高校物理 熱力学 状態変化の三つのグラフ—同じ経路を圧力と体積と温度で描き替える｜武蔵野個別指導塾

p-V図の斜め線を例に、状態点の対応と経路の曲がり方をたどり、3つの座標で読む状態変化へ。

よくあるのは、高校生がp-V図の斜め線を、そのままV-T図にも斜めの直線として写す場面です。始点と終点の位置を移せても、その間の形まで同じとは限りません。横軸に選ぶ量が変わると、経路上の各点の間隔も変わるからです。まず1点ずつ圧力、体積、温度の組を作り、次に途中の状態がどこへ移るかを追います。

要点（結論から）

• 1状態のp、V、Tを揃えてから座標を選びます。
• 定積はp/T一定、定圧はV/T一定、等温はpV一定です。
• 線の端点だけでなく途中の点も変換します。

どの量を軸に置いたか

問いの型は大きく3つあります。定積、定圧、等温の経路を別の図に描く問い、始点と終点から途中の状態を求める問い、複数の経路を同じ平面に描いて温度の大小を比べる問いです。いずれも図の見た目より先に、封入された気体の量と、軸が表す量を確認します。

縦軸p、横軸Vの図をp-V図、縦軸V、横軸Tの図をV-T図、縦軸p、横軸Tの図をp-T図と呼びます。ここでpは絶対圧、Vは体積、Tは絶対温度です。図によって横軸が変わるので、右向きが必ず膨張を意味するわけではありません。p-V図で右に進むと体積が増えますが、V-T図で右に進むと温度が上がります。

経路を指定しない2点間の状態変化では、始点と終点だけが決まり、間の形は決まりません。反対に、途中の関係が与えられれば、状態方程式を使って別の図にも対応する点を置けます。図の変換は線をコピーする操作ではなく、同じ物理状態に別の座標を与える操作です。

1つの状態を3組の座標で表す

閉じた容器に一定物質量nの理想気体があり、各点が平衡状態を表すとします。気体定数をRとすると、状態方程式はpV = nRTです。したがってT = pV/(nR)です。圧力と体積が正なら、対応する絶対温度も正です。実際の急激な変化では途中が平衡状態とは限らず、滑らかな平衡状態の曲線を当然のように描けません。

図1のように、1状態にはp、V、Tの組があり、そのうち2つを座標として選びます。同じ記号の点を3枚の図で対応させると、軸を入れ替えても気体の状態が変わったわけではないと確認できます。

図1の3つの組は、同じ状態を異なる順番で記録したものです。温度は摂氏温度ではなくKで表します。摂氏温度tとの正確な関係はT/K = t/°C + 273.15です。温度の比を取るときに摂氏の数値をそのまま使うと、原点がずれているため誤ります。

定積ではVが変わらず、p/T = nR/Vが一定です。p-V図では縦の線、V-T図では横の線、p-T図では絶対温度の原点を通る直線の一部です。実際に描くのは与えられた温度の区間であり、原点まで気体を冷やせるという主張ではありません。

定圧ではpが変わらず、V/T = nR/pが一定です。p-V図では横の線、V-T図では原点を通る直線の一部、p-T図では横の線です。定積と定圧の両方で温度が上がるとき、前者は圧力が増え、後者は体積が増えます。軸を見ずに「右上がり」と覚えると、どの量が増えたのかを取り違えます。

等温ではTが一定なのでpV = nRTは一定です。p-V図では双曲線の一部になり、V-T図とp-T図ではそれぞれ縦の線になります。p-V図で等温線上のVが2倍になればpは半分です。直線で結ぶと中間点の積が一定でなくなるため、等温の条件を満たしません。経路の向きは始点と終点の順から矢印で示します。

点を移してから線の形を決める

例題1　定圧で温度を上げる

一定量の理想気体が、絶対圧2.0 × 10⁵ Paを保ち、体積1.0 × 10⁻³ m³、温度300 Kの状態Aから600 Kの状態Bへ準静的に変化します。Bの体積を有効数字2桁で求め、3つの図で経路の形を答えてください。

定圧なのでV/Tが一定です。よってVＢ = 1.0 × 10⁻³ × 600/300 = 2.0 × 10⁻³ m³です。圧力は変わらないので、図2のようにp-V図では右向きの水平線、V-T図では原点を通る直線の一部を右上へ進み、p-T図では右向きの水平線になります。原点を含む実験区間ではないため、直線の延長と実際の経路は区別します。

図2の状態を戻して確かめます。AのpVは200 J、BのpVは400 Jで、温度の比600/300と一致します。nRは両方とも200/300 J/Kです。図の矢印を逆にすれば定圧冷却となり、温度も体積も減りますが、同じ直線上をたどります。

例題2　等温の点を別の軸へ

一定量の理想気体を300 Kに保ち、準静的に体積2.0 × 10⁻³ m³、絶対圧3.0 × 10⁵ Paから体積6.0 × 10⁻³ m³へ膨張させます。終状態の圧力を有効数字2桁で求め、途中を含む経路の形を答えてください。

等温ですからpVは600 Jで一定です。終状態の圧力は600/(6.0 × 10⁻³) = 1.0 × 10⁵ Paです。例えば体積が4.0 × 10⁻³ m³の途中点では圧力は1.5 × 10⁵ Paとなり、pVは再び600 Jです。p-V図では右下がりの双曲線、V-T図ではT = 300 K上を上向き、p-T図では同じ温度上を下向きに進みます。

始点と終点を直線で結んだ場合、体積4.0 × 10⁻³ m³における圧力は2.0 × 10⁵ Paになります。この点のpVは800 Jで、同じnなら温度は400 Kです。端点が等温線上にあっても、直線上の途中点まで等温とは限りません。逆に、図で2状態の温度が等しいと読めても、間の温度が一定かは経路の指定が必要です。

斜めの直線を描き替える

例題3　圧力が体積に比例する経路

一定量の理想気体が準静的に、状態AのV = 1.0 × 10⁻³ m³、p = 1.0 × 10⁵ Pa、T = 300 Kから、状態BのV = 2.0 × 10⁻³ m³、p = 2.0 × 10⁵ Paまで、p-V図上の直線を進みます。途中の体積は正とします。Bの温度と、V = 1.5 × 10⁻³ m³の中間点Cの圧力、温度を有効数字2桁で求め、V-T図とp-T図の形を説明してください。

この直線は原点を通る延長を持つので、経路上でpはVに比例します。BのpVはAの4倍ですから、TＢ = 1200 Kです。Cではp = 1.5 × 10⁵ Paで、pVはAの2.25倍です。したがってTＣ = 675 Kで、指定に従い6.8 × 10² Kです。図を描くときには丸める前の675 Kを使います。

別解として、体積の倍率をx = V/VＡとおけば、圧力もp/pＡ = xです。状態方程式よりT/TＡ = x²となります。したがってV/VＡ = √(T/TＡ)、p/pＡ = √(T/TＡ)です。どちらの図でも温度が増えるにつれてVまたはpが増えますが、右へ行くほど傾きが小さくなる曲線です。V-T図でAとBを直線で結ぶと、Cの体積1.5 × 10⁻³ m³に対応する温度は750 Kとなり、実際の675 Kと一致しません。

答えを場面に戻すと、Cの積は225 J、Aは100 Jであり、温度比675/300 = 2.25と一致します。Bの積400 Jも1200/300 = 4倍です。どの状態もp、V、Tが正であり、直線上の圧力の比例条件も満たします。例題の直線が原点を通ることは重要です。一般の斜め直線p = aV + bではT = (aV² + bV)/(nR)となり、必ずしも平方根そのものの形にはなりません。点を複数取って向きと曲がり方を確認します。

測定で経路を確かめる

学校の指導の下、一定量の気体を閉じ込めた装置の圧力、体積、温度を測る実験を考えます。密閉加熱や加圧には危険があるため、操作は指導者の管理に任せ、ここでは記録の読み方を考えます。気体の種類と封入量を固定し、たとえば外から加える荷重を段階的に変え、各段階でp、V、Tを記録します。変化直後では温度や圧力が落ち着いていない可能性があるため、値が安定するまで待つ条件を設けます。

圧力計が大気圧との差を表示する場合は、測った大気圧を加えて絶対圧に直します。零点がずれていると各点のpV/Tに同じ方向の偏りが生じます。体積の目盛りの読み取りにはばらつきがあり、同じ条件で繰り返した記録の散らばりとして現れます。圧力の零点ずれは繰り返しの平均だけでは消えにくい系統誤差です。

摩擦があるピストンは荷重を少し変えても動かず、動く瞬間に値が跳ぶことがあります。外から計算した圧力を、気体の内圧と無条件に同一視しないことが必要です。周囲との熱のやり取りや温度計の応答遅れも、変化直後の点を平衡状態からずらします。漏れがあればn自体が変わるため、pV/Tが一定かを点ごとに点検します。ずれがあっても、その原因が漏れと断定できるわけではありません。

一方、熱量測定を組み合わせる場合は、容器にも熱容量があり、外への熱損失も生じます。投入した熱がそのまま気体へ渡ったとみなせば熱収支を誤ります。ここで描く状態の対応は熱量の値を決める作業ではなく、気体の状態方程式と経路の条件を確かめる作業です。p-V図の面積から仕事を読むには準静的な条件が必要で、その面積の計算は扱いません。

間違いの線を点で検査する

図3のように、p-V図の直線をV-T図に直線として移す誤答を考えます。始点と終点だけは合わせられても、中間点の温度が状態方程式と一致しません。原因は座標を変えたときの目盛りの伸び方を考えず、線の形を保存したことです。中間のVを1つ選び、元の直線からpを読み、T = pV/(nR)で温度を計算して打ち直します。

図3の曲線と直線は端点で一致しても途中で分かれます。線を修正するときは、点が原点に近いかどうかではなく、同じ状態のpVとTが対応するかを見ます。もう1つの誤答は、定圧過程をV-T図でも水平にすることです。一定なのはpであり、縦軸Vではありません。V/T一定に戻せば、温度の上昇に伴って体積も増えると直せます。

さらに、p-V図の等温線を直線にする誤りは、途中のpVを調べれば見つかります。積が一定でなければ温度は一定ではありません。逆に、点が曲線上に見えるだけで等温と断定することもできません。目盛りの数値と一定量の条件を確認してから判定します。

練習問題

各問は一定量の理想気体が平衡状態を保ちながら変化するとします。圧力は絶対圧、温度はKです。数値の答えは有効数字2桁にし、経路の形を言葉で答えてください。途中では丸めません。

1. 体積3.0 × 10⁻³ m³を保ち、圧力が1.2 × 10⁵ Pa、温度が240 Kの状態から圧力を1.8 × 10⁵ Paにします。終温度と3図の経路を求めてください。
2. 圧力4.0 × 10⁵ Paを保ち、温度400 K、体積2.0 × 10⁻³ m³から温度500 Kにします。終体積と3図の経路を求めてください。
3. 温度450 Kで体積4.0 × 10⁻³ m³、圧力2.4 × 10⁵ Paから、体積を8.0 × 10⁻³ m³にします。終圧力と3図の経路を求めてください。
4. p-V図でpがVに比例し、始状態のp = 2.0 × 10⁵ Pa、V = 2.0 × 10⁻³ m³、T = 320 Kから、体積が3.0 × 10⁻³ m³になります。終圧力、終温度とV-T図の形を求めてください。
5. 温度360 K、圧力3.0 × 10⁵ Pa、体積2.0 × 10⁻³ m³の状態から、まず定積で圧力を2倍にし、続いて定圧で体積を半分にします。各段階の終温度と、V-T図の2区間の形を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. p/T一定なので、終温度は240 × 1.8/1.2 = 360 Kです。p-V図は上向きの縦線、V-T図は右向きの水平線、p-T図は原点を通る直線の一部を右上へ進みます。圧力と温度の倍率はともに1.5で、体積は指定どおり一定です。

2. V/T一定より、終体積は2.0 × 10⁻³ × 500/400 = 2.5 × 10⁻³ m³です。p-V図は右向きの水平線、V-T図は原点を通る直線の一部を右上へ進み、p-T図は右向きの水平線です。体積と温度の比はともに1.25で、一定圧の条件に戻ります。

3. pV一定より、終圧力は2.4 × 10⁵ × 4.0/8.0 = 1.2 × 10⁵ Paです。p-V図は右下がりの双曲線、V-T図は上向きの縦線、p-T図は下向きの縦線です。始点と終点のpVはいずれも960 Jで、温度450 Kを保つ条件と合います。

4. 体積の倍率は1.5なので、終圧力は3.0 × 10⁵ Pa、終温度は320 × 1.5² = 720 Kです。V-T図は右上がりで、右に進むほど傾きが小さくなる曲線です。終状態のpVは900 Jで始状態の400 Jの2.25倍となり、温度比720/320と一致します。

5. 定積区間の終温度は360 × 2 = 720 Kです。次の定圧区間の終温度は720 × 1/2 = 360 Kです。V-T図では最初に右向きの水平線を進み、次に原点を通る直線上を左下へ進みます。最後のpVは6.0 × 10⁵ × 1.0 × 10⁻³ = 600 Jで、始点と同じです。一定量なら温度が始点と同じ360 Kに戻ることも確かめられます。

要点

• 1状態のp、V、Tを揃えてから座標を選びます。
• 定積はp/T一定、定圧はV/T一定、等温はpV一定です。
• 線の端点だけでなく途中の点も変換します。
• 絶対温度と絶対圧を使い、経路の向きを矢印で示します。
• 平衡状態の経路が与えられない場合、途中の線は決まりません。

どこで読み違えたか

図を見て、まず一定の量を言葉で説明できるかが見分ける入口です。定圧と聞いてV-T図を水平に描くなら、一定量と縦軸の量が混ざっています。始点と終点は合うのに途中がずれるなら、中間点のpV/Tを計算して線の形を見直します。

個別指導では、軸の名称と単位を本人に書いてもらい、同じ状態を3枚の図で指し示せるかを確かめます。次に温度が上がる向きと体積が増える向きを区別し、与えられていない途中の経路を勝手に補っていないかを尋ねます。座標を替えても、各点の状態方程式は同じです。