高校物理 原子 光電効果の放出条件—仕事関数と限界波長から電子が出るか判定する｜武蔵野個別指導塾

2種類の金属を同じ光で照らし、仕事関数と波長の不等式から電子が出る境界をたどる限界波長。

よくあるのは、2種類の金属の限界波長を比べ、長い方には電子が出ないと選んでしまう場面です。限界という語から、長い波長の側に出やすさがあるようには見えないかもしれません。しかし光子のエネルギーは波長が長いほど小さくなります。境界を数直線に置き、入射光の波長がどちら側にあるかを確かめると、金属ごとの判定を逆にせずに済みます。

何を比べる問題か

放出条件を問う問題には、主に3つの型があります。光子のエネルギーと仕事関数を直接比べる型、振動数と限界振動数を比べる型、波長と限界波長を比べる型です。見た目は違いますが、どれも1個の光子が電子を金属の外へ出すためのエネルギーを供給できるか、という同じ問いです。

問題文を読んだら、まず金属ごとに仕事関数または限界値を書き出します。次に、照射する光の振動数か波長を確認し、同じ種類の量で比べます。2つの金属に同じ光を当てるとき、光子のエネルギーは共通ですが、電子を外へ出すのに必要なエネルギーは金属によって異なります。光の強さが書かれていても、それを1個の光子のエネルギーに足してはいけません。

波長での判定は向きに注意が必要です。振動数が大きい光ほど光子のエネルギーは大きく、波長が短い光ほど光子のエネルギーは大きくなります。波長と振動数は逆向きに変わるので、不等号も逆になります。境界に等しい場合は、エネルギーの余りがない理想的な限界として別に考えます。

仕事関数と境界の意味

光電効果は、物質に光を当てたとき電子が外へ放出される現象です。ここでは金属表面への単色光を考えます。単色光は1つの振動数νで表し、光子1個のエネルギーはhνです。hはプランク定数、νは振動数です。真空中の波長をλ、光速度をcとすると、c = λνなので光子のエネルギーはhc/λとも表せます。波長は正の量です。

仕事関数Wは、金属中の電子を外へ取り出すために必要な最小のエネルギーです。金属の種類や表面の状態によって変わります。1個の光子が1個の電子にエネルギーを渡す高校のモデルでは、少なくともhνがWに届く必要があります。表面から最大のエネルギーで出られる電子を考えると、余りは最大運動エネルギーKmaxになります。

hν = W + Kmax
Kmax = hν - W

Kmaxは負にはなれません。したがってhν < Wなら、このモデルでは光電子は放出されません。hν > Wなら放出が可能です。hν = Wでは余りが0となり、境界として扱います。理想化したエネルギー収支上は放出の限界ですが、実際に検出器で数えられるかは表面状態や測定条件に左右されます。等号で有限の速さの電子が必ず観測されるとまでは言えません。

図1のように、光子のエネルギーを仕事関数という段差に比べます。段差に届かない場合、差を負の運動エネルギーとして採用するのではなく、放出できないと判断します。

図1の右側では、段差を越えた余りが最大運動エネルギーに対応します。すべての電子がこの最大値で出るという意味ではありません。金属内部でエネルギーを失う電子などもあるため、放出された電子の運動エネルギーには分布があります。

境界の振動数をν₀、対応する真空中の波長をλ₀とします。境界ではエネルギーの余りが0ですから、次の関係が得られます。

hν₀ = W
ν₀ = W/h
λ₀ = c/ν₀
λ₀ = hc/W

h、c、Wは正です。よって仕事関数が大きい金属ほど限界振動数は大きく、限界波長は短くなります。振動数で書けばν ≧ ν₀が理想的な放出条件です。波長に直すとλ ≦ λ₀になります。等号は先ほどの限界として読み、明らかに放出可能な側を問う場合はλ < λ₀と判断します。

光を強くすることは、振動数を固定した場合、同じエネルギーの光子の到来数を増やすことに対応します。通常の高校モデルでは、エネルギー不足の光子を何個も足し合わせて1個の電子を放出させるとは考えません。したがって限界より長い波長の光を強くしても、その条件を満たす光電子は出ません。一方、放出可能な波長なら、光の強さや検出効率は観測される電子の数に影響します。エネルギー条件と個数の条件を分けることが必要です。

基本例題：同じ光を2種類の金属へ

自作の条件です。金属Pの限界波長は600 nm、金属Qの限界波長は400 nmです。真空中の波長500 nmの単色光をそれぞれに当てます。どちらから光電子が放出可能か、等号のない不等式で答えてください。光子1個が電子1個にエネルギーを渡すモデルを使います。

まず放出可能な条件はλ < λ₀です。それぞれの境界と入射波長を同じ単位で並べます。

P: 500 nm < 600 nm
Q: 500 nm > 400 nm

Pでは入射波長が限界波長より短いので放出可能です。Qでは入射波長が限界波長より長いため、放出されません。図2のように、同じ500 nmを2本の境界に照らし合わせます。

図2のPでは500 nmが600 nmより短い側、Qでは500 nmが400 nmより長い側にあります。答えをエネルギーに戻しても確かめられます。hcは正なので、1/500 > 1/600、1/500 < 1/400です。したがって入射光子のエネルギーはPの仕事関数より大きく、Qの仕事関数より小さくなります。限界波長が長いPの方が仕事関数は小さい、という見方とも一致します。

500 nmのまま光を強くした場合、Qの境界を越えたことにはなりません。逆にQへ300 nmの光を当てれば、300 nm < 400 nmですから放出可能です。光の強さを変えた場合と、波長を変えた場合では変化させる量が違います。

標準例題：仕事関数から境界を求める

自作条件として、金属Rの仕事関数を3.00×10⁻¹⁹ Jとします。計算にはh = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/sを使います。限界波長を有効数字3桁のmで求め、波長600 nmの光による放出の可否を答えてください。1 nm = 10⁻⁹ mとします。

境界では光子のエネルギーと仕事関数が等しいので、次のように求めます。

hc/λ₀ = W
λ₀ = hc/W
λ₀ = (6.63×10⁻³⁴ J s・3.00×10⁸ m/s)/(3.00×10⁻¹⁹ J)
λ₀ = 6.63×10⁻⁷ m

Jとsが消えてmが残ります。入射波長を同じ単位に直して比べます。

600 nm = 6.00×10⁻⁷ m
6.00×10⁻⁷ m < 6.63×10⁻⁷ m

よって放出可能です。求めた境界を元の条件へ戻すと、hc/(6.63×10⁻⁷ m) = 3.00×10⁻¹⁹ Jです。仕事関数に一致するので、単位換算と境界の式を確認できます。また600 nmの光子エネルギーは3.315×10⁻¹⁹ Jで、仕事関数を上回ります。差は3.15×10⁻²⁰ Jで負ではありません。

グラフの読み取りでも関係を確認できます。縦軸を光子エネルギー、横軸を振動数とすると、E = hνは原点を通る直線です。横軸をHz、縦軸をJとすれば傾きの単位はJ sです。高さWとの交点の横座標がν₀です。波長を横軸にするとE = hc/λなので直線にはならず、右に行くほど低くなります。直線として延長してはいけません。

発展例題：境界をはさむ光の選び方

金属SとTの仕事関数をそれぞれ2.00 eV、3.00 eVとする自作モデルを考えます。単色光の光子エネルギーをE eVとしたとき、Sからは放出可能でTからは放出されないEの範囲を、境界の扱いを明記して答えてください。さらにE = 2.50 eVの光について収支を確かめます。1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ Jという計算用近似を使います。

Sについて、正の運動エネルギーを持つ電子の放出が可能な条件を立てます。Tについては放出の境界にも達しない条件を立てます。

S: E > 2.00
T: E < 3.00
両方を満たす範囲: 2.00 < E < 3.00

単位はeVです。E = 2.00 eVではSが理想的な境界にあり、最大運動エネルギーは0です。境界を放出可能に含める約束なら下端も含めます。E = 3.00 eVではTも境界に達するので、Tが境界にも達しないという条件には含めません。等号の扱いを問題の言葉とともに書けば、境界を巡る曖昧さを減らせます。

E = 2.50 eVでは、Sに対する最大運動エネルギーは次の通りです。

Kmax = 2.50 eV - 2.00 eV
Kmax = 0.50 eV
Kmax = 0.50・1.60×10⁻¹⁹ J
Kmax = 8.0×10⁻²⁰ J

収支に戻すと2.00 eV + 0.50 eV = 2.50 eVで、入射光子のエネルギーに一致します。Tでは2.50 eV < 3.00 eVなので、差の負の値を運動エネルギーとせず、放出されないと判断します。

別解として波長の大小で考えることもできます。Sの仕事関数が小さいので限界波長はTより長くなります。Sの限界波長より短く、Tの限界波長より長い波長を選べばよいのです。エネルギーの不等号を波長へ移すときに向きが反転することを、短い波長ほど高エネルギーという関係で確かめます。

測定を設計するなら、同じ金属の表面状態と照射位置をできる限りそろえ、波長を変えて光電子の信号を比べます。光の強さを変える試行は波長を固定して別に考えます。装置は模式的に捉え、実験は学校の指導の下で行います。光源に複数の波長が混じると、設定した波長より短い成分が信号を生むことがあります。光が弱すぎると、放出可能でも検出数が少なく、出ていないと誤認することもあります。

測定値が境界付近で揺れるとき、1回の有無だけで限界波長を決めるのは適切ではありません。背景の信号を照射しない条件でも調べ、波長を境界の両側で変え、繰り返しのばらつきを確認します。表面の汚れによる仕事関数の変化や波長の設定誤差も、推定した境界のずれにつながります。実際の境界が問題で与えられた値と厳密に一致するという意味ではなく、与えられた値は計算のための条件です。

間違えた答えを直す

基本例題で「600 nmのPは500 nmより限界が長いから出ない」とした場合、原因は波長の大小をエネルギーの大小と同じ向きに読んだことです。図3のように、波長が長い側ほど光子のエネルギーは小さいと矢印を添えます。そのうえで500 nm < 600 nmを書けばPは放出可能と修正できます。

図3は波長が増すとエネルギーが減る関係を示します。限界波長を超えた側が放出可能だと覚えるのではなく、hc/λとhc/λ₀を比較してください。分母が大きくなるほど正の分数が小さくなる、という算数に戻れます。

別の誤答はhν < WでもKmax = hν − Wに数値を入れ、負の運動エネルギーを答えることです。式を使う前に放出条件を確認し、届かなければ「放出されない」と書きます。強い光なら不足を補えるという誤答も、光子1個のエネルギーと単位時間に届く光子数を別々に書くと見分けられます。

練習問題

次の条件はすべて計算用の自作モデルです。放出の境界は各問の指示に従い、真空中の波長を用います。

1. 金属Aの限界波長は720 nmです。波長680 nmと760 nmの光を別々に当てます。それぞれの放出の可否を答えてください。
2. 金属B、Cの仕事関数はそれぞれ1.80 eV、2.40 eVです。エネルギー2.10 eVの光子を含む単色光で、どちらから放出可能か答えてください。放出可能な金属について最大運動エネルギーをeVで小数第2位まで求めてください。
3. 金属Dの限界振動数は5.00×10¹⁴ Hzです。振動数4.00×10¹⁴ Hzの光について、強さを増すと放出可能になるか答え、理由を述べてください。
4. 金属Eの仕事関数を4.42×10⁻¹⁹ Jとします。h = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/sとして限界波長を有効数字3桁のmで求めてください。
5. 金属Fの限界波長は450 nmです。波長450 nmの光を当てたときの最大運動エネルギーを、理想的な境界としてJで答えてください。また、必ず有限の速さの電子が検出されると言えるか答えてください。

練習の答えと考え方

1. 680 nmでは放出可能、760 nmでは放出されません。680 < 720、760 > 720だからです。エネルギーに戻すと、正のhcについてhc/680 > hc/720、hc/760 < hc/720です。前者は仕事関数を超え、後者は届きません。

2. Bからは放出可能で、Cからは放出されません。Bの最大運動エネルギーは次の通りです。

Kmax = 2.10 eV - 1.80 eV
Kmax = 0.30 eV

戻して1.80 eV + 0.30 eV = 2.10 eVです。Cについては2.10 eV < 2.40 eVなので不足します。負の値を電子の運動エネルギーとして答えません。

3. 放出可能にはなりません。4.00×10¹⁴ Hz < 5.00×10¹⁴ Hzなので、1個の光子は仕事関数に届きません。強さを増しても振動数が同じなら、1個当たりのエネルギーh・4.00×10¹⁴は変わらず、境界のh・5.00×10¹⁴より小さいままです。

4. 答えは4.50×10⁻⁷ mです。

λ₀ = hc/W
λ₀ = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(4.42×10⁻¹⁹) m
λ₀ = 4.50×10⁻⁷ m

逆にhc/(4.50×10⁻⁷ m) = 4.42×10⁻¹⁹ Jとなり、与えられた仕事関数へ戻ります。積の単位はJ mなので、Jで割ればmです。

5. 最大運動エネルギーは0 Jです。hc/450 nmが境界の仕事関数と等しいため、入射エネルギーから仕事関数を引くと0になります。逆に仕事関数に0 Jを足すと入射光子のエネルギーへ戻ります。これは理想的な境界であり、有限の速さの電子が必ず検出されるとは言えません。

境界を見るための要点

• 光子1個のエネルギーはhν = hc/λ、仕事関数は取り出しに必要な最小エネルギーです。
• 境界ではhν₀ = W、λ₀ = hc/Wです。
• 放出可能な側はν > ν₀、またはλ < λ₀です。等号は理想的な境界です。
• 光の強さと1個の光子のエネルギーは区別します。

波長の不等号を逆に書く人には、まず2つの正の分数1/λを比べてもらうと、エネルギーとの対応が見えます。負の運動エネルギーを答える人には、計算前に光子のエネルギーと仕事関数を比べる欄を作ってもらいます。個別指導では、数値を置いた数直線とエネルギー収支の両方を本人が行き来できるかを確かめます。限界波長は、放出できる側を見分ける境界です。