高校地理 ドットマップの分布—点の代表量と配置の約束から分布の限界を考える｜武蔵野個別指導塾

1点の代表量と区域内の配置を手掛かりに、住所と混同せずに読み解くドットマップの分布です。

よくあるのは、分布図に描かれた点を見て、高校生がその位置を一人ずつの住所だと思う場面です。点が人を表していても、それぞれの住所を測って置いたとは限りません。集計区域ごとの人数を一定の量で割り、区域内に点を置いた資料なら、点の位置には作成時の配置の約束が反映されます。凡例と資料の説明に戻り、何を読み取れて、どこから先は言えないのかを分けましょう。

点の読み取りで問われる判断

出方の一つは、凡例の「1点が何を表すか」と対象を確認し、点の数から代表される量を考える型です。点の個数そのものと人の数を同じ単位で扱わないことが出発点です。どの時点の、どの対象の数量なのかも資料で確かめます。点が同じ大きさでも、別の資料で代表量が異なれば、見た目をそのまま比べられません。

もう一つは、点の集まりから分布の特徴を述べ、個々の所在地を断定できるかを判断する型です。広がりや集中の様子は資料の範囲内で記述できますが、点の置き方が不明なら点の直下に対象があるとは決められません。区域ごとの合計を表すために点を配置する方法と、対象の実際の位置を点で表す方法は、見た目が似ていても根拠が違います。

さらに、同じ量を別の代表量や配置方法で表したとき、どこまで比較できるかを問う型があります。作成方法が違えば点の数や重なり方が変わります。見た目の変化をそのまま対象の増減と読む前に、対象、時点、区域、凡例、端数の処理を照合します。資料に条件がなければ、必要な条件を挙げて判断を保留します。

凡例と配置を別々に読む

ドットマップは、点を使って数量の分布を表す統計地図です。点が表す対象と1点の代表量は凡例から読みます。点を数えるときは、先に代表量を掛けられる条件かを確かめます。区域の合計を代表量で割り切れない場合、端数を切り捨てるのか、四捨五入するのかなどによって表示が変わるためです。処理が示されない場合、点数から元の合計を正確に復元できるとは限りません。

図1のように、点の意味と点を置く場所は別の約束です。例えば集計区域内に、区域の合計に応じた点を配置する資料では、1点が複数人を代表していても、点の位置がその人たちの住所を示すとは限りません。配置に土地利用などの補助情報を使う場合もありますが、その規則は資料ごとに確認します。凡例に人数が書いてあることと、住所の精度が保証されることは別です。

図1の「代表量」は点数と数量を結ぶ条件、「配置」は図上の位置を解釈する条件です。点が密な場所を見れば、資料上で点が集まっていることは言えます。一方、区域内でどの位置に点を置いたかが集計値から一意に決まらないとき、点の直下に住所や施設があるとは言えません。点が見えない場所についても、配置方法や端数処理が不明なら対象が完全にいないとは断定できません。

点の密度と人口密度も同じ語ではありません。前者は図上の点の集まり方で、後者は対象と面積を定めて計算する量です。区域の面積、縮尺、点の重なりや代表量が違う図の見た目だけで、密度の大小を厳密に決めることはできません。点が重なる図では、数えられる点が実際の点数より少なく見えることもあります。

集計区域は元の数量をまとめた範囲です。区域全体の合計がわかっても、その中の細かな分布は、それだけからは決まりません。区域を細かく分けた別の資料があれば、より細かい比較ができる可能性があります。ただし区切りや時点が変われば、元の図と単純に比較できるとは限りません。資料の空間的な細かさと位置の正確さも分けて考えます。

基本例題: 点数から代表量へ戻す

問題: 学習用に定めた数学的な条件として、ある図の凡例は1点が20人を表すとします。区域Aには重なりなく6点が描かれ、端数はなく、区域の人数をちょうど表しています。区域内の配置は人数の集計に基づき、個々の住所を示すものではありません。区域Aの人数を整数と単位で答え、点の直下に住所があると言えるかを「配置」という語を使って1文で答えてください。

図2のように、与件を表に整理します。図の数字は問題の条件であり、実在する地域の観測値ではありません。点を数える操作と、位置を解釈する操作を分けて進めます。

与件: 1点は20人で、区域Aに6点あり、端数はありません。

単位: 点数の単位は点、求める数量の単位は人です。

根拠: 各点は同じ20人を代表し、6点で区域の人数をちょうど表します。

操作: 20人を6回分として、20 × 6を計算します。

答案: 区域Aは120人です。点の配置は住所を示すものではないので、直下に住所があるとは言えません。

場面への戻し: 120人を1点当たり20人で割ると6点になり、与えられた点数に戻ります。住所については、代表量が20人であることではなく、配置の条件を根拠にします。

この問題では端数なしと指定しました。例えば点数が6点でも、実際の合計を代表量で割った後に端数を捨てる方法なら、元の人数は120人と決まらない場合があります。逆算の答えを元の場面に戻して合うか確かめるとともに、ほかの元の値も同じ表示になる可能性を調べます。

標準と発展: 条件が変わると何が変わるか

標準例題: 端数を残す方法

問題: 数学的な与件として、1点を30個の対象に対応させます。区域Bの合計は140個で、30個ごとに1点を描き、残りは点にしないとします。点は区域内に配置しますが、個々の所在地は示しません。表示する点数と点に表されない残りを、それぞれ整数と単位で答えてください。また、この点数だけから区域Bの合計を140個と特定できるか、理由を1文で答えてください。

30個のまとまりを140個から取り出すと、4まとまりで120個、残りは20個です。答えは4点と20個です。4点が代表する120個に残り20個を足すと140個に戻り、条件と一致します。5点にするには150個が必要なので、残りを勝手に1点に繰り上げることはできません。

4点という表示だけでは140個とは特定できません。例えば同じ処理の下で合計が130個でも、4点と表示されるからです。点の代表量と端数処理がわかっていても、点にしなかった残りが別に示されなければ、表示から正確な合計を一意に決められないのです。点が4個あることと、対象がちょうど120個あることも区別します。

発展示例: 別の凡例による見た目

問題: ある同一の数量を示す2枚の学習用資料があります。資料Pは1点が10単位、資料Qは1点が25単位を表し、どちらも端数なく200単位を表します。対象、時点、区域は同じですが、点の配置規則は異なります。PとQの点数を整数と単位で求め、点数の違いから数量の増減が言えるかを理由とともに2文以内で答えてください。

Pは200 ÷ 10で20点、Qは200 ÷ 25で8点です。掛け戻すとそれぞれ20 × 10と8 × 25で200単位に戻ります。点数は異なりますが、問題で同一の数量と定められているため、点数の違いを増減の根拠にはできません。1点が代表する量が違うと、同じ数量でも描かれる点数が変わります。

配置規則も異なるため、点の集まりの細かな形の違いを対象の移動と断定することもできません。移動を論じるには、異なる時点を対象とする資料や、比較可能な位置情報などが必要です。この問題にはその条件がありません。数量の比較と位置の比較では、必要な根拠が別々にあることが判断の分かれ目です。

誤答を原因までたどる

誤答: 基本例題の点の真下に、20人が住んでいると読みました。1点が20人を表すのだから、位置も20人分の住所を示していると考えたためです。しかし、人数に関する凡例を位置の精度にまで広げています。

図3のように、代表量から言えるのは、与えられた端数なしの条件の下で6点が120人を表すことです。住所については配置の説明が必要です。この問題では住所を示さないと明記されているため、直下に住むという結論は導けません。

修正後の答案は「6点は120人を表すが、点の配置は個々の住所を示さない」です。数の説明と位置の説明を別の根拠に結び付けています。120人を20人で割り6点に戻ること、さらに配置の与件と矛盾しないことを再確認します。

別の誤りは、点のない場所に対象が存在しないと決めることです。端数が点にされていない場合や、区域合計を限られた位置に配置した場合には、その結論は出ません。資料が実際の所在地を網羅していると説明しているか、集計値を配置した図かを確かめてから述べます。読み取れないと答える際も、単に「不明」とするより、欠けている配置規則や端数処理を特定すると理由が明確になります。

練習: 条件を根拠に戻す

次の問題の数量は、いずれも計算のために与えた数学的条件です。実在する地域の統計ではありません。各問題の点は重ならず、指定された点数を読めるものとします。

1. 1点が15単位を表し、端数なしで7点が描かれています。合計を整数と単位で答え、点数に戻して確かめてください。
2. 合計98単位を、1点が12単位の規則で表します。12単位ごとに1点を描き、残りは点にしません。点数と残りを整数と単位で答えてください。
3. 資料Rは1点が8単位で9点、資料Sは1点が18単位で4点です。どちらも端数なしです。代表される量をそれぞれ整数と単位で答え、点数だけで量を比較できない理由を1文で書いてください。
4. 区域Cの集計値を点で表した資料があります。点は区域内に配置されていますが、配置規則の詳細は示されていません。「点の直下に対象が必ずある」と言えるか、「配置」を使って1文で答えてください。
5. 2時点の図を比較します。対象と区域は同じですが、代表量と端数処理は資料に書かれていません。後の図の点数が多いことから数量が増えたと決められるか、確認したい条件を2つ挙げて2文以内で答えてください。

解答と考え方

1. 105単位です。15 × 7で求め、105 ÷ 15で7点に戻ります。採点では代表量と点数を掛け、単位を落とさないことを確認します。点数を人数など別の対象に勝手に読み替える必要はありません。

2. 8点と残り2単位です。12 × 8は96単位で、98から引くと2単位が残ります。96と2を合わせると98に戻り、残りは1点分の12単位より小さいので条件に合います。9点とする誤りは、残りを勝手に繰り上げたものです。

3. RもSも72単位です。8 × 9と18 × 4はいずれも72です。72をそれぞれの代表量で割ると9点と4点に戻ります。1点の代表量が異なるので、点数が多いだけでは代表される量が大きいとは言えません。採点では両方の数量と、凡例の違いを理由に含めます。

4. 必ずあるとは言えません。区域内の配置規則が不明で、点が対象の正確な所在地を示すと確認できないからです。集計区域の合計を表す点であることと、点の直下の位置が正確であることを区別できているかを見ます。逆に、必ず対象がないとも言えません。

5. 増えたとは決められません。1点の代表量と端数処理を両時点で確認します。代表量が小さくなれば、同じ数量でも点数が増え得ますし、端数処理の違いも点数に影響します。採点では2つの条件を挙げ、点数の変化だけでは増加を確定できないと述べているかを確認します。

読み直すときの要点

点の対象と代表量を凡例で確かめます。 端数処理と重なりを確認して数量を扱います。 集計区域内の配置と正確な所在地を区別します。 異なる図は時点、区域、凡例、配置をそろえて比べます。

つまずきの場所を見つける

点数の計算が合わないときは、点と対象の単位を式に書き添え、1点分を何回集めるかに戻ります。逆に、計算が合っていても住所まで断定した場合は、式ではなく配置の説明へ戻ります。点がない場所についての答案なら、端数や配置の条件が十分かを見ます。

個別指導で確かめるときは、まず本人に凡例の対象と代表量を指で示してもらい、次に答案の各部分に対応する条件を選んでもらいます。根拠が見つからない結論は、必要な条件を添えて保留します。点の意味を数量と位置に分ければ、分布図から言える範囲が見えてきます。