中学受験の算数 小数の計算—位取りと小数点の位置を見積もりで確かめる｜武蔵野個別指導塾

2.4×1.3の筆算と見積もりで、位取りから見極める小数点です。

よくあるのは、小4のお子さまが小数のかけ算の筆算で、たし算と同じように小数点を縦にそろえる場面です。数字の並びは合っていても、答えが予想より10倍大きくなることがあります。どこに点を打つかを形だけで覚えると、数字の桁（けた）が変わったときに迷います。

小数も、1を10等分した数や100等分した数を集めたものです。位をそろえる操作と、整数に直して計算する操作を区別し、最後に答えの大きさを見積もりましょう。

小数が出てくる3つの形

1つ目は、長さや重さをたしたり引いたりする計算です。たとえば2.35 mと0.7 mを合わせるとき、0.7を0.70と書いて小数点を縦にそろえます。同じ位の数を合わせるためです。引き算でも、足りない位に0を書き足すと、繰り下がりを追いやすくなります。

2つ目は、1あたりの量にいくつ分かをかける計算です。1あたりの量も、いくつ分を表す数も小数になることがあります。かける数が1より小さければ、答えはもとの量より小さくなります。数字をかける前に、この向きを予想しておくと点の打ち間違いに気づけます。

3つ目は、全体を小数で割って1あたりを求める計算です。割る数を整数にするために、割られる数も同じだけ10倍や100倍にします。割る数だけを変えると、同じ答えにはなりません。たとえば両方を10倍すると、全体も1組の量も同じ比で大きくなるため、組の数は変わらないのです。たし算と引き算、かけ算、割り算では、点を動かす理由がそれぞれ違います。

1を細かく分けて位を見る

小数点の左側は一の位、右側は十分の一の位、さらに右は百分の一の位です。1は0.1が10個、0.1は0.01が10個集まった数です。図1のように、2.4は1が2個と0.1が4個でできています。2.40と書いても、0.01の集まりが増えるわけではないので、数の大きさは変わりません。

図1では、1のまとまり2個と0.1のまとまり4個を別の色で示しています。0.1を10個集めた長さが1に対応しています。位をそろえるとは、同じ大きさのまとまり同士を縦に並べることです。

たとえば3.6 + 0.25では、3.60 + 0.25と考えます。百分の一の位は0 + 5で5、十分の一の位は6 + 2で8、一の位は3 + 0で3なので3.85です。反対に3.6 − 0.25では、3.60の十分の一の位から0.1を1つ分けて、百分の一の位を10個にします。10 − 5は5、残った十分の一の位は5 − 2で3、一の位は3のままなので3.35です。

かけ算では、2つの数を整数にして積（せき）を出し、何倍したかを戻します。0.6 × 0.4なら、6 × 4は24です。もとの2つの数をそれぞれ10倍したので、24はもとの積の100倍です。100で割って0.24に戻します。小数点以下の桁を数える方法も、この100倍を戻す考え方に支えられています。

割り算では、両方を同じ数倍しても商（しょう）は変わりません。たとえば1.8 ÷ 0.3は、両方を10倍した18 ÷ 3と同じ6です。0.3を6個集めると1.8になることでも、答えを確かめられます。割り切れない場合は、問題が求める位まで計算し、余りや丸め方を条件に合わせます。

基本例題：テープの重さを求める

1 mあたり2.4 gのテープがあります。このテープ1.3 mの重さは何gですか。

まず、1 mなら2.4 g、2 mなら4.8 gです。1.3 mは1 mより長く2 mより短いので、答えは2.4 gより重く、4.8 gより軽くなります。この範囲を先に書き、筆算の点が合うか確かめる手がかりにします。

式は2.4 × 1.3です。図2のように1.3を1と0.3に分ければ、1 m分と0.3 m分を別々に考えられます。

図2の左は1 m分、右は0.3 m分です。横の長さの比も1と0.3に合わせています。それぞれの重さを求めます。

2.4 × 1 = 2.4

0.3は0.1の3個分です。2.4の0.1倍は0.24なので、次のように計算できます。

2.4 × 0.1 = 0.24

0.24 × 3 = 0.72

2.4 + 0.72 = 3.12

答えは3.12 gです。最初に見積もった2.4 gより重く、4.8 gより軽い範囲にも入ります。

筆算でまとめるときは、2.4を10倍して24、1.3を10倍して13と考えます。24 × 13は、24 × 3 = 72と24 × 10 = 240を合わせて312です。2つの数をそれぞれ10倍した積は、もとの積の100倍ですから、312を100で割って3.12にします。

   24
×  13
-----
   72
  240
-----
  312

この筆算の312に、たし算のように元の点を縦にそろえて点を打つのではありません。整数に直す前の数の積に戻すため、100で割ります。小数点以下の桁の合計が2桁なので、右から2桁のところに点を打つという手順も、同じ結果を表します。

答えを元の条件に戻してみます。3.12 gを1.3 mで割ると、31.2 ÷ 13 = 2.4で、1 mあたり2.4 gに戻ります。大きさの見積もりは大きな点のずれを見つける助けですが、近い誤答までは必ず見分けられません。逆の計算も使って確かめましょう。

もう1つ、筆算の途中で0が出る場面を考えます。0.08 × 0.5では、8 × 5 = 40です。0.08を100倍、0.5を10倍したので、40はもとの積の1000倍です。40 ÷ 1000 = 0.04となります。答えの小数点以下にある0は、百分の一の位の4を正しい場所に置くために必要です。0.4としてしまうと、かける数が1より小さいのに、0.08より大きな答えになってしまいます。

点を打つ前には、かける数が1より大きいか小さいかを見ます。1より大きいときは、かけられる数より積が大きくなります。1より小さく0より大きいときは、積が小さくなります。たとえば4.2 × 0.9は4.2より小さく、4.2 × 1.1は4.2より大きくなります。どちらも数字だけを先にかけられますが、答えの点の位置はこの予想にも合わせて点検します。

一段進めて、割る数の位をそろえる

同じ太さのひも4.8 mの重さが3.6 gです。このひも1 mの重さは何gですか。重さを長さで割るので、式は3.6 ÷ 4.8です。

割る数4.8を整数にするには10倍します。割られる数3.6も同じ10倍にして、36 ÷ 48とします。割られる数は割る数より小さいため、答えは1 gより小さくなります。商の一の位に0を書いて、小数の位まで進みます。

360 ÷ 48は7で、48 × 7 = 336です。差は24です。さらに0を下ろすと240になり、48 × 5 = 240で余りは0です。したがって36 ÷ 48 = 0.75、答えは0.75 gです。

元の条件に戻すと、0.75 × 4.8 = 3.6です。1 mあたり1 g未満という見積もりにも合います。この例の3.6 ÷ 4.8は小数第2位で割り切れます。小数で割る計算でも、いつまでも割り切れない場合があります。そのときは問題で指定された分数や概数などの形に合わせ、概数なら丸める位を確認します。

割る数を整数にする手順で迷ったら、割る数だけでなく割られる数も同時に動かします。3.6 ÷ 4.8で48だけにすると、もとの式と違う量を分けることになります。商が1より小さいという見積もりと、かけ算で元の重さに戻るかという確かめを両方使うと、操作の間違いを見つけやすくなります。

点の位置が合わないとき

誤答の例は、0.6 × 0.4を2.4とすることです。6 × 4 = 24までは合っていますが、点の位置がずれています。図3のように、0.6の0.4倍は0.6より小さいはずなので、2.4という答えは見積もりに合いません。

図3の上は0.6、中央はその0.4倍、下は誤った2.4です。0.6を10倍し、0.4も10倍して6 × 4を計算したので、24はもとの積の100倍です。24 ÷ 100 = 0.24と直します。0.24は0.6より小さく、見積もりにも合います。

たし算でも、見た目だけをそろえて3.2 + 0.45を3.65でなく0.77とする誤りがあります。3.2の一の位の3を落としたためです。3.20 + 0.45と書けば、3 + 0が一の位に残ります。答えが3.2より大きくなることも確かめます。

割り算では、2.1 ÷ 0.7を2.1 ÷ 7として0.3にする誤りがあります。割る数だけを10倍したことが原因です。両方を10倍して21 ÷ 7 = 3と直します。3 × 0.7 = 2.1で元の数にも戻ります。

引き算で答えが元の数より大きくなったときも、位を確認する合図です。5.03 − 0.8なら、5.03 − 0.80と書きます。十分の一の位が0なので、一の位から1を借りて10個の0.1に変えます。10 − 8 = 2、百分の一の位は3のままで、答えは4.23です。4.23 + 0.8 = 5.03で確かめます。0を書き足す場所を点の右端に限ると、数の大きさを変えずに筆算できます。

見積もりに使う数は、問題の答えそのものではありません。たとえば6.2 × 1.8は、6.2 × 1より大きく、6.2 × 2より小さいと考えられます。この範囲に入るだけでは正しい積と決まりません。計算後には小数点を戻した理由と、逆の計算を続けて確認します。

練習：まず4問を解いてみる

1. 水が1.75 L入った容器に、さらに0.8 Lを加えます。水は合わせて何Lですか。
2. 3.2 kgの粉から1.45 kgを使いました。残りは何kgですか。
3. 1 mあたり1.6 gの糸が2.5 mあります。糸の重さは何gですか。
4. 2.88 Lの液体を、1本に0.6 Lずつ入れます。何本分ですか。

答えを見る前に、各問題で答えがもとの数より大きくなるか小さくなるかを予想してください。4問目は本数を小数で表す問題です。満杯の容器の個数を問う場合とは、答える内容が違います。

練習の答えと道すじ

1. 答えは2.55 Lです。0.8を0.80と書き、1.75 + 0.80 = 2.55とします。0.8 Lを加えるので、もとの1.75 Lより多くなります。2.55 − 0.8 = 1.75と戻しても確かめられます。

2. 答えは1.75 kgです。3.2を3.20と書きます。百分の一の位は0から5を引けないので、十分の一の位から0.1を借り、10 − 5 = 5とします。残った十分の一の位でも1から4を引けないので、一の位から1を借り、11 − 4 = 7とします。一の位は2 − 1 = 1です。1.75 + 1.45 = 3.20で元の重さに戻ります。

3. 答えは4 gです。1.6 × 2.5を、16 × 25 = 400から考えます。両方を10倍した積は100倍なので、400 ÷ 100 = 4です。2 mなら3.2 g、3 mなら4.8 gなので、答えはその間です。4 ÷ 2.5 = 1.6で1 mあたりにも戻ります。

4. 答えは4.8本分です。2.88 ÷ 0.6は両方を10倍して28.8 ÷ 6 = 4.8です。0.6 × 4.8 = 2.88で元の量を確かめます。満杯にできるのは4本で、残りは0.48 Lです。4.8本分という量と、満杯の4本という整数を混同しないようにします。

練習を見直すときは、計算の種類ごとに確認する場所を変えます。1問目と2問目は小数点が縦にそろっているか、0を補った後も元の数と同じ大きさかを見ます。3問目は2つの数を整数にした倍率を積から戻したか、4問目は割る数と割られる数の両方を同じ倍率にしたかを見ます。

途中で間違いに気づいたら、答えの数字だけを直すのではなく、初めて位がずれた行へ戻りましょう。その行で何の位を計算しているかを声に出し、次の行までつなげます。見積もりが合っても計算を終わりにせず、元の条件に戻すと、点のずれ以外の計算間違いも探せます。

覚えておくこと

• たし算と引き算は、同じ位を縦にそろえます。
• かけ算は、整数にした倍率を積から戻します。
• 割り算は、割る数と割られる数を同じ倍率にします。
• 見積もりと逆の計算で、小数点と元の条件を確かめます。

家で見守るとき

お子さまが点の位置で止まったら、すぐに点を直すより、まず図のどこが1を表すか尋ねてみてください。1と0.1の違いを説明できれば、次に整数に直したとき何倍したかを一手だけ問いかけます。そこまで説明できない場合は、0.1が10個で1になるところに戻ります。

答えの大きさを予想できても、予想の範囲に入ったことだけで正解とは限りません。元の条件に戻す計算も、お子さま自身の言葉で確かめてみましょう。点を打つ位置には、位を分けて考えた理由があります。