高校物理 熱力学 分子運動の等方性と平均—三方向の二乗平均から圧力の係数を説明する｜武蔵野個別指導塾

速度表で平均速度が0でも圧力が残る理由を追い、三方向の二乗平均を結ぶ等方性に迫ります。

よくあるのは、高校生が壁に垂直な方向の速度の二乗平均に、分子の全速さの二乗平均をそのまま代入する場面です。分子は斜めにも飛ぶので、壁を押す効果を考えるには、速度を壁に垂直な成分と平行な成分に分ける必要があります。3分の1という係数は、方向の区別を消してよい条件を確かめた後に現れます。

要点（結論から）

• 壁に垂直な成分でpV = Nm〈vₓ²〉です。
• 速さの二乗平均は3成分の二乗平均の和です。
• 等方性があれば各成分が等しく、pV = (1/3)Nm〈v²〉です。

問いの形を見分ける

典型的な問いは3種類あります。第1に、分子の速度成分の表から各方向の二乗平均を求め、等方性を使えるかを判定する問いです。第2に、壁に垂直な成分から圧力を求め、全速さの二乗平均へ書き換える問いです。第3に、平均速度が0でも圧力が消えない理由を、衝突の向きと二乗の意味から説明する問いです。

いずれも最初に平均する対象を決めます。分子の個数、分子1個の質量、容器の体積、速度の単位をそろえ、成分を二乗してから足します。符号が反対の速度は和では打ち消し合いますが、二乗すると両方とも正です。平均の順序を変えてよいのは和の性質によるもので、平均してから二乗してよいという意味ではありません。

壁に垂直な成分と三方向

一辺の長さがLの立方体に、質量mの同種分子がN個入った理想気体を考えます。分子の大きさや分子間の相互作用を無視し、壁との衝突は弾性的とします。十分長い時間または適切な多数の分子について平均し、圧力が一定とみなせる状態を扱います。x軸に垂直な壁を選び、分子の速度を(vₓ, vᵧ, v𝓏)と表します。

壁に衝突するたび、垂直成分は符号が反転します。1個の分子が壁へ渡す運動量の大きさは2m|vₓ|で、同じ壁へ再び当たるまでの時間は2L/|vₓ|です。したがって、その分子が壁に及ぼす時間平均の力はmvₓ²/Lです。壁の面積L²で割り、全分子について足すと、体積V = L³として次を得ます。

p = (m/(VL))・L・(vₓ²の総和)
pV = Nm〈vₓ²〉

ここで〈vₓ²〉は分子ごとのvₓ²の平均です。式のpは絶対圧であり、このモデルの分子衝突による圧力です。壁に平行な速度成分は、その壁の垂直方向の運動量を直接変えません。途中の式は力の和を面積で割った形に整理したもので、Lの因子を消すとp = m・(vₓ²の総和)/Vです。

図1のように速度を3成分に分けると、直角三角形の関係を2回用いて、各分子についてv² = vₓ² + vᵧ² + v𝓏²です。vは速さであり、方向を持たない大きさです。この等式は速度の向きが偏っていても成り立ちます。

図1の成分をそれぞれ二乗して平均すれば、平均の和は和の平均なので〈v²〉 = 〈vₓ²〉 + 〈vᵧ²〉 + 〈v𝓏²〉です。ここまでは等方性を要しません。平衡状態の気体の運動が等方的、つまり向きによって統計的な性質が変わらないときは、座標軸を入れ替えても各成分の二乗平均は同じです。

〈vₓ²〉 = 〈vᵧ²〉 = 〈v𝓏²〉
〈v²〉 = 3〈vₓ²〉
pV = (1/3)Nm〈v²〉

3分の1は、各分子が3方向へ同時に同じ速さで動くという主張ではありません。多数の分子の二乗平均における対称性です。有限個の速度表で3つの二乗平均が等しいことは、この式を使うための条件としては十分ですが、それだけで速度分布全体があらゆる向きに同じであることまで証明できません。逆に、向きに偏りがあれば、まず壁ごとの成分を用います。

基本例題：反対向きの速度を数える

同じ質量の6個の分子が一瞬に持つ速度を、単位m/sで順に(3, 0, 0)、(-3, 0, 0)、(0, 3, 0)、(0, -3, 0)、(0, 0, 3)、(0, 0, -3)とします。この表を平均の計算用に使います。速度の平均ベクトル、x成分の二乗平均、速さの二乗平均を求め、整数と単位で答えてください。

図2のように正負の組を並べると、各方向の速度の和は0です。したがって平均速度は(0, 0, 0) m/sです。一方、x成分の二乗の総和は9 + 9 = 18 (m/s)²で、6個で割ると3 m²/s²です。各分子の速さは3 m/sなので、速さの二乗平均は9 m²/s²です。

図2ではy、z成分の二乗平均も3 m²/s²です。各速度を元の表へ戻すと、6個の速さの二乗の総和は54 m²/s²で、平均9 m²/s²と一致します。平均速度が0という事実と、壁への運動量の受け渡しが消えるという判断は別です。xに垂直な壁には、正向きに進む分子が当たり、反対の壁には負向きに進む分子が当たります。壁ごとの衝突を区別して数える必要があります。

この6方向の表は二乗平均を比較する教材です。表の6個だけで実際の気体のあらゆる向きの分布を表すとは限らず、瞬間の表から安定した圧力を直ちに測定できるとも限りません。圧力式を定常状態の平均として使う仮定は別に置きます。

標準例題：圧力の係数を使う

閉じた体積2.0 m³の容器に、質量4.0 × 10⁻²⁶ kgの同種分子が3.0 × 10²⁵個あります。理想気体の分子運動は等方的で、速さの二乗平均は3.0 × 10⁴ m²/s²とします。分子衝突による圧力を有効数字2桁で求めてください。数値は計算用の仮定です。

まずx成分の二乗平均は全体の3分の1なので、1.0 × 10⁴ m²/s²です。壁への圧力式に代入すると、

p = Nm〈vₓ²〉/V
  = (3.0 × 10²⁵)・(4.0 × 10⁻²⁶)・(1.0 × 10⁴)/(2.0)
  = 6.0 × 10³ Pa

PaはN/m²です。分子の総質量は1.2 kg、密度は0.60 kg/m³なので、p = 密度・〈vₓ²〉としても6.0 × 10³ Paになります。答えを容器全体に戻すとpV = 1.2 × 10⁴ Jで、Nm〈v²〉/3と一致します。全速さの二乗平均をそのまま壁の式に入れると3倍になり、yとz方向の寄与まで同じ壁の垂直成分として数えてしまいます。

発展例題：偏りがある表を読む

同質量の分子8個の速度について、x成分は4個が2 m/s、残り4個が-2 m/s、y成分は全個が0、z成分は4個が1 m/s、残り4個が-1 m/sです。各成分の正負の組合せは任意とします。この表で各方向の二乗平均と速さの二乗平均を整数で求め、〈v²〉/3をx成分の二乗平均の代わりに使えるか答えてください。

x、y、z成分の二乗平均は順に4、0、1 m²/s²です。各分子についてv² = 4 + 0 + 1なので、速さの二乗平均は5 m²/s²です。〈v²〉/3は5/3 m²/s²であり、x成分の4 m²/s²とは一致しません。各方向の二乗平均が異なるため、等方性による置き換えはできません。速度成分の平均はいずれも0でも、この結論は変わりません。

別解として、表の各列を二乗する前に、各分子のx成分の絶対値が2であることに注目できます。全8個についてx成分の二乗が4なので、その平均も4です。同じように全速さの二乗は各行で5です。8個に戻すとx成分の二乗の総和は32、速さの二乗の総和は40で、平均値と整合します。偏った速度分布がそのまま平衡気体の定常状態として保たれると仮定する必要はありません。この表は置き換えの条件を調べるためのものです。

測定とグラフで仮定を点検する

実際の圧力測定では、一定量の気体を閉じ込め、容器の体積と温度を把握します。学校の指導の下で、温度を変える系列なら分子数と体積を固定し、平衡を待って温度と絶対圧を測ります。加熱や加圧を伴う装置の操作は指導者の管理下で行います。平衡を待つのは、容器内の温度や流れの偏りが測定値に残るのを抑えるためです。

理想気体近似と等方性が成り立つ範囲では、pV = NkTと圧力式の比較から、〈v²〉は絶対温度Tに比例します。同じN、Vでpを縦軸、Tを横軸にとると原点を通る直線が予想されます。圧力計の零点が一定量ずれれば切片がずれ、温度計の応答遅れは変化直後の点を平衡の直線から外し得ます。読み取りのばらつきは繰り返し測定で調べられますが、共通の零点ずれは繰り返しの平均だけでは除けません。

容器が温度とともに膨張すればV一定の仮定が崩れます。気体の漏れもNを変えるため、同じ傾きの式を無条件には使えません。圧力と温度の直線が見えたとしても、それだけで分子の速度分布の等方性を直接測ったことにはならず、モデルと測定の両方の条件を考えます。

間違いの位置を図で戻す

図3のように、平均速度を先に求めて二乗し、それを二乗平均とみなす誤りがあります。原因は、二乗と平均の順序を区別していないことです。正負が同数なら平均は0でも、二乗の平均は正になり得ます。修正するときは各値を先に二乗し、その後で個数で割ります。

図3のもう一つの注意は、全速さの二乗と壁に垂直な成分の二乗の区別です。全速さには3成分が含まれます。等方性があるときに限って各成分の平均が等しく、その和を3で割れます。等方性を確かめずに3で割る答案は、数値が偶然合っても根拠が不足します。

さらに、平均の速さと平均速度の大きさも別物です。反対向きの同じ速さの分子では平均速度は0ですが、速さはどちらも正です。圧力の式が必要とするのは速さの平均の二乗でもなく、速さを二乗した後の平均です。単位が同じでも平均操作の順序が違うことを式に残します。

練習問題

以下の速度表は計算用です。平均は記載された分子についてとり、単位を付けて答えてください。圧力に関しては、定常な理想気体で衝突のモデルが成り立つものとします。数値を用いる答えは指定がなければ整数か既約分数で表してください。

1. 4個のx成分が1、-1、2、-2 m/sです。x成分の平均と二乗平均を求めてください。
2. ある速度集団で3方向の二乗平均がそれぞれ2、2、2 m²/s²です。速さの二乗平均を求め、3分の1の関係が成り立つ理由を述べてください。
3. 別の集団の成分の二乗平均がx、y、zの順に1、4、7 m²/s²です。速さの二乗平均と、その3分の1がx成分に等しいかを答えてください。
4. 等方的な気体でN = 2.0 × 10²⁵、m = 3.0 × 10⁻²⁶ kg、V = 3.0 m³、〈v²〉 = 6.0 × 10⁴ m²/s²です。圧力を有効数字2桁で求めてください。
5. x成分が3個とも2 m/sの集団Aと、2、-2、0 m/sの集団Bがあります。各集団のx成分の平均と二乗平均を求め、二乗平均が大きい方を答えてください。

練習の答えと考え方

1. 平均は(1 − 1 + 2 − 2)/4 = 0 m/sです。二乗平均は(1 + 1 + 4 + 4)/4 = 5/2 m²/s²です。元の4個へ戻せば二乗の総和は10 m²/s²で、平均の4倍と一致します。平均を先に二乗すると0となり、この総和に戻りません。

2. 和をとり6 m²/s²です。3つの成分の二乗平均が等しいので、その和の3分の1が各成分に一致します。6を3で割ると2で、条件に与えた各値へ戻ります。ただし、この等しさから分布全体の等方性までは断定しません。

3. 和は12 m²/s²で、その3分の1は4 m²/s²です。x成分の1 m²/s²には等しくありません。成分の値を和に戻すと1 + 4 + 7 = 12で、3方向が等しいという仮定を置けないことが確認できます。

4. 〈vₓ²〉 = 2.0 × 10⁴ m²/s²です。p = Nm〈vₓ²〉/Vに代入して4.0 × 10³ Paです。pVは1.2 × 10⁴ Jであり、Nm〈v²〉/3も同じ値です。分子数と体積は正で、得られた圧力も正です。

5. Aの平均は2 m/s、二乗平均は4 m²/s²です。Bの平均は0 m/s、二乗平均は8/3 m²/s²です。二乗平均はAが大きく、3倍するとそれぞれ12、8 m²/s²となって元の二乗の総和に戻ります。平均速度が小さい集団でも二乗平均は0とは限りません。

要点

• 壁に垂直な成分でpV = Nm〈vₓ²〉です。
• 速さの二乗平均は3成分の二乗平均の和です。
• 等方性があれば各成分が等しく、pV = (1/3)Nm〈v²〉です。
• 平均速度が0でも、二乗平均は正になり得ます。

どこで迷ったかを確かめる

答えが3倍になったときは、壁の向きを図に描き、全速さと垂直成分のどちらを代入したかを説明してみてください。0になったときは、各速度を二乗する前に平均していないかを表に戻って調べます。個別指導では、等方性を使う行に印を付け、速度の表が偏る場合にその行が使えるかを本人の言葉で確かめます。式の係数は、平均する順序と方向の条件から決まります。