高校物理 熱力学 二乗平均平方根の速さ—平均の取り方と分子質量から温度との関係を導く｜武蔵野個別指導塾

同温度の異なる分子と速さの平均を比べる鍵が、二乗平均平方根の速さです。

よくあるのは、同じ温度の2種類の気体を比べ、高校生が「重い分子の方が運動エネルギーも大きい」と考える場面です。確かに同じ速さなら重い分子のエネルギーは大きくなります。しかし同温度で比べるとき、速さまで同じと置く根拠はありません。温度が決める平均量と、質量が変える速さを分けて調べましょう。

何を比べる問題か

出方の1つは、分子の質量と絶対温度から二乗平均平方根の速さを求めるものです。式に代入する前に、質量が分子1個分か、1 mol分かを確認します。もう1つは、同じ温度の異種分子の速さの比を求めるものです。分子の質量が大きい方は、平均の並進運動エネルギーを同じにするため、二乗平均平方根の速さが小さくなります。

さらに、有限個の速さの表から平均を計算し、平均の速さと二乗平均平方根を区別する問題があります。二乗して平均し、最後に平方根を取る順番が要点です。各分子の速さが皆同じだとは限りません。結果は集団の特徴を表し、特定の1個の速さを指定するものではありません。

平均の順序と温度のつながり

閉じた容器に、平衡状態にある一定量の理想気体を考えます。Nを分子数、mを分子1個の質量、Vを体積、pを絶対圧、Tを絶対温度とします。分子の速度成分の二乗の平均が3方向で等しいという等方性と、壁との弾性衝突を仮定すると、気体分子運動論から次の関係が得られます。

pV = (1/3)Nm〈v²〉

ここで〈v²〉は各分子の速さの二乗を平均した値です。平均を取る対象は速さそのものではなく、その二乗です。速度は向きを持ち、反対向きの速度が打ち消し合えば平均速度は0にもなります。それでも各分子の速さの二乗は負にならず、壁への衝突による圧力は残ります。

状態方程式はpV = NkTです。kはボルツマン定数で、単位はJ/Kです。2つのpVを等置し、Nで割ると次のようになります。

(1/3)m〈v²〉 = kT
(1/2)m〈v²〉 = (3/2)kT

左辺は分子1個当たりの並進運動エネルギーの平均です。右辺は絶対温度で決まり、同じ温度なら分子の質量によらず等しくなります。分子の回転や振動などを含む全エネルギーが等しいと主張する式ではありません。気体の種類や条件によって、並進以外のエネルギーを考える必要があります。

図1のように、速さを先に二乗し、平均してから平方根を取った量をvᵣₘₛと呼びます。平方根は正の値を取ります。式を変形するとvᵣₘₛ = √(3kT/m)です。図1の順序を逆にすると別の量になります。

平均の速さは、各分子の速さを足して分子数で割ったものです。一般にはvᵣₘₛと一致しません。速さが同じ分子ばかりなら一致しますが、ばらつきがあると二乗したとき大きい速さの寄与が強まります。例えば速さが0と4 m/sの2個では、平均の速さは2 m/s、二乗平均平方根は√8 m/sです。この小さな表は平均操作の説明であり、実際の気体の速度分布を表す測定ではありません。

温度を4倍にすると、同じ種類の気体では速さは2倍です。逆に質量を4倍にすると、同温度で速さは半分です。温度はKで比べます。摂氏温度の数値をそのまま倍にしても、絶対温度が倍とは限りません。速さの比を出すときは、まず二乗した比が温度の比に等しいと書いてから平方根を取ると間違いを減らせます。

分子1個の質量mの代わりにモル質量Mを使う場合も、単位をそろえれば同じ関係になります。1 molに含まれる分子数をNₐとすると、M = Nₐm、R = Nₐkです。したがってvᵣₘₛ = √(3RT/M)と書けます。ここでMはkg/mol、RはJ/(mol・K)です。g/molで示された値をそのまま入れると、質量の桁が合いません。分子1個の質量を使う式とモル質量を使う式は、同じ集団を異なる数え方で表しています。

式が使えない場面も区別します。異なる温度の気体を混ぜた直後のように、集団全体を1つの平衡温度で表せないときは、その温度を無条件に代入できません。また、平均エネルギーが同じという結論は個々の分子のエネルギーが同一という意味ではありません。個々の値がばらついていても、集団として平均した値を比べることができます。

数を入れて式の意味を確かめる

例題1　温度から速さを求める

分子1個の質量が2.0 × 10⁻²⁶ kgの理想気体が、絶対温度300 Kで平衡にあります。計算用にk = 1.38 × 10⁻²³ J/Kとします。分子1個当たりの平均並進運動エネルギーとvᵣₘₛを、有効数字2桁で求めてください。

エネルギーは質量を代入せずに求められます。途中の桁を保持すると、

(3/2)kT = (3/2)・1.38 × 10⁻²³・300
= 6.21 × 10⁻²¹ J

したがって答えは6.2 × 10⁻²¹ Jです。速さは二乗の関係から求めます。

vᵣₘₛ² = 3kT/m
= 6.21 × 10⁵ m²/s²
vᵣₘₛ = 7.9 × 10² m/s

図2のように、エネルギーは温度から、速さはさらに質量を使って求めます。図2の矢印を逆にたどれば、丸める前の速さの二乗にm/2を掛けて6.21 × 10⁻²¹ Jに戻ることを確かめられます。単位もkg・m²/s² = Jです。

例題2　同温度で質量を比べる

平衡にある理想気体AとBの分子1個の質量をそれぞれm、9mとします。両方の温度は同じTです。平均並進運動エネルギーの比A:Bと、二乗平均平方根の速さの比A:Bを整数比で求めてください。

平均エネルギーはどちらも(3/2)kTなので、比は1:1です。一方、速さの二乗は質量に反比例します。

vA²:vB² = 9:1
vA:vB = 3:1

重いBの分子はAの3分の1の二乗平均平方根の速さです。値を戻して比べると、Bの質量は9倍で速さの二乗は9分の1ですから、m〈v²〉は両者で等しくなります。この確認が、質量と速さの両方を考慮できているかを示します。

例題3　温度も質量も変わるとき

理想気体C、Dの分子質量はそれぞれ2m、8mで、絶対温度はそれぞれT、9Tです。いずれも平衡状態にあります。平均並進運動エネルギーの比C:Dと二乗平均平方根の速さの比C:Dを整数比で求めてください。

エネルギー比は温度比と同じ1:9です。速さの二乗については、温度と質量の比を同時に使います。

vC²:vD² = (T/2m):(9T/8m)
= 4:9
vC:vD = 2:3

別解として、CからDへ移ると温度は9倍、分子質量は4倍です。速さの二乗は9/4倍、速さは3/2倍になります。得られた比に質量を掛けてエネルギーを比べると、2・2²:8・3² = 1:9となり、問題の温度比に戻ります。

測定値をどう点検するか

温度と速さの関係を調べるなら、同じ種類の一定量の気体を使い、温度を変え、平衡を待って温度と速さに関係する測定量を記録します。密閉容器の加熱や加圧には危険があるため、装置を用いる場合は学校の指導の下で扱います。速さの二乗平均は温度計だけでは直接読めません。実験装置がどの量を測り、どの仮定を使って速さを推定するかを明示する必要があります。

同一分子について、縦軸にvᵣₘₛ²、横軸にTを取れば理想気体の式は原点を通る直線です。傾きは3k/mです。縦軸をvᵣₘₛに変えれば平方根の関係になり、直線ではありません。傾きから質量を推定する場合、温度計の零点のずれは横軸の切片に影響し、速さの推定値の倍率誤差は傾きに影響します。読み取りのばらつきと、毎回同じ向きに生じる系統誤差は区別します。

平衡を待つ理由は、容器や気体の温度が変化途中のまま値を組み合わせないためです。外部への熱の出入りや容器の熱容量は平衡に至る時間に影響し、温度が一様でないと1つのTで集団を代表しにくくなります。想定した直線から外れた点があっても、すぐに法則の破れと断定せず、温度の読み、装置の校正、平衡、理想気体の近似の順に点検します。

誤答を直す3つの視点

図3のように、質量が9倍なら速さも9分の1とする誤答は、速さの二乗に反比例の関係があることを見落としています。まず二乗の比を1:9とし、次に正の平方根を取れば速さの比は1:3です。答えをエネルギーに戻すと、9倍の質量と9分の1の速さの二乗が打ち消し合います。

次に、平均速度が0だから分子は止まっているという誤答があります。原因は向き付きの速度と、負にならない速さの二乗を混ぜたことです。反対向きに同じ速さで動く2個なら、平均速度は0でも二乗平均は正です。圧力を考えるときは、衝突で壁に渡す運動量が残ることも確認します。

もう1つの誤答は、平均の速さを二乗平均平方根と同じとすることです。先に平均してから二乗する操作と、先に二乗してから平均する操作は異なります。具体的な数表を作って両方を計算すれば、使う公式の意味を確かめられます。分布が与えられていない問題で、平均の速さをvᵣₘₛから勝手に決めないことも大切です。

練習問題

各気体は平衡状態にある理想気体とします。比は整数比で、数値は指定の有効数字で答えてください。kを使う問題では計算用にk = 1.38 × 10⁻²³ J/Kとします。

1. 同じ種類の気体の温度を400 Kから900 Kに変えます。変化前後のvᵣₘₛの比を求めてください。
2. 同温度の気体EとFの分子質量は、それぞれ4mと25mです。E:Fのvᵣₘₛの比と、平均並進運動エネルギーの比を求めてください。
3. 3個の粒子の速さがそれぞれ1、2、3 m/sです。平均の速さと二乗平均平方根を、後者は根号を使って表してください。
4. ある気体の分子1個の質量が4.6 × 10⁻²⁶ kg、温度が200 Kです。vᵣₘₛを有効数字2桁で求めてください。
5. 同一種類の気体で、状態Gのvᵣₘₛが状態Hの2倍です。Gの温度が800 Kのとき、Hの温度を整数で求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 速さの二乗の比は400:900 = 4:9なので、速さの比は2:3です。比を二乗すると4:9となり、与えられた温度の比に戻ります。温度比そのものを速さの比にしないようにします。
2. 速さの二乗の比は25:4ですから、速さの比は5:2です。平均並進運動エネルギーの比は同温度なので1:1です。質量と速さの二乗を掛けると4・25:25・4となり、等しいことを確かめられます。
3. 平均の速さは(1 + 2 + 3)/3 = 2 m/sです。二乗平均は(1² + 2² + 3²)/3 = 14/3 m²/s²なので、二乗平均平方根は√(14/3) m/sです。これを二乗すると元の二乗平均に戻ります。平均の速さとは異なります。
4. vᵣₘₛ² = 3・1.38 × 10⁻²³・200/(4.6 × 10⁻²⁶) = 1.8 × 10⁵ m²/s²です。平方根を取り、答えは4.2 × 10² m/sです。丸める前の二乗値を使えば、m〈v²〉/2は4.14 × 10⁻²¹ Jとなり、(3/2)kTと一致します。
5. 同じ分子質量なので、温度比G:Hは速さの二乗比4:1です。したがってHは200 Kです。この温度をGの4倍に戻すと800 Kで、速さの比も2:1に戻ります。

要点

二乗平均平方根は、速さを二乗して平均し、その平方根を取った量です。 平衡な理想気体では、分子1個当たりの平均並進運動エネルギーは(3/2)kTです。 同温度では重い分子ほど二乗平均平方根の速さが小さくなります。 速さの比には、絶対温度と質量の比の平方根を使います。

つまずきを見分けるには

式を暗記していても、どの平均かを説明できなければ、質量比の問題で平方根を落としやすくなります。個別指導では、反対向きの速度の例で平均速度と二乗平均の違いを言葉にし、同温度の2種類についてエネルギーの比から速さの比を導けるかを確かめます。数値を代入した後は、単位と温度比に戻して検算します。二乗の平均を先に取る順序が、分子の速さの比較を支えます。