高校物理 熱力学 第二法則と熱効率の限界—第一法則だけでは決まらない熱の向きを説明する｜武蔵野個別指導塾

熱収支が合う機関案を二熱源の温度と比較し、実現可能性を判定する第二法則。

よくあるのは、熱源から受け取った熱と外へ出した仕事が等しい機関案を見て、高校生が「エネルギーが保存されているから実現できる」と判断する場面です。確かに収支は合っています。しかし機関が一周して元に戻り、周囲に残る変化も指定されたとき、保存則の計算だけでは熱の移動の向きまで決まりません。何を系として、どこに変化が残るのかを描き直してみましょう。

収支の先にある問い

出方の1つは、高温の物体と低温の物体を接触させたとき、外から仕事を加えずにどちらへ熱が移るかを説明する問いです。熱量の合計が保存されることは、逆向きの移動を算術上排除しません。自然に起こる向きには別の条件が要ります。

もう1つは、周期的に動く熱機関の収支と実現可能性を調べる問いです。吸熱と仕事と放熱を整理し、第一法則に矛盾しないかを見ます。その後、単一熱源からの吸熱をすべて正味の仕事にする案や、二つの熱源の温度から定まる上限を調べます。必要条件を満たしても十分条件とは限らない、という順序が大切です。

3つ目は、熱機関を逆向きに使う装置との比較です。低温側から高温側に熱を運ぶこと自体は禁止されません。そのために外部から仕事を受け取るなど、周囲にも変化が残ります。仕事の出入りを省いて熱の矢印だけを反転すると、異なる装置を同じものとして扱ってしまいます。

熱の向きと周期機関の条件

系とは収支を調べる対象です。ここではまず機関の作動物質を系とし、系へ入る熱をQ、系が外へする仕事をWとします。内部エネルギーの変化はΔU = Q − Wです。QとWは移動したエネルギーの符号付きの量であり、内部エネルギーのように状態に付く量ではありません。

周期機関では一周後に作動物質が初めの状態へ戻るため、一周のΔUは0です。したがって一周の正味の熱と正味の仕事は等しくなります。ただし途中の各区間のΔUがそれぞれ0とは限りません。機関だけが元へ戻っても、熱源や外部の物体にはエネルギーの変化が残ります。

熱源とは、熱を受け渡しても温度が一定とみなせる対象です。高温熱源から機関が受け取る熱の大きさをQ高、低温熱源へ渡す熱の大きさをQ低とし、どちらも正の量とします。機関が一周で外へする正味の仕事がWなら、第一法則はW = Q高 − Q低です。図1のように矢印の向きと正の大きさを対応させます。

図1の機関が正の仕事を出すとき、熱効率はη = W/Q高です。ここでQ高はその一周で高温熱源から受け取る熱で、正の吸熱を表します。複数の区間で吸熱する一般のサイクルでは、分母に正の吸熱の合計を使い、放熱と差し引いた正味の熱にはしません。

第二法則には互いに関係する表現があります。外部に他の変化を残さず、低温の物体から高温の物体へ熱を移すことはできません。また、単一の熱源から熱を受け取って、その熱をすべて正味の仕事へ変えることを唯一の結果とする周期機関は実現できません。どちらも周囲に何が残るかまで含む主張です。短時間の非周期的な変化や、外から仕事を受ける装置にまで無条件に広げないようにします。

熱は温度差があれば自然に高温側から低温側へ移ります。熱の移動が止まる熱平衡では温度差がありません。自然な移動の逆向きに熱を運ぶ装置は、外から仕事を受け取ることで働きます。冷たい側から熱が出たという一点だけで第二法則に反すると判定しないでください。

高温熱源の絶対温度をT高、低温熱源の絶対温度をT低とし、T高 > T低 > 0とします。両熱源との間で周期運転する機関の効率は、可逆機関の効率η上限 = 1 − T低/T高を超えません。可逆とは、機関と周囲を含めて変化を逆向きにたどり、元の状態に戻せる理想的な過程です。実際に有限の温度差で熱を流すなど不可逆性がある場合、同じ二熱源間で働く機関の効率はこの上限より低くなります。

この上限は摂氏の温度比では計算できません。温度の比には絶対温度Kを使います。また、上限に等しい効率は可逆機関についての条件付きの値であり、温度が与えられた任意の機関が必ずその効率になるという意味ではありません。第一法則と第二法則は、数値の収支とその方向について異なる検査をしています。

数値で収支と上限を比べる

例題1　放熱がある機関

計算用の条件として、周期機関が高温熱源から1周に600 Jを受け取り、低温熱源へ360 Jを放出します。正味の仕事をJで、熱効率を有効数字2桁の小数で求めてください。熱源の温度は与えないので、可逆性は判定しません。

一周の内部エネルギー変化は0です。機関へ入る正味の熱は600 − 360 = 240 Jなので、正味の仕事は240 Jです。効率は240/600 = 0.40です。図2のように、出ていく仕事と放熱を足すと600 Jに戻り、受け取った熱と一致します。

図2で360 Jを効率の分母にすると、放熱に対する仕事の比になり、定義した熱効率とは別の量になります。放熱が正の大きさである点にも注意します。機関のQとして書くと放熱区間の熱は負ですが、Q低はその絶対値です。

例題2　温度による上限

計算用に高温熱源を600 K、低温熱源を300 Kとします。この二熱源の間で働く周期機関が高温側から800 Jを吸収するとき、正味の仕事の上限と、上限を達成する場合の放熱量をJで求めてください。答えは有効数字2桁とし、熱源以外との熱のやり取りはないものとします。

上限の効率は1 − 300/600 = 0.50です。よって仕事の上限は800 Jの0.50倍で4.0 × 10² Jです。この値を達成する可逆機関では、低温側への放熱も800 − 400 = 4.0 × 10² Jです。400 Jの仕事と400 Jの放熱を合わせると吸熱800 Jに戻ります。

例えば仕事が500 J、放熱が300 Jという提案は、500 + 300 = 800 Jで第一法則の収支に合います。しかし効率は500/800 = 0.625で、0.50の上限を超えます。この提案は指定された二熱源の周期機関として実現できません。反対に上限未満という情報だけでは、装置の詳しい仕組みまで実現可能と証明できません。

例題3　逆向きの運転と別の見方

計算用の条件として、二熱源の間で可逆機関が1周に高温側から900 Jを受け取り、低温側へ600 Jを放出して300 Jの仕事を出します。同じ過程を逆向きにたどるとき、外部から受ける仕事と、低温側から受け取る熱、高温側へ渡す熱をそれぞれJで求めてください。値は有効数字2桁で表します。

逆向きには各エネルギーの流れが反転します。外から受ける仕事は3.0 × 10² J、低温側から受け取る熱は6.0 × 10² J、高温側へ渡す熱は9.0 × 10² Jです。外からの仕事と低温側の熱を足すと900 Jになり、高温側への熱に一致します。可逆という条件があるので、同じ経路を逆にたどることができます。

別の確かめ方では、逆運転中の系のQは600 − 900 = -300 J、系が外へする仕事Wは-300 Jです。ΔU = Q − W = 0となり、1周で状態が戻る条件に合います。外から受ける仕事の大きさを正で述べると300 Jですが、Wとしては負です。符号を明記する方法と矢印で正の大きさを並べる方法は、同じ収支を表します。

温度が未指定のため、この例の数値だけから熱源温度を別々に決めることはできません。可逆機関であることから温度の比は対応しますが、比が同じ温度の組は複数あります。収支の計算と温度を決めるための情報は分けて扱います。

測定結果を読むときの限界

熱機関を調べる紙上の測定を考えます。高温側と低温側の設定温度を固定し、各サイクルで受け取る熱と外へ出す仕事を測ります。周期が十分に安定するまで待つのは、作動物質や装置に蓄積するエネルギーを、一周で0とみなせるか確認するためです。加熱や圧力を伴う装置は学校の指導の下で扱い、ここでは記録の解釈を考えます。

仕事と吸熱の組をグラフの横軸と縦軸に置けば、原点と測定点を結ぶ傾きが効率です。横軸を吸熱、縦軸を仕事にした場合、上限の効率に対応する直線より上に点が出たら、すぐ新しい法則を主張する前に測定条件と符号を点検します。温度が運転中に変動していれば、一定の二熱源という前提も検討し直します。

熱が周囲に漏れると、高温側から供給したエネルギーと作動物質が受け取った熱が一致しないことがあります。容器の熱容量を見落とすと、装置の温度がまだ変化している間に記録した熱を毎周期の吸熱と誤認します。摩擦によって仕事の一部が周囲へ散逸すれば、取り出せる仕事は小さくなります。温度計や力の測定器の零点のずれは同じ方向の系統誤差を生み、目盛りの読み取りのばらつきは複数回の記録で評価できます。

たとえば熱量を低く読みすぎれば、仕事を正しく測っていても効率は大きく見えます。逆に仕事を低く見積もれば効率は小さく見えます。どの量をどちらへ誤ったかが不明なまま、測定値と上限の差をすべて摩擦のせいにすることはできません。温度、熱量、仕事の記録と不確かさを別々に確かめます。

誤った判断を矢印から直す

図3のように、単一熱源から受け取った熱と同じ大きさの仕事を出し、作動物質が一周で戻る案を考えます。第一法則では収支が合いますが、これを唯一の結果とする周期機関は第二法則に反します。収支を検算したこと自体は正しく、その後に実現可能だと飛躍したところが誤りです。

図3の矢印に低温側への放熱を追加すれば、収支は吸熱 = 仕事 + 放熱に変わります。ただし放熱が正であればどんな機関も実現できるというわけではありません。二熱源の温度を指定した場合には可逆機関の上限も確認します。数値を合わせる修正と、温度条件の検査の両方が必要です。

もう1つの誤答は、低温側から高温側へ熱が移る装置を見て、矢印の向きだけから不可能とするものです。外からの仕事が加わるなら、周囲には仕事を失う変化が残ります。機関の境界を描き直し、熱と仕事を全方向について記入すると、自然な移動の記述との違いが見えます。

自分で確かめる5問

以下の数値は計算用の条件です。熱源の温度を示す問題では二熱源以外との熱のやり取りはなく、周期運転とします。数値の答えは有効数字2桁で表してください。

1. 一周に高温側から500 Jを吸収し、低温側へ350 Jを放出する機関があります。正味の仕事をJで、効率を小数で求めてください。
2. 高温熱源が800 K、低温熱源が400 Kです。二熱源間の機関の効率の上限と、吸熱が1.2 × 10³ Jのときの仕事の上限を求めてください。仕事の単位はJです。
3. 単一熱源から400 Jを受け取り、400 Jの正味の仕事を出して一周する機関を提案しました。第一法則と第二法則のそれぞれについて、この案の判定を言葉で答えてください。指定された変化以外は周囲に残りません。
4. 逆向きに働く装置が低温側から250 Jを受け取り、外部から100 Jの仕事を受けます。一周で高温側へ渡す熱をJで求め、収支を示してください。
5. 高温熱源750 K、低温熱源300 Kの間の機関が、1周に1000 Jを吸収し、400 Jの仕事を出すと提案されています。放熱量をJで求め、可逆機関の上限を超えるかを答えてください。上限以下であることだけから、実際にその装置が作れると断定できるかも答えてください。

5問の答えと考え方

1. 仕事は500 − 350 = 150 Jで、1.5 × 10² Jです。効率は150/500 = 0.30です。仕事150 Jと放熱350 Jを足すと吸熱500 Jに戻ります。放熱量を差し引いた正味の熱を効率の分母にしないでください。

2. 上限は1 − 400/800 = 0.50です。仕事の上限は1.2 × 10³ Jの0.50倍、6.0 × 10² Jです。その上限の場合の放熱は6.0 × 10² Jで、仕事と合わせると与えられた吸熱に戻ります。この上限を達成するのは可逆機関です。

3. 一周のΔUは0で、正味の熱400 Jと正味の仕事400 Jが一致するため、第一法則の収支は満たします。しかし単一熱源の熱をすべて仕事に変えることが唯一の結果となる周期機関なので、第二法則に反します。保存則に矛盾しないことと実現できることは同じではありません。

4. 高温側へ渡す熱は250 + 100 = 350 J、すなわち3.5 × 10² Jです。系についてQ = 250 − 350 = -100 J、W = -100 JなのでΔU = 0です。仕事が供給されているため、低温側から高温側へ熱を運んでも、外部に他の変化を残さない自然な移動とは異なります。

5. 放熱は1000 − 400 = 600 J、すなわち6.0 × 10² Jです。上限は1 − 300/750 = 0.60で、提案の効率400/1000 = 0.40はこれを超えません。放熱600 Jと仕事400 Jの合計は吸熱1000 Jに戻ります。上限以下は必要な検査を通ったという意味で、装置の具体的な実現をそれだけで保証するものではありません。

覚えておくこと

一周の内部エネルギー変化は0ですが、各区間の変化は0とは限りません。 熱効率の分母は正の吸熱の合計です。 単一熱源の熱をすべて仕事に変えることを唯一の結果とする周期機関は実現できません。 二熱源の効率上限は絶対温度を使う1 − T低/T高です。 逆向きに熱を運ぶ装置では仕事の出入りも調べます。

説明が止まる場所を見つける

吸熱と放熱の大小は計算できても、系を機関に取ったときの放熱の符号が説明できなければ、矢印と符号付きのQを対応させます。効率が上限を超える案を見たときに「保存則違反」と即答する場合は、まず仕事と放熱を足し、次に温度比を調べます。

個別指導では、周期の始点と終点、熱源に残る変化、外から受ける仕事を本人の言葉で示せるかを確かめます。数値を変えたときに効率の分母を選び直し、上限以下から直ちに実現を断定しない理由まで説明できれば、収支と方向の区別が定着しています。熱の行き先を描くことが、機関の可能性を吟味する出発点です。