置いてから、加えた分を取り除きます。

1人分の7枚が4人分あります。加えた後のカードの全体は、次の式で28枚です。

7 × 4 = 28（枚）

この28枚には、後から加えた6枚が含まれています。はじめの枚数へ戻すには、加えた6枚を引きます。

28 − 6 = 22（枚）

答えは22枚です。ここで止めずに、求めた22枚を行きの道に戻します。22枚に6枚を加えると28枚、28枚を4人で等分すると1人7枚です。問題にある最後の枚数になり、余りもありません。

逆向きに進むとき、7から先に6を引いてはいけません。7枚は分けた後の1人分ですが、6枚は分ける前の全体に加えた枚数です。数の単位がどちらも枚であっても、指している集まりが違います。どの段階の枚数かを横に書けば、途中で迷ったときにも立ち戻れます。

式で表すと、（□ + 6）÷ 4 = 7です。括弧の中をまとめて見ると、□ + 6が28になります。その後、28から6を引いて□を求めます。括弧の中の足し算を先に逆向きにしない理由は、計算の最後が割り算だからです。

もう一段階あるときの分かれ目

ある棚に同じ厚さのノートが何冊かありました。8冊を取り出した後、残りを3つの箱に同じ冊数ずつ入れました。さらに、各箱に2冊ずつ加えると、1箱が9冊になりました。はじめに棚にあったノートは何冊ですか。箱に分けるとき余りはありません。

最後にしたことは、各箱に2冊ずつ加える操作です。9冊は加えた後の1箱分なので、1箱から2冊を引いて、分けた直後の1箱分に戻します。

9 − 2 = 7（冊）

次に、7冊ずつの箱が3つあるので、分ける前の残りを求めます。

7 × 3 = 21（冊）

21冊は、はじめの棚から8冊を取り出した後の数です。取り出した8冊を戻して、はじめの数を求めます。

21 + 8 = 29（冊）

答えは29冊です。確かめると、29冊から8冊を取り出して21冊、3つに等分して1箱7冊、各箱に2冊を加えて1箱9冊になります。条件を順にたどり直すと、途中の数も元の場面と対応します。

この問題の分かれ目は、2冊が全体に加えられたのか、各箱に加えられたのかです。各箱に2冊なので、まず1箱の9冊から2冊を引けます。もし全体に2冊を加えたという別の条件なら、同じ順には戻せません。問題の言葉を省いて「2を引く」とだけ覚えるより、どの集まりについての操作かを残しておくと、条件が変わったときにも対応できます。

引く場所を取り違えたら

次の式の□を考えます。

35 − □ = 12

「引き算だから足し算にする」と考えて、35 + 12 = 47とするのは誤りです。図3のように、35は引く前の全体、12は残りです。求めたい□は、残りに加えると全体になる、取り出した分です。

原因は、空欄が引かれる数か引く数かを見ずに、記号だけを反対にしたことです。図3では、全体35から残り12を引いた部分が□なので、35 − 12 = 23となります。23を元の式に入れると、35 − 23 = 12です。求めた数は取り出した分として条件に合います。

もし式が□ − 12 = 35なら、空欄は引く前の全体です。その場合は残り35に取り出した12を戻し、35 + 12 = 47とします。同じ12と35があっても、置かれた位置で求めるものが変わります。式の左から「全体、取り出す分、残り」と言い換えると、2つの式の違いを確かめられます。

割り算でも、□ ÷ 4 = 6なら全体を求めるので6 × 4です。24 ÷ □ = 6なら何等分かを求めるので24 ÷ 6です。答えが出たら必ず元の式に入れ、左右が同じ数になるかを調べます。違ったときは計算し直す前に、空欄がどの位置にあるかを確認しましょう。

もう一つ注意したいのは、途中で求めた数を、そのまま空欄に入れてしまう誤りです。基本例題で28枚は、6枚を加えた後の全体でした。空欄がはじめの枚数を表す以上、28枚からさらに戻す必要があります。途中の箱に「加えた後」と書いておけば、はじめの箱と見分けられます。

答えを元に戻して合わなかったときは、間違いを消す前に、どの段階で食い違ったかを探します。最後の計算だけが違うのか、途中の数がすでに違うのかで直す場所は変わります。行きの道を1操作ずつ計算すると、初めて条件と合わなくなるところを見つけられます。

手を動かして確かめる問題

次の4問は、それぞれ場面と数が違います。先に4問を解いてから、下の解き方と比べてください。途中の数に「何をした後か」を書いておくと、式の選び方も見直せます。

1. 袋にあったビー玉から13個を取り出すと、18個残りました。はじめに何個ありましたか。
2. 42枚の紙から何枚かを使うと、17枚残りました。使った紙は何枚ですか。
3. ある数を5倍してから7を足すと、52になりました。ある数を求めてください。
4. 36個の積み木を同じ個数ずついくつかの箱に分けたところ、1箱が6個になりました。箱は何個ですか。積み木は余りません。

答えと道筋

1. 残った18個に、取り出した13個を戻します。18 + 13 = 31なので、はじめは31個です。31 − 13 = 18となり、残りも合います。引く前の全体を求めるので足します。

2. 使った枚数は、もとの42枚から残り17枚を引いて求めます。42 − 17 = 25なので、25枚です。42 − 25 = 17と元の条件に戻せます。問題1とは、求めるものが全体か取り出した分かという違いがあります。

3. 最後に足した7を戻します。52 − 7 = 45です。45は、ある数を5倍した数なので、45 ÷ 5 = 9です。答えは9です。行きの順に9 × 5 = 45、45 + 7 = 52と確かめます。先に52を5で割ると、7を足した後の数をまとめて割ってしまいます。

4. 36個を1箱あたり6個ずつに分けるので、36 ÷ 6 = 6です。箱は6個です。6個の箱にそれぞれ6個を入れると6 × 6 = 36個になり、余りません。割る数を求めるため、全体を1箱分で割っています。

問題を解き終えたら、答えの数字だけでなく、確かめの式が元の条件を表しているかも見てください。たとえば問題2で25枚を使ったと言うなら、最初の42枚から25枚を引いた残りが17枚でなければなりません。式が合っても、何を求めたかの言葉が違えば、問いへの答えにはなりません。

覚えておくこと

• 最後に行った操作から逆向きに戻します。
• 引き算と割り算は空欄の位置を見ます。
• 括弧はまとまりとして外側から戻します。
• 出した数を元の条件に入れて確かめます。

お子さまと一緒に見るとき

手が止まったら、すぐに計算の記号を教える前に、お子さまが図のどこまで説明できるか聞いてみてください。「この箱は何をした後の数かな」とたずね、最後の数とその直前の数を指せるかを見ます。そこがわかっていれば、「最後にしたことを戻すにはどうするかな」と一手だけ促します。

引き算で答えが合わない場合は、引かれる数と引く数を言葉にしてもらいましょう。全体を求めるのか、取り出した分を求めるのかが違えば、使う式も違います。答えが合った場合も、出した数を元の場面に置き直せるかを聞くと、順番と数の意味を確かめられます。逆算は、戻した道を行き直して完成します。