高校物理 固定端と自由端の反射—端の変位条件から反射波の形と位相を求める｜武蔵野個別指導塾

反射途中の三角形の波を重ね、端の変位と傾きから符号を選びます。波形で捉える端の反射。

よくあるのは、ひもの山が端に差しかかった図を前にして、高校生が端の点はもう動いてよいのか迷う場面です。山の全部が戻ってからなら上下を反転できても、途中では入射波と反射波が同じ場所に重なっています。端を越えて進むはずだった形を紙の上で延長し、その鏡像を足すと、途中の波形も同じ手順で描けます。固定した端と、横方向の力を受けずに動ける理想的な自由端を比べ、端の条件から符号を選びます。

端に着く前、重なっている間、戻った後

問題の型は主に3つあります。与えられたパルスの途中の形を描く型、正弦波の反射による位相の差を求める型、端から離れた点の時間変化を読む型です。いずれも、波が戻る向きと、変位が上下どちらになるかを別々に決めます。反射方向が逆になることと、変位の符号が逆になることは同じ操作ではありません。

ひもは平衡位置に沿って水平に張られ、変位は小さいとします。端は原点 x = 0、ひもがある側を x ≤ 0 とし、右を x の正方向、上を変位 y の正方向に取ります。端に入る波は右向き、戻る波は左向きです。ひもの内部の波の速さは一定で、理想的な端では入射波と同じ大きさの波が全反射するとします。異なる媒質へ一部が伝わる場合や、端での損失は扱いません。

目標は、端が満たすべき条件を先に書き、入射と反射を同じ座標で足すことです。端だけでなく、重なりのある各位置で変位を足します。戻った山を単に裏返して終える方法では、反射の途中に端がどうなるかを確認できません。

鏡像の符号を端の条件から決める

時刻 t の入射波を yᵢ(x, t) = f(x − vt) と表します。v は正の速さで、f は波形を表す関数です。例えば f の山の位置が x − vt = a なら、山は x = a + vt にあり、時間とともに右へ進みます。端の先にはひもがないので、x > 0 に描く入射波は、式を紙の上で延長した計算用の形です。実際にその領域を波が進むという意味ではありません。

この延長を端で左右に折り返し、左向きの波として yᵣ(x, t) = s・f(-x − vt) を作ります。s は +1 または -1 です。f の同じ山について -x − vt = a とおけば、山の位置は x = -a − vt となり、時間とともに左へ進みます。折り返す操作だけでは上下を決めないため、s を端の条件から選びます。

固定端は動かないので、あらゆる時刻で合成変位 y(0, t) = 0 です。端では入射も反射も同じ引数 -vt を持つため、y(0, t) = (1 + s)・f(-vt) となります。任意の入射波に対してこれが0となるには s = -1 です。入射の上向きの変位に反射の同じ大きさの下向きの変位が重なり、端で打ち消し合います。端の点が動かないのであって、入射波も反射波もそれぞれ端で常に0という意味ではありません。

理想的な自由端では端の横方向の力が0です。変位が小さいひもでは横方向の力は端のひもの傾きに対応し、端での合成波形の傾きが0になります。入射波の端での傾きを正とすると、左右に折り返した波形の傾きは符号が逆です。s = +1 なら両者の傾きが打ち消され、端で水平になります。上下の変位は加わるので、端は一般に動きます。自由端で常に y = 0 とするのは固定端の条件との取り違えです。角のあるパルスでは尖った点の瞬間を除いて左右の傾きを考え、その瞬間は連続な波形としてつなぎます。

図1のように、端における二つの条件を分けてから、延長した入射波の鏡像の符号を選びます。図1は端の近くを模式的に表し、線の高さは変位です。固定端では変位の和が0、自由端では傾きの和が0です。

同じ振動数の正弦波なら、固定端の反射波は、端で比較した入射波と反対向きに振動し、位相差は π です。自由端では同じ向きに振動し、位相差は0です。π は半周期に相当する角度です。位相は同じ位置・同じ時刻の変位の振動を比べ、途中の位置では往復の距離による位相差も別に数えます。端の反転だけを、離れた場所での位相差の全体とみなすことはできません。

基本例題：山が端に差しかかる瞬間

右端 x = 0 のひも上で、時刻 t = 0 s の入射パルスは x = -6 m、-4 m、-2 m でそれぞれ変位 0 cm、2 cm、0 cm となり、その間は直線、それ以外は0です。波は形を変えず右へ 2 m/s で進みます。端は固定端または理想的な自由端です。t = 1.5 s の合成波形を、折れ点の座標を使って cm と m で答えてください。計算上は長さと変位をそれぞれ指定の単位で扱い、端の先にはひもがないものとします。

1.5 s で入射波の各点は右へ 3 m 動きます。計算用に延長すると、左端は x = -3 m、山は x = -1 m、右端は x = 1 m です。この時刻の入射波の実在する側は、(-3 m, 0 cm)、(-1 m, 2 cm)、(0 m, 1 cm) を直線で結びます。端の先の部分を左右に折り返すと、反射波は x = -1 m から x = 0 m までにあり、端に向かって 0 cm から 1 cm へ直線的に増えます。

固定端では、折り返した部分の符号を逆にします。反射波は (-1 m, 0 cm) から (0 m, -1 cm) までの直線です。入射波に加えると、合成波は (-3 m, 0 cm)、(-1 m, 2 cm)、(0 m, 0 cm) を直線で結び、それより左は 0 cm です。端では 1 cm と -1 cm が重なり、合成変位は0です。

自由端では上下を反転せず、反射波を入射波に加えます。合成波は (-3 m, 0 cm) から (-1 m, 2 cm) まで直線で増え、そこから端までは 2 cm の水平線です。それより左は 0 cm です。端の値は 1 cm + 1 cm = 2 cm です。端に向かう入射波の傾きと反射波の傾きは、延長部分を左右に折り返すことで互いに反対になり、合成波は端で水平です。

図2のように、同じ入射波でも合成波は端の種類で変わります。確認として、端に達する前の t = 0 s では延長部分が端に届かず、実在する領域に反射波はありません。t = 1 s には入射波の先端が端に達して変位はまだ0です。t = 3 s には反射後の波が x = -4 m から 0 m に広がり、頂点 x = -2 m の変位は固定端で -2 cm、自由端で 2 cm です。速さと移動距離を戻して照合すると、t = 1.5 s の形は前後の形にもつながります。

標準例題：端から離れた点の時間変化

端 x = 0 は固定端とします。時刻 t = 0 s に x = -9 m、-7 m、-5 m の変位が順に 0 mm、3 mm、0 mm で、間は直線、それ以外は0のパルスが右へ 1 m/s で進みます。観測点 x = -2 m の変位が変化する時刻と各折れ点の変位を、秒と mm で答えてください。

まず入射波の左端、頂点、右端が観測点に来る時刻を考えます。右端から順に 3 s、5 s、7 s です。入射波だけなら、観測点の変位は (3 s, 0 mm)、(5 s, 3 mm)、(7 s, 0 mm) を直線で結びます。一方、右端が端に達するのは 5 s、頂点は 7 s、左端は 9 s です。そこから観測点まで戻るのに 2 s かかるので、反射波は 7 s、9 s、11 s の順に右端、頂点、左端が到達します。固定端なので頂点は -3 mm です。

したがって観測点の合成変位は、(3 s, 0 mm)、(5 s, 3 mm)、(7 s, 0 mm)、(9 s, -3 mm)、(11 s, 0 mm) を順に直線で結び、それ以外は0です。7 s は入射の終わりと反射の始まりが重なる時刻ですが、その両方の値は0です。到達時刻は波形のどの点を追っているかを明記すると、山と先端を混同せずに済みます。

別の求め方として、観測点から端までの往復距離 4 m に着目します。観測点を通過した各点が端で反射して再びそこに来るのは 4 s 後です。よって入射時刻 3、5、7 s に4 sを足し、変位の符号を反転して同じ結果を得ます。波の速さが往路と復路で等しいという条件があるからこそ、この往復時間を共通に使えます。

発展例題：位相差に往復距離を加える

端 x = 0 が固定されたひもに、波長 8.0 m、周期 4.0 s、振幅 2.0 cm の正弦波が右向きに入射しています。端での入射変位は t = 0 s に0で、その直後は下向きに変化します。端での反射波を含め、x = -1.0 m における入射波と反射波の位相差を、反射波から入射波を引いた値として 0 以上 2π 未満の範囲で答えてください。角はラジアンで表し、π は円周率とします。反射がすでに観測点まで届いているものとします。

波数を k = 2π/(8.0 m) = π/4 rad/m、角振動数を ω = 2π/(4.0 s) = π/2 rad/s とすると、条件に合う入射波は yᵢ = 2.0・sin(kx − ωt) cm です。端では t = 0 s の直後に負となるので、初期条件も合います。固定端の反射波は yᵣ = -2.0・sin(-kx − ωt) cm です。sin(-θ) = -sin(θ) を使うと yᵣ = 2.0・sin(kx + ωt) cm とも書けます。

両者を時間について同じ正の向きの位相で比べるため、入射波を 2.0・sin(ωt − kx + π) cm、反射波を 2.0・sin(ωt + kx) cm と書き直します。反射から入射を引くと 2kx − π です。x = -1.0 m では -π/2 − π = -3π/2 で、2π を加えた π/2 rad が指定範囲の答えです。位相差に整数倍の 2π を加えても同じ振動を表します。

距離からも照合できます。観測点を過ぎた入射波は端まで 1.0 m 進み、同じ距離を戻るため、反射波は入射波に対して往復 2.0 m 分、すなわち半周期ではなく波長の 1/4 に当たる π/2 rad だけ遅れます。さらに固定端の反転で π rad を加えた差は π + π/2 = 3π/2 rad の遅れです。反射から入射を引いた位相は -3π/2 rad、すなわち π/2 rad です。足し引きの向きを指定せず「π/2ずれる」とだけ書くと、どちらが先かを検査できません。

自由端に変更すれば、同じ観測点での位相差は距離による -π/2 rad、指定範囲では 3π/2 rad です。端に近づければ、固定端は π、自由端は0に近づき、先に決めた端の条件に戻ります。これは距離による遅れと反射時の符号を別々に扱った確認です。

誤答を端と傾きで見直す

基本例題の t = 1.5 s に、固定端でも鏡像を上下反転せず、端の変位を 2 cm と答えたとします。左右の折り返しはできていますが、端での変位の和を見ずに、自由端の符号を使ったことが原因です。入射が端で 1 cm のとき、固定端なら反射は -1 cm でなければなりません。両者を足して0に修正します。

図3のように、誤った形は端で動かないという条件に反します。図3の下段は正しい合成波です。端での変位が0になることを理由に反射波も0と考えず、それぞれの成分が反対符号で重なっていると読みます。

反対に、自由端で端の変位を0にする誤りもあります。このときは変位ではなく傾きを確認します。端に向かって上る入射部分と、端の先の延長を折り返した反射部分は傾きが逆です。同じ符号で重ねれば傾きが相殺されます。波形の色や山の名前だけで決めず、問題が指定した端の物理的な条件に戻ると、途中の図でも判断できます。

反射の前後を連続して追う

基本例題では、t = 1.5 s の直後にも端に波が入り続けます。t = 2 s には延長した山の頂点が端に達し、固定端では入射部分と上下を反転した反射部分が実在側で打ち消し合います。自由端では両者が同じ向きに加わります。この瞬間に生じる角は、直線をつないだ理想的なパルスの尖りが端を通るためのものです。傾きが定義できないその瞬間を除き、自由端の傾きは0です。現実の滑らかな山では頂点の傾きも滑らかに変化します。

その後、延長した入射波は右へ進み、折り返した反射波は左へ離れます。t = 3 s には入射部分が実在側からなくなり、反射波だけが残ります。固定端では山が谷になり、自由端では山のままです。途中の重ね合わせがどうであれ、波の各点は同じ速さで移動し、反射が終わった後の高さは理想条件の下で入射時と等しくなります。

同じ場面を図で確かめるときは、まず端に到達する先端、次に頂点、最後に後端の順序を書きます。右向きの先端は右側、戻る波の先端は左側です。移動方向が変わると先端と後端の見かけの左右も入れ替わるため、単に波全体を左右へ移すだけでは、非対称なパルスで形を間違えます。非対称な波でも端を挟んだ鏡像を使えば、折り返す位置と符号を同じ手順で決められます。

端での位相についても、符号反転と時間の遅れは区別します。正弦波の反射係数が固定端で -1、自由端で +1 という表現は、端で同じ時刻に比べた振幅の比を意味します。観測点での比は、端までの往復にかかる時間だけ変化します。発展例題のように、どちらの位相からどちらを引くかを指定すれば、同じ波を異なる範囲の角で表した答えも比較できます。

観察を設計し、波形のグラフを読む

学校の指導の下で、端の動きを固定する場合と、端が横方向に動けるようにする場合を比べる観察を考えます。同じひもに近い大きさの小さなパルスを作り、横から撮影して、ひもの平衡位置、端の位置、一定の時間間隔を記録します。自由端は動きやすい支持を用いても摩擦や質量が残り、理想的な境界からずれることがあります。無理に張力を上げず、装置の扱いは指導者の指示に従います。

撮影画像の横軸を位置、縦軸を変位として同じ時刻の形を読み取ると、端の近くで固定端は変位が小さく、自由端は傾きが小さくなるかを比較できます。一方、1点の位置を固定して横軸に時間を取ったグラフでは、入射と反射の通過を順に読みます。二つの山の間隔は時間であり、そのまま波長ではありません。速さが一定なら、時間間隔に速さを掛けて移動距離に直します。

目盛りの読み取り幅、動画の時間間隔、端の位置のずれを記録すると、差の原因を検討できます。例えば時間間隔が粗いと、端での最大変位の瞬間を逃して最大値を小さく読むことがあります。固定端でも支持点がわずかに動くと、合成変位が厳密に0から外れます。反射波の振幅が入射波より小さい場合は、完全反射の計算と実測を区別し、摩擦や損失、読み取りのずれを候補として調べます。1回のずれだけから原因を断定せず、繰り返した記録と装置の状態を比べます。

練習：条件を変えて端に戻す

各問では、端を x = 0、ひもを x ≤ 0 に置き、右向きを正、上向きを変位の正とします。波は理想的に反射し、速さは一定です。指定した単位で正確に答えてください。必要な三角関数の値は sin(π/2) = 1、sin(π) = 0 です。

1. 固定端において、ある瞬間の端での入射変位が -1.5 cm です。同じ瞬間の反射変位と合成変位を cm で求めてください。
2. 理想的な自由端で、ある瞬間の端での入射変位が 0.8 mm です。端での反射変位と合成変位を mm で求めてください。
3. 固定端で反射する右向き三角パルスが、t = 0 s に x = -12 m、-10 m、-8 m で順に 0 cm、1 cm、0 cm です。間は直線、それ以外は0で、速さは 2 m/s です。t = 5 s の合成波形を x ≤ 0 の範囲で答えてください。
4. 自由端から 3 m の観測点を、右向きパルスの頂点が t = 2 s に通過します。速さは 3 m/s、頂点の入射変位は -4 mm です。反射した頂点が観測点を通る時刻と、その反射変位を答えてください。その時刻には入射成分は観測点にないものとします。
5. 自由端で反射する波の波長は 12 m です。反射が届いている点 x = -3 m で、反射波から入射波を引いた位相差を 0 以上 2π 未満のラジアンで求めてください。位相は時間とともに増える形で比べます。

練習の解答と途中式

1. 固定端では入射と反射の和が0です。反射変位は 1.5 cm、合成変位は -1.5 cm + 1.5 cm = 0 cm です。正負を戻して足すと、端が動かない条件に合います。

2. 自由端の反射変位は端で入射変位と同符号・同じ大きさです。反射は 0.8 mm、合成は 0.8 mm + 0.8 mm = 1.6 mm です。反射波の傾きは鏡像により入射波と逆になり、端で傾きが相殺されます。

3. 5 s で入射波は 10 m 進みます。延長した入射波の頂点が端に来るため、実在側の入射部分と、上下を反転した反射部分は同じ範囲 x = -2 m から 0 m で逆符号です。合成波は x ≤ 0 の全域で 0 cm です。端の入射変位 1 cm と反射変位 -1 cm の和も0です。

4. 観測点から端までの往復距離は 6 m で、所要時間は (6 m)/(3 m/s) = 2 s です。したがって反射した頂点は t = 4 s に通過し、自由端なので反射変位は -4 mm です。観測点から端まで 1 s、端から観測点まで 1 s と分けても同じ時刻に戻ります。

5. 観測点から端まで往復 6 m で、波長の半分です。自由端では反射による符号反転がないため、反射波は距離によって π rad 遅れます。反射から入射を引くと -π rad で、指定範囲では π rad です。往復距離を波長で割ると (6 m)/(12 m) = 1/2 となり、半周期の差と一致します。

端に戻るための要点

固定端は合成変位が0、自由端は合成波形の傾きが0です。
延長した入射波を左右に折り返し、固定端では上下を反転します。
反射途中は入射波と反射波の変位を位置ごとに足します。
離れた点の位相差には端での反転と往復距離の両方が効きます。

どこで迷っているかを確かめる

端での値が合わないときは、まず入射波と反射波を別々に描き、それぞれの端の変位を声に出して足してみます。波の進む方向は正しくても、反射の符号を選ぶ段階で混乱していることがあります。自由端を0にしてしまう場合は、2本の波形の端の傾きを指で追い、和の傾きがどうなるかを比べます。

個別指導で確認するなら、時刻を1つ指定して延長部分の鏡像を描き、固定端と自由端の両方で合成波を説明してもらいます。さらに観測点を端から離し、往復距離を図に書いてから位相差を求めると、端での符号と伝わる間の遅れを混ぜていないか確かめられます。式の符号は、最後に端の条件へ戻して点検できます。