高校数学III 定積分と基本定理—連続性と原始関数を確認して端点を代入する｜武蔵野個別指導塾

分母の零点が区間内にある場合と、区間分割や向きを変える場合を比べ、端点代入を支える定積分の基本定理に迫ります。

よくあるのは、区間内に分母の零点がある式でも、原始関数に両端を代入するという場面です。端点で値が出ると計算は進んだように見えますが、その間で関数が定義されないなら、定積分の基本定理をその区間に適用する根拠がありません。端点だけでなく間の様子も点検してから、原始関数の差を作りましょう。

数学IIIの積分では、積分の基本性質と計算方法を考えます。ここでは定積分の値とその性質に焦点を当て、面積や体積の問題には進みません。

どこで判断が分かれるか

最初の型は、連続な関数の原始関数が見つかり、上端の値から下端の値を引く問題です。計算に入る前に、指定された閉区間で被積分関数が連続かを確認します。多項式はどの実数でも連続ですが、分数では分母が0にならないことを別に調べます。

次の型は、積分の向きや途中の点を使って式を整理する問題です。上下端を交換すると符号が変わり、途中の点で区間を分けると2つの積分の和になります。途中の点が両端の間にない場合も、有向の積分として式は成り立ちます。図を見ずに大小だけで符号を決めるのではなく、端点の並びを追います。

もう1つは、公式を使う条件が欠けた式を見分ける問題です。分母の零点が区間に含まれるとき、両側に同じ形の原始関数があっても、それを区間全体の原始関数として扱えません。公式を使えないと判断することも、計算の大切な結果です。

原始関数の差が表すもの

fが閉区間[a, b]で連続で、a<bとします。区間上でF′(x)=f(x)を満たすFをfの原始関数といいます。このとき定積分の基本定理により、次の式が成り立ちます。

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)

図1のように、同じ原始関数の上端の値と下端の値を対応させます。上端の値そのものが答えなのではなく、その値から下端の値を引いた差が答えです。

図1の矢印はaからbへの向きを示します。Fに定数Cを加えたG(x)=F(x)+Cも原始関数ですが、G(b)-G(a)はF(b)+C-F(a)-Cなので、差を取るとCは消えます。各端点で別々の定数を選ぶのではなく、同一区間上の同じ原始関数を使うことが、この消去の前提です。

基本定理の見通しも確認しましょう。A(x)=∫[a→x] f(t) dtとおくと、連続性のもとでA′(x)=f(x)です。したがってAとFの導関数は等しく、その差は定数です。A(a)=0からA(x)=F(x)-F(a)となり、x=bを代入すれば上の式を得ます。積分変数tは和を作るための記号で、Fの入力xとは役割が異なります。

向きを反対にした積分は∫[b→a] f(x) dx = -∫[a→b] f(x) dxと定め、同じ端点なら∫[a→a] f(x) dx = 0とします。さらに、関係する範囲でfが連続なら、任意の3点a、b、cについて次の分割が使えます。

∫[a→c] f(x) dx = ∫[a→b] f(x) dx + ∫[b→c] f(x) dx

F(b)-F(a)とF(c)-F(b)を足すと中間の値が消えるためです。bがaとcの間にないときも、向きを含めて同じ計算で確かめられます。なお、被積分関数が途中で定義されないときに、その点を単に分割点にすればよいわけではありません。各区間で定積分が定義される条件を改めて確認します。

基本例題：差を作る順序

次の定積分を整数で求めてください。

∫[1→3] (2x + 1) dx

被積分関数は多項式なので、閉区間[1, 3]で連続です。F(x)=x²+xとすると、微分してF′(x)=2x+1となります。したがって基本定理を適用できます。

図2のように、1から3へ進む向きと、両端でのFの値を対応させます。下端の値を引く括弧を残して計算します。

F(3) = 3² + 3 = 12
F(1) = 1² + 1 = 2
∫[1→3] (2x + 1) dx = F(3) - F(1)
                         = 12 - 2
                         = 10

図2の2つの値の差が10です。Fに定数を加えても両端で同じ定数が引き合うので、積分定数を答えに残す必要はありません。逆向きなら同じ差を逆順に取り、値は-10です。被積分関数はこの区間で正なので、正向きの答えが正であることも符号の照合になります。

標準例題：向きと分割を同時に使う

f(x)=3x²-2xとします。∫[2→-1] f(x) dxを整数で求め、途中の0で分けた結果と照合してください。

fは多項式なので、関係する区間[-1, 2]で連続です。F(x)=x³-x²はF′(x)=3x²-2xを満たします。向きが右から左であっても、上端と書かれた-1の値から下端2の値を引きます。

F(-1) = (-1)³ - (-1)² = -2
F(2) = 2³ - 2² = 4
∫[2→-1] f(x) dx = F(-1) - F(2)
                     = -2 - 4
                     = -6

0で分けると、F(0)=0なので次の通りです。

∫[2→0] f(x) dx = F(0) - F(2) = -4
∫[0→-1] f(x) dx = F(-1) - F(0) = -2
∫[2→0] f(x) dx + ∫[0→-1] f(x) dx = -6

どちらの小区間も元の向きに沿っています。分割するときは、最初の終点と次の始点がともに0であることを確認します。0を挟むという操作で符号をもう1回変える必要はありません。

発展例題：積分値から係数を決める

実数pについて、f(x)=x²+px+1とします。∫[-1→2] f(x) dx = 6となるpを分数で求め、元の条件に戻して確かめてください。

任意の実数pに対しfは多項式ですから、[-1, 2]で連続です。原始関数をF(x)=x³/3+px²/2+xとおけば、微分するとf(x)に戻ります。端点の代入を先に整理します。

F(2) = 8/3 + 2p + 2 = 14/3 + 2p
F(-1) = -1/3 + p/2 - 1 = -4/3 + p/2
F(2) - F(-1) = 6 + 3p/2

これが問題の条件で6に等しいので、3p/2=0、したがってp=0です。条件に戻すとf(x)=x²+1であり、原始関数x³/3+xの端点の差は14/3-(-4/3)=6です。未知数を含んでいても、最初に連続性と原始関数の微分を確認すれば、差についての一次方程式に帰着します。

この問題ではpがどの実数でも連続性が失われません。一方、未知数が分母に入る問題では、その値によって区間内に零点が現れる場合があります。方程式の解を得た後も、元の被積分関数が区間で定義されるかに戻って点検する必要があります。

誤答を直す：零点をまたぐ差

次の式を考えます。

∫[0→2] 1/(x-1) dx

誤ってlog|x-1|の両端を代入すると、log 1-log 1=0となります。しかし、これを定積分の値としてはいけません。x=1で分母が0となり、被積分関数は閉区間[0, 2]上で定義されず、連続でもないからです。

図3のように、区間の途中に切れ目があります。左側と右側ではそれぞれlog|x-1|の導関数が1/(x-1)ですが、切れ目を含む区間全体の原始関数として扱う条件は満たされません。

図3の零点を端点にして形式的に2つに分けても、x=1で関数が定義されない事実は変わりません。ここで扱う通常の定積分としては、この式に基本定理を適用して値を出せません。端点がともに有限の値を与えることと、区間全体で定理の仮定が成り立つことは別です。

修正の手順は、まず分母x-1=0を解いてx=1を得ることです。次に1が0と2の間にあると確認し、端点代入を止めます。分母が0になる点が区間の外なら、閉区間上の連続性を確認したうえで原始関数の差に進めます。例えば区間を[2, 3]に変えれば零点を含まず、差はlog 2-log 1=log 2です。

端点自体が零点の場合も見落とせません。分母が端点で0なら、その閉区間で連続という仮定を満たさないため、同じ公式をそのまま使えません。また、途中の不連続を見落として得た数値が偶然きれいな整数でも、定理の適用を正当化することはできません。

練習：端点と条件を自分で追う

それぞれ、通常の定積分として考えてください。値を求める問題では整数または分数で正確に答え、適用できない場合はその理由を記してください。

1. ∫[-2→1] (4x+3) dxを求めてください。
2. ∫[3→1] (x²-1) dxを求めてください。
3. 連続な関数gについて、∫[-3→1] g(x) dx=5、∫[-3→4] g(x) dx=-2です。∫[4→1] g(x) dxを求めてください。
4. ∫[1→4] (2x+q) dx=21となる実数qを求め、条件に戻してください。
5. ∫[-2→2] 1/(x+1) dxに基本定理をそのまま適用できるか判定してください。

練習の解答と確認

1

4x+3は全実数で連続です。F(x)=2x²+3xはF′(x)=4x+3を満たすので、端点の差を計算します。

F(1) = 2 + 3 = 5
F(-2) = 8 - 6 = 2
∫[-2→1] (4x+3) dx = 5 - 2 = 3

差が3となることを元の端点の順序で確認できます。下端の値を引く前に負号を付け直すと答えが変わるため、括弧の中まで計算してから引きます。

2

x²-1は[1, 3]で連続で、F(x)=x³/3-xの導関数はx²-1です。向きは3から1です。

F(1) = 1/3 - 1 = -2/3
F(3) = 27/3 - 3 = 6
∫[3→1] (x²-1) dx = -2/3 - 6
                        = -20/3

逆向きの∫[1→3]は20/3です。区間[1, 3]でx²-1は負でないため、その正向きの値が正、元の逆向きの値が負であることも一致します。

3

連続性により区間分割を使えます。まず共通の始点-3から1までを、途中の4を経由する形にします。

∫[-3→1] g(x) dx = ∫[-3→4] g(x) dx + ∫[4→1] g(x) dx
5 = -2 + ∫[4→1] g(x) dx
∫[4→1] g(x) dx = 7

4は-3と1の間にはありませんが、有向の積分では4から1に戻る部分を含めて等式が成り立ちます。答えの7を右辺に戻すと-2+7=5となり、与えられた積分値を再現します。

4

2x+qはqの値によらず連続です。F(x)=x²+qxとおくと、F′(x)=2x+qです。

F(4) = 16 + 4q
F(1) = 1 + q
∫[1→4] (2x+q) dx = 15 + 3q
15 + 3q = 21
3q = 6
q = 2

元の式は2x+2です。原始関数x²+2xの値の差は、24-3=21なので条件に戻ります。係数を決めたら方程式だけでなく、元の積分にも戻すと端点の計算を点検できます。

5

分母x+1はx=-1で0となり、その点は区間[-2, 2]に含まれます。したがって被積分関数は閉区間で連続ではなく、基本定理をそのまま適用できません。

両端でlog|x+1|を計算して差を作る方法は、途中の零点を無視しています。零点の位置を元の区間に戻して確かめることが、この判定の検算です。

手元に残す要点

• 閉区間での連続性を確認し、原始関数を微分して被積分関数に戻します。
• 定積分は同じ原始関数の上端の値から下端の値を引きます。
• 端点を交換すると符号が変わり、分割した積分は向きをそろえて足します。
• 分母の零点が区間にあれば、そのまま端点を代入できません。

式のどこで止まったかを見分ける

端点の引き算を誤る場合は、F(a)とF(b)を別行に書いた後、F(b)-F(a)の括弧まで残しているかを見ます。値は正しく出ていても逆向きの積分で符号を変え忘れる場合は、端点の並びを矢印に戻して説明してもらいます。

個別指導では、分母の零点を計算した後に、それが閉区間の内側や端点にあるかを本人の言葉と数直線で確認します。端点を代入する前の条件と、代入した後の符号の両方を確かめれば、定積分の基本定理を使える範囲が明確になります。