高校物理 熱力学 分子の壁衝突と圧力—運動量の変化と衝突間隔から巨視的な式を導く｜武蔵野個別指導塾

片道ではなく往復で数える衝突間隔から、一面に働く平均の力と圧力を導き、条件の違いを見分ける分子の壁衝突。

よくあるのは、高校生が箱の中の分子を追い、壁までの片道時間で同じ壁への衝突回数を数えてしまう場面です。ぶつかった分子はその壁から遠ざかり、反対側で向きを変えて戻ってきます。衝突の一瞬の変化と、次の衝突までの待ち時間を分ければ、目に見えない運動から壁に働く圧力へ進めます。

何を数えれば圧力になるか

問題の出方には、大きく3つの型があります。1つ目は、1個の分子が壁へ与える力積と、同じ壁への衝突間隔を求める型です。速度の向きと、分子が受ける力積か壁が受ける力積かを確認します。2つ目は、多数の分子の寄与を合計し、壁の面積で割って圧力を求める型です。3つ目は、条件を変えたときに圧力が何倍になるかを、密度と速度成分の二乗から比較する型です。

どの型でも、衝突の瞬間の力を一定とみなす必要はありません。衝突ごとの力積を長い時間について合計し、その時間で割ると平均の力が得られます。圧力はさらに面積で割った量です。短い時間に1個が壁を離れている間は力が働かなくても、多数の衝突を長い時間で平均すれば、定常な圧力を扱えます。

壁に垂直な運動を取り出す

一辺Lの固定された立方体に、質量mの分子を閉じ込めます。壁に垂直な方向をx軸とし、右側の壁への方向を正とします。まず1個の分子を追い、分子は壁との間で弾性衝突し、衝突の前後で壁に平行な成分は変わらないとします。壁の間では等速直線運動し、分子同士の衝突は無視します。容器の体積はV = L³、右壁の面積はL²です。

図1のように、右壁に向かう分子のx成分をuとします。uは正の速さであり、衝突後のx成分は-uです。壁に平行な速度があっても、滑らかな壁との衝突によるx方向の運動量の変化には入りません。全速度の大きさをそのまま代入しないことが出発点です。

図1の右壁について、衝突前後の分子のx方向の運動量は、それぞれmuと-muです。分子が受ける力積は、後から前を引いた-2muです。作用と反作用により、壁が分子から受ける力積は逆向きの正の2muになります。ここで負号を消すのではなく、力を受ける対象を分子から壁へ替えています。

次に間隔です。右壁で跳ね返った分子は、左壁へL進み、そこで反射して右壁までL戻ります。同じ右壁に連続して当たる間のx方向の移動距離は2Lです。壁に平行な運動を含む実際の経路が斜めでも、x方向の距離とx方向の速さを組にすれば、衝突間隔は2L/uとなります。

右壁へ渡す力積を間隔で割り、分子1個が右壁へ及ぼす長時間平均の力Fを求めます。

壁への力積 = 2mu
衝突間隔 = 2L/u
F = 2mu ÷ (2L/u)
  = mu²/L

力積の2と往復距離の2は、別々の理由で現れます。片道Lを間隔に使うと、衝突回数を2倍に数えるため、力も2倍になります。また、u = 0なら分子はその壁へ繰り返し衝突せず、x方向の寄与は0です。式もu² = 0として扱えます。

N個の分子のx成分をvₓ₁、vₓ₂、以下同様に表します。符号が負の分子も、反対側で反射してから同じ壁へ到達します。寄与は向きではなく成分の二乗で決まるので、平均の力は各分子のm vₓ²/Lの和です。ここでは同種分子で質量は共通とします。

各分子のvₓ²の算術平均を〈vₓ²〉と書くと、二乗の和はN〈vₓ²〉です。圧力pは、右壁が受ける平均の力を壁面積L²で割った量です。

p = (Nm〈vₓ²〉/L) ÷ L²
p = Nm〈vₓ²〉/L³
pV = Nm〈vₓ²〉

このpは壁が気体から受ける絶対圧です。式の左右の単位はともにPa・m³ = Jで一致します。Nが一定で体積が変わらなければ、圧力は垂直成分の二乗平均に比例します。逆に、〈vₓ²〉が同じでも、単位体積あたりの分子数N/Vが増えれば圧力は増します。

この導出は固定壁、弾性反射、分子間で力を及ぼさない模型によるものです。現実に分子同士が衝突する場合は個々の往復をそのまま追えません。ただし平衡状態の理想気体で同じ関係を使えます。気体が一方向に流れる状態や、壁ごとに状態が異なる非平衡状態に、説明なしでこの平均を適用しないようにします。ここでは特定の一面に垂直な成分を扱い、全速さとの比を決めるための追加の仮定には進みません。

例題1　1個が押す力を時間で平均する

一辺0.10 mの固定した立方体の中を、質量2.0 × 10⁻²⁶ kgの分子1個が運動します。ある壁に垂直な速度成分の大きさは3.0 × 10² m/sで、壁との衝突は弾性衝突、分子は壁の間を等速で進むものとします。図2の右壁について、壁が受ける1回の力積、同じ壁への衝突間隔、長時間平均の力をそれぞれ有効数字2桁で求めてください。

図2のように、まず右向きを正にとります。壁への力積の大きさは次の通りです。

2mu = 2・2.0 × 10⁻²⁶・3.0 × 10²
    = 1.2 × 10⁻²³ N・s

往復距離は0.20 mです。間隔は0.20 ÷ (3.0 × 10²) = 6.666… × 10⁻⁴ sなので、答えは6.7 × 10⁻⁴ sです。途中の丸めを使わずに力積を間隔で割ると、平均の力は1.8 × 10⁻²⁰ Nです。向きは右向きです。

答えを場面へ戻して確かめます。間隔の丸め前の値に速度成分を掛けると0.20 mとなり、右壁から左壁を経て右壁に戻る距離に合います。また平均の力に丸め前の間隔を掛ければ、1回の力積1.2 × 10⁻²³ N・sに戻ります。1回の衝突で壁が受ける力は時間とともに変わり得るため、この値を衝突中の瞬間の力とは呼びません。

例題2　分子数と面積を組み合わせる

一辺0.20 mの固定した立方体に、質量4.0 × 10⁻²⁶ kgの同種分子が4.0 × 10²⁰個あります。右壁に垂直な速度成分の二乗平均は2.5 × 10⁴ m²/s²です。弾性反射し、分子間の力を無視できるものとして、右壁の平均圧力を有効数字2桁で求めてください。値は計算用の条件です。

体積は0.20³ = 8.0 × 10⁻³ m³です。力積を先に合計する導出から、次のように計算できます。

p = Nm〈vₓ²〉/V
  = (4.0 × 10²⁰・4.0 × 10⁻²⁶・2.5 × 10⁴)/(8.0 × 10⁻³)
  = 50 Pa

壁の面積は0.040 m²です。圧力にこの面積を掛けた平均の力は2.0 Nです。一方、各分子の平均の力の総和Nm〈vₓ²〉/Lも2.0 Nとなり、同じ壁への力に戻ります。50 Paはこの模型の圧力であり、実測の物性値ではありません。

二乗平均2.5 × 10⁴ m²/s²は、各分子の速度成分が同じという意味ではありません。個々の二乗を先に合計して個数で割った値です。分子の速度の符号が混ざっていても、それぞれ二乗してから数える点に注意します。

例題3　速さの異なる集団を混ぜる

体積0.030 m³の固定した立方体に、質量3.0 × 10⁻²⁶ kgの同種分子が入っています。集団Aは2.0 × 10²¹個で、ある壁に垂直な速度成分の二乗平均が4.0 × 10⁴ m²/s²です。集団Bは1.0 × 10²¹個で、同じ成分の二乗平均が1.0 × 10⁴ m²/s²です。弾性反射し、分子間の力を無視します。各集団の寄与と合計圧力をPa単位、有効数字2桁で求めてください。

集団ごとに力を合計する方法では、AとBの圧力への寄与を同じ体積で割ります。

pA = (2.0 × 10²¹・3.0 × 10⁻²⁶・4.0 × 10⁴)/0.030 = 80 Pa
pB = (1.0 × 10²¹・3.0 × 10⁻²⁶・1.0 × 10⁴)/0.030 = 10 Pa
p = 80 + 10 = 90 Pa

別解では先に全分子の二乗平均を求めます。2集団の平均を単純に足して2で割るのではなく、個数で重みを付けます。

〈vₓ²〉 = (2.0 × 10²¹・4.0 × 10⁴ + 1.0 × 10²¹・1.0 × 10⁴)/(3.0 × 10²¹)
        = 3.0 × 10⁴ m²/s²
p = (3.0 × 10²¹・3.0 × 10⁻²⁶・3.0 × 10⁴)/0.030
  = 90 Pa

個数を重みにした平均へ戻すと、全体の二乗の和は9.0 × 10²⁵ m²/s²です。Aの8.0 × 10²⁵とBの1.0 × 10²⁵の和に一致します。圧力の式に戻してもpV = 2.7 Pa・m³で、各集団の寄与の和と一致します。平衡の実在気体の速度分布を主張する値ではなく、平均の扱いを調べる計算条件です。

圧力を測るとき、何を固定するか

式の検討には、密閉された一定量の気体で、体積を固定し、温度を変えて平衡後の絶対圧を測る設計が考えられます。理想気体に近い範囲では状態方程式pV = nRTから、一定n、Vでpは絶対温度Tに比例します。分子数Nと質量mが一定なら、壁衝突の式と併せて、その壁に垂直な速度成分の二乗平均もTに比例すると読み取れます。これは圧力と温度の測定を模型と突き合わせる見方であり、個々の分子の衝突を直接数えたことにはなりません。

例えば、横軸を絶対温度T、縦軸を絶対圧pとし、両軸の単位と目盛りを付けます。理想気体の近似が成り立つ一定量・一定体積の平衡状態なら、原点を通る直線が予想されます。測定点が直線からずれたときに、ただちに理論の誤りと決めることはできません。容器内の温度が一様になる前に読んだ場合、温度計と気体の温度がずれている可能性があります。各条件を変えた後、温度と圧力の表示が落ち着くまで待つ理由です。

測定器の零点が一定量ずれていれば、各点の圧力に同じ向きのずれが生じ、切片に現れます。気体が漏れればNが減り、同じTとVで圧力は低くなる方向です。容器が温度上昇とともに膨張すれば、一定体積とみなした予測より圧力は低くなり得ます。温度や圧力の目盛りの読み取りにはばらつきもあるため、繰り返した値の散らばりと、一方向に偏る系統的なずれを分けて考えます。密閉気体の加熱や加圧を伴う実験は学校の指導の下で行い、安全な範囲と装置を確認します。

誤答を直す3つの点検

図3のように、最初に対象、次に距離、最後に平均する量を点検します。式の結果が合っていても、この順に言い直せなければ、違う条件の問題で符号や係数を取り違えやすくなります。

誤答1は、壁が受ける力積を-2muとするものです。これは右向きを正にとったとき、分子が受ける力積です。原因は力を受ける対象を途中で入れ替えたことにあります。分子の運動量の変化を先に求め、壁が受ける力積はその反対向きと書けば修正できます。

誤答2は、同じ壁への間隔をL/uとするものです。原因は反対側の壁までの片道を、最初の壁へ戻る距離と混同したことです。最初の壁に印を付け、そこから反対側へ、さらに印のある壁へ戻る矢印を描くと、距離が2Lとわかります。片道を用いると壁への衝突頻度が2倍になり、圧力も2倍になります。

誤答3は、〈vₓ²〉を〈vₓ〉²に置き換えるものです。原因は二乗してから平均する操作と、平均してから二乗する操作を同一視することです。右向きと左向きの成分が同数なら平均成分が0でも、それぞれの二乗は正です。各分子の二乗を先に並べ、個数で割ってから圧力の式に入れます。速度成分の平均が0という理由で圧力を0とすることはできません。

練習問題

以下は計算用の条件です。各容器は固定され、各分子は壁と弾性衝突し、分子間の力を無視します。圧力は指定した壁が受ける平均の力を面積で割った値です。数値の答えは指定の単位で有効数字2桁とし、途中では丸めないでください。

1. 一辺0.30 mの立方体中の質量5.0 × 10⁻²⁶ kgの分子が、右壁へ垂直成分2.0 × 10² m/sで向かいます。右向きを正として、分子が受ける力積と壁が受ける力積をN・sで求めてください。
2. 一辺0.40 mの立方体中の分子の壁に垂直な速度成分の大きさが1.6 × 10² m/sです。同じ壁への連続衝突の間隔をsで求めてください。
3. 体積0.020 m³の立方体に質量2.0 × 10⁻²⁶ kgの分子が5.0 × 10²⁰個あり、壁に垂直な速度成分の二乗平均は3.0 × 10⁴ m²/s²です。壁の圧力をPaで求めてください。
4. 立方体の体積と分子の質量が等しい2つの容器P、Qがあります。Pの分子数はQの2倍、Pの壁に垂直な速度成分の二乗平均はQの3倍です。Pの圧力はQの何倍ですか。比を整数で答えてください。
5. ある壁に垂直な速度成分が、同じ質量の4個の分子についてそれぞれ+1.0 × 10²、-1.0 × 10²、+3.0 × 10²、-3.0 × 10² m/sです。この4個の速度成分の平均と二乗平均を、それぞれm/sとm²/s²で求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. 分子が受ける力積は-2.0 × 10⁻²³ N・s、壁が受ける力積は+2.0 × 10⁻²³ N・sです。衝突前後の分子の運動量は+1.0 × 10⁻²³、-1.0 × 10⁻²³ kg・m/sであり、後から前を引くと負になります。壁への力積は作用反作用で逆向きです。分子の衝突後の運動量に戻しても、衝突前の値と力積の和が一致します。
2. 間隔は5.0 × 10⁻³ sです。右壁から反対側へ0.40 m、戻りに0.40 mの合計0.80 mを進むので、0.80 ÷ (1.6 × 10²)とします。この時間に成分の大きさを掛けると0.80 mとなり、往復距離へ戻ります。
3. 答えは15 Paです。Nm〈vₓ²〉は0.30 J、これを0.020 m³で割ります。求めた圧力に体積を掛けると0.30 Pa・m³となり、分子側の積0.30 Jに戻ります。壁の面積を別に指定しなくても、体積を使う式から圧力を出せます。
4. 答えは6倍です。同じVとmを消してpP/pQ = (NP/NQ)・(〈vₓ²〉P/〈vₓ²〉Q) = 2・3とします。逆にQを基準の1として、分子数を2倍、二乗平均を3倍に変えると、それぞれの倍率が積になり6倍です。速度成分そのものが3倍とは与えられていません。
5. 平均は0.0 m/s、二乗平均は5.0 × 10⁴ m²/s²です。符号を付けて合計すると0ですが、二乗の合計は2.0 × 10⁵ m²/s²なので4で割ります。二乗平均に4を掛けると元の二乗の合計に戻り、符号の相殺と二乗の加算の違いを確かめられます。

覚えておくこと

壁が受ける力積は分子の運動量変化と逆向きです。 同じ壁へ戻る間隔は往復距離を垂直成分の大きさで割ります。 平均の力は力積を衝突間隔で割り、圧力はさらに壁面積で割ります。 pV = Nm〈vₓ²〉では、垂直成分を二乗してから平均します。

つまずきの見分け方

1回の衝突図で、分子と壁のどちらに矢印を描いたか説明できるかを確認します。次に、同じ壁を始点と終点にした経路を描いてもらい、距離2Lと速度成分uの対応を言葉にします。計算で係数が2倍なら、力積と往復時間のどちらかに2を付け忘れた可能性があります。

個別指導で確かめたいのは、式を暗記したかより、異なる速度の分子をどう合計したかです。平均速度が0でも壁への寄与は残る例を自分で作り、二乗の後に平均する操作を説明できれば、圧力の式を条件とともに使えます。壁への往復を追うことが、分子の運動と圧力をつなぎます。