高校物理 コンデンサーのエネルギー—極板を動かす仕事と電池の仕事を区別する｜武蔵野個別指導塾

極板間隔を広げる操作で電池と外力の仕事を比べ、Q-V図の面積から収支をたどるコンデンサーの仕事。

よくあるのは、高校生が極板を動かした後の蓄積エネルギーの増加だけを電池の仕事とする場面です。電池につながった装置では、電荷が出入りする一方で、引き合う極板を動かす手も仕事をします。蓄積量の前後差を出したら、その差を誰が受け持ったかまで調べます。

平行板の端の電場を無視し、電気容量を C、正極板の電荷を Q、極板間の電圧を V とします。以下では理想電池と理想導線を用い、極板は電気的に絶縁された支持でゆっくり動かし、始めと終わりは静止しているものとします。文部科学省の高等学校学習指導要領解説の「電気と磁気」に対応する内容です。

どの条件で何を求めるか

出方の1つは、充電時の Q と V の関係から蓄積エネルギーを求める型です。最後の電圧に最後の電荷を掛けた長方形ではなく、充電途中の電圧の変化を含む面積を読みます。もう1つは、電池を外して極板を動かす型です。正極板に閉じ込められた電荷を一定として、容量と電圧を順に求めます。

3つ目は、電池を接続したまま動かす型です。電池が電圧を保つため、電荷は変化します。電池の仕事が負になることもありますから、まず仕事をする向きとエネルギーの移動先を書きます。どの型でも、電圧一定と電荷一定を同時に置けるとは限りません。

三角形の面積が表す蓄積量

図1のように、形を固定したコンデンサーでは Q=CV です。横軸を Q、縦軸を V とすると、原点から最終点への直線になります。少量の正電荷を低電位側から高電位側へ移す仕事は、その時の電圧と移した電荷の積です。電圧は初めから最終値ではなく、電荷の増加に伴って上がります。

図1の細い帯を足し合わせると、蓄積エネルギー U は直線の下の三角形の面積です。初めが無電荷なら、底辺 Q、高さ V から次のようになります。

U=QV/2=Q²/(2C)=CV²/2

3つは Q=CV で結ばれた同じ量です。比較するときは条件に合う式を選びます。Q 一定なら Q²/(2C)、V 一定なら CV²/2 が見通しよく、C が減ったときの変化は反対になります。充電前から電荷がある場合、追加の仕事は原点からの三角形全体でなく、2つの電荷の間の台形の面積です。

面積の単位も確かめましょう。1 V は 1 C の電荷当たり 1 J なので、C と V の積は J です。ここで電荷の単位 C と容量の記号 C は意味が異なります。数値の横の C はクーロン、式中の C はファラドで表す容量です。

極板の面積を S、間隔を d、間の媒質の誘電率を ε とすると、端効果を無視できる範囲で C=εS/d です。正極板から負極板への電場の大きさを E とし、V=Ed と Q=εSE を組み合わせると、この関係が出ます。間隔を広げれば容量は小さくなります。ただし実際の有限な極板では端付近に回り込む電場があり、間隔が面の寸法に比べて大きい場合はこの近似をそのまま使えません。

仕事の符号は、装置に与える向きを正と定めます。外力の仕事を W外、電池がコンデンサーへ与える仕事を W電池とすると、損失を無視した準静的操作の前後で

ΔU=W外+W電池

です。電池がエネルギーを受け取るとき W電池 は負です。電池を外した場合は W電池=0 ですが、接続した場合でも外力の仕事が消えるわけではありません。

基本例題：電池を外して引き離す

面積が変わらない平行板コンデンサーの初めの容量は 4.0 μF、電圧は 6.0 V です。充電後に電池を外し、電荷が漏れないように間隔をゆっくり2倍にします。端効果と損失を無視します。最後の容量、電圧、蓄積エネルギーの増加、外力の仕事をそれぞれ有効数字2桁で求めてください。

図2のように電池を外した後は、正極板に残る電荷が一定です。極板全体の正負の合計が零であることと、正極板の電荷が零であることは別です。

図2の初めの正極板の電荷は

Q=4.0 μF・6.0 V=24 μC

です。間隔が2倍なので容量は半分の 2.0 μF です。Q を保つため最後の電圧は 24 μC/(2.0 μF)=12 V です。エネルギーは

U初=4.0 μF・(6.0 V)²/2=72 μJ

U後=2.0 μF・(12 V)²/2=144 μJ

となり、増加は 72 μJ です。電池は切り離されているので W外=72 μJ です。引き合う極板を引き離す向きに外力を加えるため、正の仕事という符号も合います。

逆に確かめると、最後の 2.0 μF と 12 V から 24 μC が戻り、初めの電荷と一致します。エネルギーは2倍ですが、電圧も2倍であり、電荷一定の式による結果と矛盾しません。

標準例題：接続したまま広げる

初めの容量 6.0 μF の平行板を、電圧 4.0 V の理想電池につないだまま、間隔をゆっくり3倍にします。端効果と損失を無視し、初めと終わりは静止しています。最後の電荷、電池が受け取るエネルギー、外力の仕事を有効数字2桁で求めてください。

容量は 2.0 μF になり、電圧は 4.0 V のままです。正極板の電荷は初め 24 μC、最後 8.0 μC です。電池へ戻った電荷の大きさは 16 μC なので、電池が受け取るエネルギーは 4.0 V・16 μC=64 μJ です。装置へ与える符号で書けば W電池=-64 μJ です。

蓄積量は初め 48 μJ、最後 16 μJ であり、ΔU=-32 μJ です。よって -32=W外-64 を μJ 単位で解いて、W外=32 μJ です。コンデンサーから減った 32 μJ と外力から加えた 32 μJ が、合わせて 64 μJ として電池へ渡ります。最後の電荷 8.0 μC を容量で割れば 4.0 V に戻ります。

別解として極板に働く力を考えます。固定電荷 Q の平行板では、引力の大きさ F は Q²/(2εS) です。電池接続中は Q=εSV/d なので、F=εSV²/(2d²) と距離により変化します。一定の力とみなして初めの力に移動距離を掛けることはできません。上の収支を用いれば、変化する力の仕事を積分せず求められます。

発展例題：同じ開始状態から分岐する

初めの容量 3.0 μF、電圧 8.0 V、間隔 2.0 mm の平行板を考えます。端効果を無視し、間隔を 4.0 mm にゆっくり広げます。操作Aでは電池を外して電荷を保ち、操作Bでは 8.0 V の理想電池をつないだままにします。初めと終わりは静止し損失は無視します。各操作の外力の仕事と電池が装置にする仕事を、符号を付けて有効数字2桁で求めてください。また開始時の極板間の引力の大きさを求めてください。

初めの電荷は 24 μC、初めのエネルギーは 96 μJ、最後の容量は共通して 1.5 μF です。Aでは電荷が 24 μC のままなので電圧は 16 V、蓄積量は 192 μJ です。したがって W電池=0、W外=+96 μJ です。最後の 1.5 μF と 16 V の積も 24 μC になります。

Bでは最後の電圧は 8.0 V、電荷は 12 μC、蓄積量は 48 μJ です。電池へ 12 μC が戻るので W電池=-96 μJ、ΔU=-48 μJ から W外=+48 μJ です。電池が受け取る 96 μJ は、蓄積量の減少 48 μJ と外力の仕事 48 μJ の和に等しくなります。

力は仕事から導けます。電池を外した一定電荷のもとでは C=εS/d より U=Q²d/(2εS) です。間隔の増加に比例する蓄積量の増加を外力の仕事 FΔd と比べると F=Q²/(2εS) です。開始時には εS=Cd なので F=Q²/(2Cd)=U/d となり、96 μJ/(2.0 mm)=0.048 N です。AとBは開始状態が同じなので開始時の力も同じですが、その後の電荷が異なるため力の変化は異なります。

測定で関係を試すとき

学校の指導の下で、絶縁支持した平行板の間隔と容量を測る設計を考えます。面積と媒質を保ち、複数の間隔で容量を測り、横軸を 1/d、縦軸を C とすれば、理想模型では原点を通る直線です。その傾きが εS に対応します。d を横軸にしたグラフは直線ではないため、傾きが一定かどうかで比例を判定しません。

間隔は板の傾きや厚さの測定基準でずれます。端の電場、周囲の導体、配線や計器の寄生容量も測定値に影響します。零点を調べ、板の平行を確かめ、間隔を変えて繰り返す設計にすると、ばらつきと一定方向のずれを区別する手掛かりになります。寄生容量が一定なら C 軸の切片をずらしますが、端効果は間隔に伴って変わり得るので切片だけで補正できるとは限りません。これは測定の設計であり、実測値を示すものではありません。

間違いの場所を見つける

図3のように電池接続中の収支では、電池に戻る分を見落とすと、蓄積量が減ったにもかかわらず外力が正の仕事をする理由が見えなくなります。矢印はエネルギーの移動を示し、長さで量を表してはいません。

図3では外力からの入力と蓄積量の減少が電池への移動に合流します。「電池の仕事は ΔU」とした誤答は、外力の項を省いたためです。ΔU=W外+W電池 にそれぞれの符号を入れ直してください。電池が受け取る正の量と、電池が与える負の仕事を混同しないことも必要です。

別の誤答は、電池を外した後も V 一定とするものです。切断後は電荷の通路がなく、理想的には Q が保存されます。C が半分なら V は2倍です。逆に接続中に Q 一定とすると、電池との電荷の出入りを消してしまいます。まず回路の接続を描き、固定された量を丸で囲むと修正できます。

さらに QV を蓄積量とする誤りは、充電中ずっと最終電圧だったと考えたことに由来します。最初は電圧が零で、直線的に増えるので平均は最終値の半分です。電池が一定電圧で充電する場合、供給する電気エネルギー QV と最終蓄積量 QV/2 は異なり、通常の抵抗を通じた充電では残りが熱になります。損失を無視した上の極板移動の収支とは操作条件を区別します。

練習：条件を読んでから式を選ぶ

以下の各問で、平行板の端効果と損失を無視し、操作は準静的で、始めと終わりは静止しています。電池は理想的です。答えは指定の単位で有効数字2桁、仕事には装置へ与える向きを正として符号を付けてください。

1. 容量 5.0 μF の固定されたコンデンサーを無電荷から 10 V まで充電します。最後の電荷と蓄積量を求めてください。
2. 容量 8.0 μF、電圧 3.0 V の平行板から電池を外し、間隔を4倍にします。最後の電圧と外力の仕事を求めてください。
3. 容量 2.0 μF、電圧 12 V の平行板を電池につないだまま、間隔を2倍にします。電池の仕事と外力の仕事を求めてください。
4. 電池を外した平行板の正極板に 18 μC があり、容量は 9.0 μF です。間隔を2倍にする前後の蓄積量と外力の仕事を求めてください。
5. 容量 10 μF の平行板を 2.0 V の電池につないだまま、間隔を半分にします。最後の電荷と、電池および外力の仕事を求めてください。

練習の答えと確認

1. Q=CV=50 μC、U=CV²/2=250 μJ です。50 μC を 5.0 μF で割ると 10 V に戻り、Q-V図の三角形の面積も 250 μJ です。
2. Q=24 μC を保ち、容量は 2.0 μF、電圧は 12 V です。U は 36 μJ から 144 μJ に増えるため W外=+108 μJ です。最後の容量と電圧の積は元の 24 μC です。
3. Q は 24 μC から 12 μC に減ります。W電池=12 V・(-12 μC)=-144 μJ、U は 144 μJ から 72 μJ に減るので W外=+72 μJ です。外からの 72 μJ と蓄積量の減少 72 μJ が、電池に戻る 144 μJ に等しくなります。
4. 初めの V は 2.0 V、U は 18 μJ です。最後の容量は 4.5 μF、電圧は 4.0 V、U は 36 μJ となり、W外=+18 μJ です。最後の 4.5 μF・4.0 V は初めの 18 μC に戻ります。
5. 容量は 20 μF、電荷は 20 μC から 40 μC になります。W電池=+40 μJ、U は 20 μJ から 40 μJ に増えるため W外=-20 μJ です。極板は引き合う向きに動くので、それをゆっくり動かす外力は移動と逆向きです。電池の供給 40 μJ のうち 20 μJ が蓄積され、残りが外へ渡ります。

手元に残す要点

• 固定形状での蓄積量は Q-V図の三角形の面積、QV/2 です。
• 電池を外して電荷が漏れなければ Q が一定です。
• 理想電池への接続中は V が一定で、電荷は出入りします。
• 装置への仕事を正として ΔU=W外+W電池 を使います。
• 引力の大きさは一定電荷でのエネルギー変化から導けます。

どこで判断が止まったか

式を覚えていても結果が逆になる場合、最初に接続の絵を描いて電池の有無を言葉で説明してみます。絵と一定量が一致していれば、次に Q-V図の横軸と縦軸を指し、長方形と三角形のどちらが蓄積量かを確かめます。値が合っていて符号が違う場合は、電池への移動と電池からの仕事を別の矢印に直します。

個別指導では、同じ初期状態から切断と接続の2通りを口頭で比較し、最後に収支を各項の意味とともに書けるかを確かめます。計算結果を最終状態の Q=CV に戻し、エネルギーの受け渡しまで追えば、極板を動かす仕事の符号が見えてきます。