中学受験の算数 分数の計算—通分と約分の意味から四則の途中式を整える｜武蔵野個別指導塾

分母を足してしまう間違いから、通分と約分、帯分数を含む四則の手順をたどり直す分数の計算です。

よくあるのは、小5のお子さまが分数の足し算で、上の数どうしと下の数どうしをそれぞれ足す場面です。例えば 1/2 と 1/3 を合わせて 2/5 とすると、どちらか一方の 1/2 よりも小さくなってしまいます。量を足したのに小さくなるのはおかしい、と立ち止まれることが出発点です。分数を何個分として見るかを確かめてから、計算の手順を選びましょう。

どんな形でたずねられるか

分数の計算には、まず分母の異なる足し算や引き算があります。同じ大きさのひと切れに直してから、その個数を数えます。帯分数（たいぶんすう）が入るときも、整数部分と分数部分の関係を見失わないことが必要です。

次に、かけ算やわり算があります。かけ算は分子どうし、分母どうしをかけ、わり算は割る数の逆数（ぎゃくすう）をかけます。途中で約分（やくぶん）できる場所を見つけると、大きな数を作らずに済みます。ただし、足し算の途中まで一緒に消してしまわないよう、計算のまとまりに注意します。

もう一つは、四則が混ざった式です。かっこを先に計算し、かっこがなければ、かけ算とわり算を足し算と引き算より先に行います。見た目に分数が並んでいても、まずどこから手をつけるかを決めることが、途中式を整える近道です。

ひと切れの大きさをそろえる

分数の下の数を分母（ぶんぼ）、上の数を分子（ぶんし）といいます。1/2 は、同じ大きさの全体を2等分したうちの1つ分です。2/4 は同じ全体を4等分したうちの2つ分で、どちらも全体の半分を表します。分母と分子に同じ数をかけても、表す量は変わりません。

図1のように、同じ長さを2等分した1つ分と、4等分した2つ分を比べます。区切りは増えても、色のついた長さは同じです。分母を変えるときは分子も同じ倍率で変え、量を保ちます。

分母を共通の数にそろえることを通分（つうぶん）といいます。例えば 1/2 と 1/3 なら、両方を6分のいくつかに直せます。1/2 = 3/6、1/3 = 2/6 です。6等分した同じ大きさのひと切れを、3つと2つ合わせるので、答えは 5/6 です。分母はひと切れの大きさを示しているので、足しません。

反対に、分子と分母を同じ数で割り、分数を簡単にすることが約分です。6/8 の分子と分母をともに2で割ると 3/4 です。8等分の6つ分と4等分の3つ分は同じ量です。割る数は分子と分母の両方を割り切れる数にします。片方だけを割ると量が変わるので、対にして確かめます。

帯分数は、1以上の整数と1より小さい分数を合わせた表し方です。1と3/4 は 1 + 3/4 を意味します。これを仮分数（かぶんすう）に直すには、1を 4/4 と見て、4/4 + 3/4 = 7/4 とします。分母が4のまま、4分の1が何個あるかを数えると考えると、手順を忘れても戻れます。

基本例題: 2種類のひもを合わせる

青いひもが 3/4 m、赤いひもが 2/3 m あります。2本の長さの合計は何mですか。つなぎ目による長さの変化はないものとします。

異なる分母のままでは、4分の1と3分の1の個数をそのまま足せません。4と3の両方で割り切れる12を共通の分母にします。図2のように、どちらのひもも1 mを12等分した長さで数えます。

まず青いひもを12分のいくつかに直します。

3/4 = 9/12

分母の4を3倍したので、分子の3も3倍します。青いひもは12分の1 mが9個分です。次に赤いひもを直します。

2/3 = 8/12

こちらは分母と分子をともに4倍しました。赤いひもは12分の1 mが8個分です。同じ大きさの個数を足します。

9/12 + 8/12 = 17/12

12分の1 mが12個で1 mなので、17個分は1 mと5個分です。

17/12 = 1と5/12

答えは 1と5/12 mです。通分後に分子だけを足したこと、答えにmを付けたことも確かめます。もとの長さはどちらも半分を超えるため、合計は1 mを超えます。答えの大きさも、この見通しに合っています。

もし 3/4 + 2/3 を 5/7 としたら、足した量が最初の 3/4 より小さくなります。この大きさの確認は計算ミスに気づく入口です。ただし、大きさが合うだけでは正解と決まりません。通分した分子と分母を元に戻せるかも確認しましょう。

帯分数と四則が重なるとき

1と1/2 Lの水から 2/3 Lを使い、残りを同じ大きさの容器5個に等しく分けます。1個には何L入りますか。

分かれ目は、先に引く量を決めるところです。容器に分けるのは、最初の水全体ではなく、使った後の残りです。したがって、引き算を終えてから5で割ります。先に 1と1/2 を5で割ると、使った水の分まで容器に分けたことになります。

まず帯分数を仮分数に直します。1は 2/2 なので、

1と1/2 = 3/2

次に 3/2 と 2/3 を6分のいくつかにそろえます。

3/2 = 9/6

2/3 = 4/6

使った後の残りは、

9/6 − 4/6 = 5/6 L

この 5/6 Lを5等分します。5で割ることは 1/5 をかけることと同じです。

5/6 ÷ 5 = 5/6 × 1/5 = 1/6 L

答えは 1/6 Lです。5個分に戻すと 1/6 × 5 = 5/6 Lです。さらに使った 2/3 Lを足すと、5/6 + 4/6 = 9/6 = 1と1/2 Lとなり、最初の量に戻ります。順番と量の両方を確かめられました。

分数で割る場合も、考え方を確かめておきます。例えば 3/4 ÷ 2/5 は、3/4 に 5/2 をかけます。2/5 倍して 3/4 になる数を探すので、反対の操作として 5/2 倍するからです。計算すると 3/4 × 5/2 = 15/8 です。15/8 に 2/5 をかけて 3/4 に戻ることも確かめられます。割る数の分子と分母を入れ替え、割られる数はそのままにします。

間違えた式を直す

分母も足すという間違いを、もう一度図で見ます。1/2 + 1/3 を 2/5 とした場合、1/2 と 1/3 は大きさの異なるひと切れなのに、分子と分母を別々に足しています。図3のように6等分にそろえれば、同じ大きさの3つ分と2つ分を合わせられます。

正しい式は 3/6 + 2/6 = 5/6 です。分母は6のままで、分子の3と2を足します。答えの 5/6 は、それぞれの分数より大きく、足し算の結果としても自然です。

別の間違いは、足し算にまたがって約分することです。例えば 1/2 + 1/4 の途中で、足し算を挟んだ分子と分母を消すことはできません。まず 1/2 = 2/4 と通分し、2/4 + 1/4 = 3/4 とします。約分は1つの分数の分子と分母、またはかけ算で積を作る分子と分母に対して行います。足し算の項を混ぜないことが修正の要点です。

引き算では、大きい分母から小さい分母を引くのも誤りです。ひと切れの大きさをそろえてから、残る個数を引きます。帯分数どうしで分数部分が引けないときは、整数の1を同じ分母の分数に直して合わせるか、初めから仮分数に直します。どちらの方法でも、引く前後の量は変えません。

計算の順番を紙の上に残す

かけ算と足し算が混ざると、通分できる数が見えたところから計算したくなることがあります。しかし、式全体にかっこがなければ、まずかけ算を計算します。例えば 1/3 + 2/5 × 5/6 では、先に 2/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3 とします。それから 1/3 + 1/3 = 2/3 です。足し算を先に行う場合は、問題の式にかっこが必要です。

もし (1/3 + 2/5) × 5/6 なら、かっこの中を先に通分します。1/3 = 5/15、2/5 = 6/15 なので、かっこの中は 11/15 です。続けて 11/15 × 5/6 = 55/90 = 11/18 となります。かっこの有無で答えが変わることを、2つの式を並べて確認できます。数字が同じでも、計算の順番は同じとは限りません。

途中の約分を使う場合も、どの数どうしを割ったかを記します。例えば 8/15 × 5/12 では、8と12を4で割り、5と15を5で割れます。残った数は 2/3 × 1/3 ですから、答えは 2/9 です。元の積 40/180 を約分しても 2/9 になるので、途中で消した数の組を確かめられます。計算が長くなるときほど、元の数と変更後の数が読めるように書きます。

分数を分数で割る式では、逆数にするのは割る数です。例えば 2/3 ÷ 4/7 は 2/3 × 7/4 と直し、14/12 = 7/6 です。答えに割る数をかけると 7/6 × 4/7 = 2/3 に戻ります。両方の分数を逆数にしてしまったときは、この戻す計算で元の数に合わないことを確かめ、割る数を丸で囲んでから書き直しましょう。

練習: 式と量を結びつける

次の4問は、先に問題を読み、どの計算を使うか決めてから取り組みます。答えと解き方は問題の後にまとめています。

1. 白いテープが 5/6 m、黄色いテープが 3/8 mあります。合わせると何mですか。
2. 2と1/4 kgの粉から 5/6 kgを使いました。残りは何kgですか。
3. 7/9 mのリボンを 3/7 倍の長さに切りました。切ったリボンは何mですか。
4. 5/8 Lの飲み物を、1人に 1/12 Lずつ注ぎます。同じ量を注げるのは何人分ですか。端数も分数で表します。

練習の答えと道すじ

1. 6と8の両方で割り切れる24に分母をそろえます。

5/6 = 20/24、3/8 = 9/24

20/24 + 9/24 = 29/24 = 1と5/24

答えは 1と5/24 mです。24分の1 mが29個という数え方を、1 mと残りに分けました。元の2本はいずれも正の長さなので、合計がそれぞれより長いことも確かめます。

2. まず 2と1/4 = 9/4 と直します。分母を12にそろえると、

9/4 = 27/12、5/6 = 10/12

27/12 − 10/12 = 17/12 = 1と5/12

答えは 1と5/12 kgです。残り 17/12 kgに使った 10/12 kgを戻すと 27/12 kgとなり、最初の 2と1/4 kgに一致します。引いた量より残りが大きくても、最初の量よりは小さいことが大切です。

3. 7/9 に 3/7 をかけます。かけ算では分子の積を分母の積で割る形にします。

7/9 × 3/7 = 21/63 = 1/3

答えは 1/3 mです。途中で7と7、3と9をそれぞれ約分しても同じ結果になります。3/7 は1より小さいので、答えが元の 7/9 mより短いことも確かめます。

4. 全体に 1/12 Lがいくつ含まれるかを求めるので、5/8 ÷ 1/12 です。割る数の逆数をかけます。

5/8 ÷ 1/12 = 5/8 × 12 = 60/8 = 15/2 = 7と1/2

答えは 7と1/2人分です。これは8人に同じ量を注げるという意味ではありません。7人に注いだ後に、もう1人分の半分が残るという量の表し方です。7と1/2 人分に 1/12 Lをかけると 15/2 × 1/12 = 5/8 Lとなり、全体に戻ります。実際に満杯で注げる人数を聞かれた場合は7人です。

問題を読み終えたら、答えの単位も最後に確かめます。長さを合わせた答えならm、重さの残りならkgです。数だけ合っていても、単位を書き違えると何を求めたかが伝わりません。分数が1より大きいか小さいかを、元の条件と比べてみることも役立ちます。見通しと異なれば、通分、計算の順番、約分のどこで変わったかを順に戻って調べましょう。

覚えておきたいこと

• 足し算と引き算は、ひと切れの大きさを通分でそろえます。
• 約分は分子と分母を同じ数で割り、量を変えません。
• 帯分数は整数の1を分数に直すと仮分数にできます。
• わり算は割る数の逆数をかけ、元の式に戻して確かめます。

家で見守るとき

お子さまが分母を足したときは、すぐに手順を言う前に、2つの分数がそれぞれどの長さを表すかを聞いてみてください。図の色のついた部分を指して説明できるなら、次に「同じ大きさに分けるには何等分にする」と一手を促します。分母をそろえた後に分子を変え忘れた場合は、もとの長さと直した長さが同じかを比べます。

帯分数で止まった場合には、整数の1を同じ分母で表すところまで一緒に確かめます。四則が混ざる場合には、何を先に求める場面かを言葉にしてもらいます。答えが出たら、逆の計算で元の量に戻す習慣をつけましょう。ひと切れの大きさと個数を見直せば、分数の式は意味を持ってつながります。