高校数学III 積分法の選択—式を変形して置換と部分積分の分かれ目を読む｜武蔵野個別指導塾

内側の導関数を探す置換と、多項式の次数を下げる部分積分を比べ、分数の整理からも積分方法を選び直せます。

よくあるのは、積を見ただけで部分積分を選び、計算するほど式が長くなる場面です。たとえば、ある因子がもう一方の内側の導関数なら、積の形でも置換によって一つの関数にまとまります。一方、内側の導関数が見当たらず、多項式を微分すれば次数が下がる積には、部分積分が有効です。最初の一行を選ぶ前に、式の中にどんな関係があるかを調べましょう。

学習指導要領の数学IIIには、置換・部分積分と式の変形による方法の考察が含まれます。ここでは不定積分の方法選択を扱い、面積や体積の応用には進みません。

最初の形から見える3つの道

まず、合成された関数の内側と、その導関数が因子としてあるかを探します。x cos(x²) なら、x²の導関数は2xです。係数2は定数倍で補えるので、置換の候補ができます。積だからといって、そのまま2つの因子を部分積分に割り当てる必要はありません。

次に、多項式と指数関数や三角関数の積を見ます。たとえば x eˣ では、eの指数の導関数は1であり、余分なxを置換で吸収できません。xを微分すると1になるので、部分積分後に残る積分は簡単になります。どちらの因子を微分するかは、残る積分が元より扱いやすいかで決めます。

もう一つは、分数を先に整理する型です。分子の次数が分母以上なら、整式の除法で多項式と真分数に分けられます。また、分子が分母の導関数に定数を加えた形なら、その2つに分けて別々の方法を選べます。見かけの形を一度整えると、置換が使える部分と、別の処理が必要な部分が区別できます。

選択の根拠を式に残す

区間上でF′(x)=f(x)となるFをfの原始関数といい、その区間での不定積分をF(x)+Cと表します。Cは任意定数です。以下では各問題の被積分関数が連続な区間を指定します。答えを微分して元の関数に戻ることが、選んだ方法の最後の確認です。

置換の根拠は合成関数の微分です。gが微分可能で、F′=fなら、F(g(x))の導関数はf(g(x))g′(x)です。したがって、内側gとその導関数g′がそろえば、t=g(x)と置き、dt=g′(x) dxに対応させられます。係数が定数倍ずれている場合は外に出せますが、xを含む不足分を勝手に定数扱いすることはできません。

部分積分は積の微分から得ます。uとvが微分可能で必要な導関数が連続なら、(uv)′=u′v+uv′です。両辺の原始関数を考えると、∫ u v′ dx = uv − ∫ u′v dx となります。右辺の積分が簡単になるようにuとv′を選ぶのが判断の中心です。公式を使えることと、計算が進むことは別なので、選択後に残る式まで予想します。

図1のように、まず式を整え、内側の導関数があるか、微分で次数が下がるかを順に調べます。どちらにも直ちに当てはまらなければ、分解や恒等式を使って形を変え、もう一度判断します。

図1の分岐は優先順位の目安です。複数の方法が使えることもありますが、変換後に元の変数が残らないこと、または残る積分が簡単になることを確認して選びます。分母がある場合は、分母が0になる点を除いた区間で考えます。

基本例題：積でも置換が先に見える場合

実数全体で、∫ x(x²+3)⁴ dx を求め、積分定数を含む式で答えてください。

図2のように、内側のx²+3を微分すると2xとなります。外のxと定数倍の違いしかないため、置換すると積全体がtのべきに変わります。

図2で外の因子を2倍した分は、積分の外に1/2を置いて調整します。x²+3は全実数で微分可能で、被積分関数も連続です。

t = x²+3
 dt = 2x dx
∫ x(x²+3)⁴ dx = (1/2)∫ t⁴ dt
= t⁵/10+C
= (x²+3)⁵/10+C

1行目で内側をtに置き、2行目で微分の対応を書きました。3行目はx dxをdt/2に替えた結果です。4行目ではべきの原始関数を使い、最後に元の変数へ戻しました。答えの導関数は (1/10)・5(x²+3)⁴・2x=x(x²+3)⁴ なので、元の条件に戻ります。

ここで部分積分を試すと、uを(x²+3)⁴、v′をxとした場合、u′に3乗が残り、さらにx²が掛かります。計算は可能でも、まず内側と導関数の関係を使えば短く済みます。逆に、t=x²+3と置いてもx dxを同時に替えずに残すと、積分変数が混在します。置換が成立したかは、変換後の積分がtとdtで完結しているかで判断できます。

標準例題：似た積で方法を切り替える

実数全体で、∫ x e²ˣ dx を求め、積分定数を含む式で答えてください。

指数の内側2xの導関数は2です。外のxは定数倍では補えないため、基本例題と同じ置換ではxが残ります。一方、xを微分すると1に下がり、e²ˣは積分しても同じ型です。両因子とその導関数は連続なので、u=x、v′=e²ˣとして部分積分を使います。

u = x,  u′ = 1
v′ = e²ˣ,  v = e²ˣ/2
∫ x e²ˣ dx = x e²ˣ/2 - (1/2)∫ e²ˣ dx
= x e²ˣ/2 - e²ˣ/4+C

2行目のvは微分するとe²ˣに戻ります。3行目のマイナスは積の微分を移項したことによるものです。最後の式を微分すると、積の微分からe²ˣ/2+x e²ˣが出て、後ろの項の導関数-e²ˣ/2と相殺されます。残るのはx e²ˣで、問題の被積分関数と一致します。

選択を逆にしてu=e²ˣ、v′=xとすると、u′は2e²ˣ、vはx²/2です。残りは∫ x² e²ˣ dxとなり、多項式の次数が上がります。この選択も公式の適用自体はできますが、元の問題を簡単にしていません。部分積分の候補を書いたら、残る積分の次数を比べると行き詰まりに早く気づけます。

発展例題：分子を分けて2つの方法を使う

x>0で、∫ (x²+2x+2)/x dx を求め、積分定数を含む式で答えてください。

分母がxなので、指定区間では分母が0にならず、被積分関数は連続です。分子の次数が分母より高いため、まず各項をxで割ります。その後に現れるxと2はべきの公式、2/xは対数型として扱えます。

(x²+2x+2)/x = x+2+2/x
∫ (x²+2x+2)/x dx = ∫ (x+2+2/x) dx
= x²/2+2x+2 log x+C

最初の等式は右辺にxを掛けると分子が戻るので確かめられます。x>0ではlog xが定義され、その導関数は1/xです。答えを微分するとx+2+2/xとなり、通分すると元の分数に戻ります。初めの分数全体を一つの置換に押し込む必要はありません。分解によって項ごとに適切な公式を選べます。

この例で分子全体を分母の導関数とみなすと、分母xの導関数は1なので一致しません。分子にxがあることと、分子が分母の導関数であることは別です。また、正の区間を指定していなければlog xを負の区間で使えません。区間を先に確認することも方法選択の一部です。

誤答から選び直す

∫ x cos x dx を考えます。実数全体で連続な関数ですが、「積だから原始関数も積」と考え、x² sin x/2+Cとするのは誤りです。図3の左側は、因子をそれぞれ積分して掛け合わせた誤った流れを示します。

図3の誤答を微分すると、x sin x+(x²/2) cos xです。元のx cos xと一致せず、余分な項も生じます。積の微分には2項があるため、それぞれの原始関数を掛けても元の積には一般に戻りません。

そこでu=x、v′=cos xと選びます。u′=1、v=sin xなので、残りはsin xの積分です。

∫ x cos x dx = x sin x - ∫ sin x dx
= x sin x+cos x+C

答えを微分すると、sin x+x cos x-sin x=x cos xです。選択の成否は、見た目が公式に似ているかではなく、残りの積分が解けて、微分で元へ戻るかで判断できます。

別の失敗として、内側の導関数の一部分だけがあるのに、残りもあると見なすことがあります。たとえば内側の導関数が2x+1なのに外側がxなら、差は定数倍では埋まりません。x=((2x+1)-1)/2と分ければ対応する項は作れますが、残った項まで消えたことにはできません。残りを別に積分できるか確認してから進めます。

自分で選ぶ5問

各問で方法を選んだ理由を書き、不定積分を積分定数Cを含む正確な式で求めてください。対数は自然対数とします。

1. 実数全体で ∫ (3x²+1)(x³+x+4)² dx。
2. 実数全体で ∫ x sin 3x dx。
3. x>0で ∫ (x²+4)/x dx。
4. 実数全体で ∫ (2x+5)/(x²+5x+7) dx。
5. 実数全体で ∫ (x+2)eˣ dx。

選んだ方法と答え

1：導関数がそろう場合

内側x³+x+4の導関数は3x²+1です。多項式は実数全体で連続なので、そのまま置換します。

t = x³+x+4
 dt = (3x²+1) dx
∫ (3x²+1)(x³+x+4)² dx = ∫ t² dt
= t³/3+C
= (x³+x+4)³/3+C

答えを微分すると、3乗の係数3と分母3が消え、内側の導関数が掛かって元の積になります。外側の因子を部分積分に回す前に、この対応を探します。

2：多項式の次数を下げる場合

sin 3xの内側の導関数は3で、外のxには一致しません。u=x、v′=sin 3xとすると、u′=1、v=-cos 3x/3です。

∫ x sin 3x dx = -x cos 3x/3 + (1/3)∫ cos 3x dx
= -x cos 3x/3 + sin 3x/9+C

vの負号が、部分積分の引き算によって残りの積分を正にします。答えの導関数は -cos 3x/3+x sin 3x+cos 3x/3 であり、与えられた積に戻ります。

3：分子の次数から分ける場合

x>0なので分母は0でなく、log xが使えます。分子を分母で割ってから各項を積分します。

(x²+4)/x = x+4/x
∫ (x²+4)/x dx = ∫ (x+4/x) dx
= x²/2+4 log x+C

微分するとx+4/xです。これを通分すると(x²+4)/xになり、元の分数に戻ります。分解前後の等式はxが0でない範囲で使っています。

4：分母の導関数を探す場合

分母の導関数は2x+5で、分子と一致します。またx²+5x+7=(x+5/2)²+3/4>0なので、実数全体で分母は0になりません。

t = x²+5x+7
 dt = (2x+5) dx
∫ (2x+5)/(x²+5x+7) dx = ∫ 1/t dt
= log t+C
= log(x²+5x+7)+C

tは常に正なのでlog tが定義されます。答えを微分すると分母の導関数を分母で割った形になり、元の被積分関数と一致します。

5：部分積分後の項をまとめる場合

指数の内側の導関数は1で、外側のx+2全体とは一致しません。u=x+2、v′=eˣと選ぶと、微分でu′=1になり、v=eˣです。

∫ (x+2)eˣ dx = (x+2)eˣ - ∫ eˣ dx
= (x+2)eˣ-eˣ+C
= (x+1)eˣ+C

答えの導関数はeˣ+(x+1)eˣ=(x+2)eˣです。途中の項をまとめた後も、元の積へ戻ることを確かめられます。

手元に残す判断

内側と導関数がそろえば置換を候補にします。
多項式を微分して次数が下がる積では部分積分を比べます。
分数は次数と分母の零点を調べてから分けます。
最後に答えを微分し、元の式と定義域に戻します。

どこで選択が止まったか

置換後にもxが残るなら、内側の導関数と外の因子が定数倍で一致するかを見直します。部分積分を繰り返して式が複雑になるなら、微分した因子の次数と、残った積分の次数を比べます。答えを微分して余分な項が出るときは、積の微分の2項や部分積分の負号をたどります。

個別指導で確かめるなら、最初の一行の横に「何を微分し、何が残るか」を本人に書いてもらいます。選択がうまくいった式と行き詰まった式の両方を比べれば、手順の暗記と構造の判断を区別できます。積分法の選択は、変形後の式まで見通して決まります。