高校物理 コンデンサーの電荷再分配—接続前後の符号とエネルギー差を照合する｜武蔵野個別指導塾

逆向きに帯電した極板をつなぐとき、符号付きの電荷保存と熱の発生から電圧を求めます。焦点は電荷再分配。

よくあるのは、高校生が逆極接続でも電荷の絶対値を足してしまう場面です。2個のコンデンサーを充電して電池から外し、正の極板と負の極板を導線で結ぶと、それまで別々だった電荷が一つの導体に集まります。どちらの符号が残るかは、つなぐ前の符号付きの和で決まります。接続後の電圧を出したら、電荷とエネルギーがどう移ったかも確かめましょう。

接続図から問われることを読む

出方の一つは、同じ符号の極板を結び、落ち着いた後の共通電圧を求める問題です。容量が異なると、最後の各電荷は一般に等しくありません。もう一つは、正極板と負極板を結ぶ逆極接続です。最初の電荷を符号付きで加え、答えが負なら想定した電圧の向きが逆だったと読みます。3つ目は、最初と最後のエネルギーを比べ、差の行き先や移動した電荷を説明する問題です。

どの型でも、最初に電池が切り離されているか、どの極板どうしが導線でつながるかを確認します。導線をたどって一つにつながる部分を一つの導体群として囲み、接続前にそこへ含まれていた電荷の和を書きます。接続後は同じ導体群の電位が等しくなるため、それぞれのコンデンサーの電圧を共通の向きで表せます。保存と同電位は別の条件であり、両方を使うと未知数が決まります。

この話題は高校物理の電気と電流に関わる内容です。接続が落ち着いた後の状態を中心に扱い、つないだ瞬間の複雑な電流波形は求めません。導線や極板に漏れがない理想化の下で考え、現実の測定との差は後で検討します。

電荷の符号と導体群

図1のように、2組の極板の上側を導体群A、下側を導体群Bとして結びます。両者はコンデンサーの絶縁部分で隔てられ、導線で直接つながっていません。ここでは電池を外し、外部との電荷のやり取りはないものとします。最初に各コンデンサーの向かい合う極板の電荷は、大きさが等しく符号が逆です。

図1では最初にA側にある電荷が +Q₁ と -Q₂ です。電荷は接続中にAの中を移動できますが、絶縁を越えてBへ移らないので、Aの正味電荷 Q₁ − Q₂ は変わりません。B側も -Q₁ + Q₂ のままです。ここで数えるのは電荷の大きさではなく、正負を含む代数和です。回路全体の電荷が零という条件だけでは、AとBそれぞれの電荷は決まりません。

Bの電位を基準の0 V、Aの電位をVとします。基準の選び方を変えても電位差Vは変わりません。電気容量Cの定義により、A側の極板の電荷は CV、B側は -CV です。Vが負になれば、A側の極板の電荷も負です。2個の容量をC₁、C₂とすると、最後のAの電荷保存は次の式です。

Q₁ - Q₂ = C₁V + C₂V
V = (Q₁ - Q₂)/(C₁ + C₂)

最初の電圧の大きさをV₁、V₂とすると、Q₁ = C₁V₁、Q₂ = C₂V₂です。同極接続ではA側の初期電荷が +Q₁ と +Q₂ なので、分子が Q₁ + Q₂ に変わります。いずれも「最後の電圧は平均」と覚えるだけでは不十分です。同極の場合の共通電圧は容量を重みとした平均であり、単純な平均になるのは容量が等しいときです。

逆極でも、同じAからBへの向きで初期電圧を V₁ と -V₂ とすれば、一つの式 V = (C₁V₁ + C₂(-V₂))/(C₁ + C₂) で扱えます。分子が零なら両導体群の正味電荷は零で、最終電圧も零です。負ならAがBより低電位です。電圧の大きさを問われた場合は最後に絶対値を取り、極性も問われた場合は向きを添えます。

充電されたコンデンサーのエネルギーは U = CV²/2 です。Q = CVを使えば U = Q²/(2C) とも表せます。接続前のエネルギーは各容量の分を足し、接続後も各容量に共通電圧を入れて足します。電荷保存からエネルギー保存を直接結論してはいけません。接続中に電流が流れ、導線などに抵抗があれば熱が発生するためです。

基本例題：逆向きの極板を結ぶ

容量4 μFのコンデンサーを12 V、容量2 μFのものを6 Vに充電し、それぞれ電池から外します。4 μFの正極板と2 μFの負極板をA、残る極板をBとして、それぞれ導線で結びます。外部との電荷の出入りと漏れを無視し、接続回路には小さい抵抗があって十分時間がたつものとします。Bを0 Vとして、Aの電位、両コンデンサーのA側電荷、接続中に抵抗で発生した熱を、単位を付けて整数で求めてください。電圧の正負を含めます。μF・V = μC、μF・V² = μJを用います。

図2のように、接続前のA側は一方が正、もう一方が負です。AとBを直接結ぶ線はありません。図2の接続後は、どちらもA側が正になる結果を表しています。

まずA側の電荷を初期状態から数えます。

4 μF側: 4・12 = +48 μC
2 μF側: -(2・6) = -12 μC
Aの正味電荷: 48 - 12 = +36 μC

十分後はAが同電位、Bも同電位なので、電圧をVと置きます。Aの正味電荷が保存されることから、次のようになります。

4V + 2V = 36
V = +6 V
4 μF側のAの電荷 = 4・6 = +24 μC
2 μF側のAの電荷 = 2・6 = +12 μC

正の答えはAがBより6 V高いことを示します。A側の電荷を合計すると24 + 12 = 36 μCで、元のA側に戻して確認できます。B側はそれぞれ -24 μC、-12 μCとなり、初期の -48 + 12 = -36 μCと一致します。4 μF側のAの電荷は48 μCから24 μCへ減り、2 μF側のAの電荷は -12 μCから12 μCへ増えます。したがってAを通って移った正の電荷は24 μCです。

エネルギーの前後を計算します。

接続前: 4・12²/2 + 2・6²/2 = 324 μJ
接続後: 4・6²/2 + 2・6²/2 = 108 μJ
熱: 324 - 108 = 216 μJ

電源は切り離され、外部へ仕事をしない模型ですから、静電エネルギーの減少分が抵抗の熱になります。これは電荷が消滅したという意味ではありません。電荷の総量を保ったまま電位差が小さくなる方向に移り、移動の途中でエネルギーが熱へ移ったのです。

同極接続と逆転を比べる

標準例題：同符号をつなぐ

容量3 μFを10 V、容量5 μFを6 Vにそれぞれ充電して電池を外します。正極板どうしをA、負極板どうしをBに接続し、漏れを無視します。小さい抵抗を通じて十分時間がたったとき、Bを0 VとしてAの電位を小数で、各A側の電荷と抵抗で生じた熱を μC、μJで小数または整数で求めてください。

Aの初期電荷は 3・10 + 5・6 = 60 μCです。共通電圧Vは次の式で決まります。

(3 + 5)V = 60
V = 7.5 V
A側の電荷 = +22.5 μC と +37.5 μC

22.5 + 37.5 = 60 μCなので、接続前のAに戻ります。各電荷を容量で割ると両方とも7.5 Vになり、同電位条件にも合います。接続前は 3・10²/2 + 5・6²/2 = 240 μJ、接続後は 8・7.5²/2 = 225 μJです。したがって熱は15 μJです。

別解として、3 μF側からAの導線を通って正電荷x μCが移ったとします。移動後の電圧が等しいので、(30 − x)/3 = (30 + x)/5 です。これを解くと x = 7.5 μCで、両側の電荷は上の結果と一致します。移動量に注目する方法は、どちらの極板からどちらへ電荷が移ったかを問う場合に便利です。符号を含めた保存式は、逆極接続にも同じ考えで使えます。

発展例題：最終電位の符号を読む

容量3 μFを8 V、容量2 μFを5 Vに充電して電池を外します。3 μFの負極板と2 μFの正極板をA、残りをBに接続します。漏れを無視し、接続には小さい抵抗を含み、十分時間がたつとします。Bを0 VとしたAの電位、A側の各電荷、Aの導線を通って2 μF側から3 μF側へ移った正電荷、発生した熱を、小数で求めてください。

Aの初期電荷は -3・8 + 2・5 = -14 μCです。したがって 5V = -14 から V = -2.8 Vです。各A側電荷は -8.4 μC、-5.6 μCです。和は -14 μCで、B側の和は +14 μCです。Aの電位が負なので、最終的には両方ともA側が負、B側が正です。

3 μF側のA電荷は -24 μCから -8.4 μCへ増え、2 μF側は +10 μCから -5.6 μCへ減ります。よって指定した向きの正電荷の移動量は15.6 μCです。電子の移動方向はこれと逆ですが、電荷の増減を正電荷の移動として表すと、導体群の収支をそのまま読めます。

最初のエネルギーは 3・8²/2 + 2・5²/2 = 121 μJ、最後は 5・2.8²/2 = 19.6 μJです。熱は 121 − 19.6 = 101.4 μJです。電圧は負でもエネルギーは電圧の二乗で計算するため正です。答えを元の極板へ戻して並べれば、符号と移動量の両方を検査できます。

エネルギー差と抵抗の役割

AからBへの初期電圧を符号付きでu₁、u₂とすると、最後の電圧は (C₁u₁ + C₂u₂)/(C₁ + C₂) です。最初と最後のエネルギーの差を展開すると、次の形になります。

ΔU = C₁u₁²/2 + C₂u₂²/2 - (C₁ + C₂)V²/2
ΔU = C₁C₂(u₁ - u₂)²/[2(C₁ + C₂)]

差は零以上です。初期電圧が等しければ接続しても電荷の移動は不要で、差は零です。逆極ではu₁とu₂が反対符号なので、電圧差には両方の大きさが効きます。ただし電荷の保存式で絶対値を足すという意味ではありません。エネルギー差の式は電荷保存と最終状態から導かれる確認用の別解です。

抵抗がある場合、過渡電流によって抵抗が発熱します。抵抗値を小さくしても、最初と最後が同じなら、この模型で求めた熱の総量は同じです。ただし、完全な理想導線だけを置き、抵抗も他の損失もないまま、必ずそのまま静かに最終状態へ移ると断定することはできません。実際には導線の抵抗や電磁波など、エネルギーの移り先を含む模型が必要です。ここでは小さい抵抗による熱に限定して収支を扱います。

測定とグラフで考えを試す

学校の指導の下で、低電圧の電源と適切な容量・抵抗を使い、2個を充電して電源を切り離した後、抵抗を介して接続する測定を設計します。接続前に各電圧の向きと大きさを記録し、接続後は同じ基準で両端の電圧を読みます。導線の接続を確かめてから、電源からの電荷流入がない条件で比較します。接続と測定の具体的な安全条件は、使う器具に応じて指導者が決めます。

例えば同極接続で初期電圧が異なる場合、時間を横軸、AからBへの電圧を縦軸とする2本の曲線は、それぞれ異なる値から始まり、十分後に同じ値へ近づきます。共通電圧は容量の重みを付けた初期電圧の間にあります。逆極なら、同じ向きで測った初期電圧の一方は負で、0 Vの線を横切ることがあります。どちらの端子を正として読んだかを軸に明記しないと、符号の変化を誤読します。

容量の表示値のずれ、電圧計を通る微小な電流、絶縁体の漏れ、接続操作中の遅れは、理想計算との差の原因です。測定器にも電荷が移れば、2個のコンデンサーだけを孤立系とする近似が崩れます。複数の時刻の読みが落ち着いているかを確認し、同じ器具で繰り返してばらつきを見ます。読み取り値が計算と違ったときは、すぐ法則の失敗とせず、容量と接続、電圧計の負荷を順に点検します。

間違いの位置を図で見つける

図3のように、逆極接続でA側を囲んだとき、一方の電荷の符号が負になります。誤答の「Q₁ + Q₂」を見るときは、Q₁とQ₂が大きさなのか、符号付き電荷なのかを確かめます。図3では両方を正の大きさとして定義しています。

誤答1は、Aに含まれる電荷を Q₁ + Q₂ とするものです。負極板にも負の電荷があることを忘れ、正負の大きさを足したことが原因です。Aを囲み、各極板に符号を書いてから Q₁ − Q₂ と直します。Q₂が大きい場合に答えが負になることも、この式から自然に読めます。

誤答2は、接続前の各コンデンサーの電荷を、接続後もそれぞれ保存するものです。接続後のAでは極板間を導線で電荷が移動するため、個々の極板の電荷は変わり得ます。保存する対象は、外と絶縁されたA全体です。同様にB全体も別に保存します。

誤答3は、初期エネルギーと最終エネルギーを等しく置いて共通電圧を出すものです。電流の通路に抵抗があると、エネルギーの一部は熱に移ります。まず電荷保存と同電位から最終電圧を決め、前後のエネルギー差を熱として照合します。電池が接続されたままなら外部との電荷やエネルギーの出入りがあるため、この孤立系の式をそのまま使うことはできません。

5問で符号と収支を点検する

次の各問ではコンデンサーの漏れと外部への電荷の出入りを無視し、電池は接続前に切り離されています。接続回路には小さい抵抗があり、十分時間がたってから測ります。AからBへの電圧をVとし、Bを0 Vとします。電荷の単位は μC、エネルギーと熱は μJです。答えは指定がない限り整数または既約分数で、電位と電荷には符号を付けてください。いずれも計算用の架空の値で、物理定数は使いません。

1. 5 μFを4 V、1 μFを10 Vに充電し、正極板どうしをAに、負極板どうしをBに結びます。V、各A側電荷、抵抗の熱を求めてください。
2. 7 μFを3 V、2 μFを8 Vに充電し、前者の正極板と後者の負極板をA、残りをBに結びます。V、各A側電荷、抵抗の熱を求めてください。
3. 6 μFを5 Vに充電し、無電荷の4 μFと並列に結びます。充電済みの正極板を含む導体群をA、もう一方をBとします。V、各A側電荷、抵抗の熱を求めてください。
4. 2 μFを7 V、7 μFを2 Vに充電し、前者の正極板と後者の負極板をA、残りをBに結びます。V、各A側電荷、抵抗の熱を求めてください。
5. 4 μFを9 Vに充電し、3 μFを未知の電圧の大きさで充電します。前者の正極板と後者の負極板をA、残りをBに結ぶと、最後のVは +3 Vでした。未知の初期電圧の大きさ、各A側の最終電荷、抵抗の熱を求めてください。

答えと確かめ

1. Aの初期電荷は 5・4 + 1・10 = 30 μCなので、6V = 30、V = +5 Vです。A側は +25 μCと +5 μCで、和は +30 μCに戻ります。初期エネルギーは 5・4²/2 + 1・10²/2 = 90 μJ、最後は 6・5²/2 = 75 μJです。熱は15 μJです。

2. Aの初期電荷は 7・3 − 2・8 = 5 μCです。9V = 5より V = +5/9 V、A側は +35/9 μCと +10/9 μCです。和は +5 μCで、各電荷を容量で割ると両方 +5/9 Vです。初期エネルギーは 7・3²/2 + 2・8²/2 = 191/2 μJ、最後は 9・(5/9)²/2 = 25/18 μJです。熱は 191/2 − 25/18 = 847/9 μJです。

3. Aの初期電荷は 6・5 = 30 μCです。10V = 30より V = +3 V、A側の電荷は +18 μCと +12 μCです。和は30 μCに戻り、両者の電圧も3 Vです。初期エネルギー75 μJ、最後45 μJなので、熱は30 μJです。無電荷だった側も接続後は電荷を持ちます。

4. Aの初期電荷は 2・7 − 7・2 = 0 μCです。9V = 0より V = 0 Vで、各A側電荷も0 μCです。初期エネルギーは 2・7²/2 + 7・2²/2 = 63 μJ、最後は0 μJなので熱は63 μJです。符号付き電荷が打ち消し合うことと、最初のエネルギーが零でないことを分けて考えます。

5. 未知の電圧の大きさをu Vとすると、Aの保存式は 4・9 − 3u = (4 + 3)・3 です。したがって u = 5 Vです。最終的なA側電荷は +12 μCと +9 μC、和は +21 μCです。元の条件に戻すと 36 − 3・5 = 21 μCで一致します。初期エネルギーは 4・9²/2 + 3・5²/2 = 399/2 μJ、最後は 7・3²/2 = 63/2 μJです。熱は168 μJです。

手元に残す要点

• 切り離された導体群を囲み、接続前の符号付き電荷を保存します。
• 接続後は同じ導体群が同電位なので、各容量に共通の電位差を使います。
• 電圧が負なら、最初に決めた向きと実際の高低が逆です。
• エネルギー差は接続中の抵抗による熱と照合します。
• 求めた電荷を極板に戻して、各導体群の保存と共通電圧を確かめます。

どこで止まっているかを見分ける

式を立てる前に、接続後の導体群を色分けしてもらうと、保存する範囲が見えます。極板を1枚ずつ囲む場合は、導線内を電荷が移動できることを図に戻って確かめます。AとBをまとめて囲む場合は、全体の正味電荷が零でも各群の値は決まらないことを、基本例題の +36 μCと -36 μCで対比します。

個別指導で確認するのは、負の極板を含む和を自分の言葉で説明できるか、電圧の基準と正方向を図に書けるか、答えの電荷を元の群に足し戻せるかです。熱を求める段階で止まった場合は、電荷の保存とエネルギーの移動を別々に表にし、電池が外れている条件を再確認します。符号付きの和が、再分配後の極性まで決めます。