高校物理 熱力学 気体の状態比較と物質量—変化前後の比から一定量の仮定を点検する｜武蔵野個別指導塾

袋の圧力・体積・絶対温度を前後で比べ、温度低下と漏れの見分け方を気体の状態比から考えます。

よくあるのは、ふくらませた袋がしぼんだ記録を見て、温度が下がったのか、中の気体が漏れたのか決められずに悩む場面です。体積が小さくなることは、どちらの場合にも起こりえます。袋の形や手触りだけで理由を決めず、圧力、体積、温度を同じ状態に対応させて比べてみましょう。状態方程式は、量が変わらないと決めてから使う式ではありません。各状態に含まれる物質量を調べ、その仮定が記録と合うかを点検する道具にもなります。

状態を比べる問題で何を聞かれるか

一つ目の型は、密閉した一定量の気体について、変化前後の圧力と温度から体積を求める問題です。固定される物質量を使って未知数を消します。ただし密閉されているという条件が必要で、袋がしぼんだという観察だけから固定量を決めることはできません。

二つ目は、前後の圧力、体積、温度を使い、物質量の比を求める問題です。気体が出入りしても、それぞれの測定時点で理想気体の状態方程式が使えるなら、各時点の物質量を比較できます。途中の流出の仕方を指定しなくても、両端の状態の比較は可能です。

三つ目は、記録の誤差や測定不足に気づき、漏れの有無を断定できるか判断する問題です。体積と温度が同時に変わる袋では、圧力も測らないと一般には結論が定まりません。式に値を入れる前に、何を測って何が不明なのかを整理すると、計算できる範囲が見えます。

比を作る前に、同じ状態の三つの量をそろえる

比べる対象は、各測定時点で袋の内部にある気体です。最初と後で同じ分子が残っているとは限らないため、漏れを調べる場面では、物質量をそれぞれ n₁、n₂ と分けます。圧力 p は気体の絶対圧、体積 V はその気体が占める体積、温度 T は絶対温度で表します。いずれも各時点で気体が十分に落ち着き、一つの圧力と温度で表せるとします。

理想気体を近似として用いると、各状態について pV = nRT です。R は気体定数であり、同じ単位系で二つの状態を扱えば共通です。式を物質量について整理してから比を取ると、次のようになります。

n₁ = p₁V₁/(RT₁)
n₂ = p₂V₂/(RT₂)
n₂/n₁ = (p₂V₂/T₂)/(p₁V₁/T₁)
         = (p₂/p₁)・(V₂/V₁)・(T₁/T₂)

分母にある温度の比は前後が逆向きです。後の温度が低いと、同じ pV を作るには多くの物質量が必要になるためです。図1のように、後の値を前の値で割る圧力と体積に対し、温度は前の値を後の値で割ると覚えるだけでなく、元の式に戻って確かめます。

図1の左は一つの状態の pV/T が nR に対応すること、右は二つの状態の比で共通の R が消えることを表します。pV/T が前後で等しいなら、理想気体の仮定の下で n₁ = n₂ です。ここで初めて、一定量の場合の p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ が得られます。式を最初から前提にすると、量が変わった記録を見落とします。

絶対温度は、摂氏温度 t を用いて T/K = t/°C + 273.15 と換算します。温度差は K と °C で同じ大きさですが、温度の比は摂氏の数値では取れません。例えば 20 °C を 10 °C にしたとき、温度が半分になったとする計算は不適切です。問題で近似式を指定されたときは、その近似を前後で統一します。

圧力も同様に、測定器が何を示すかを確かめます。大気圧との差を表示する器具の値は、そのまま p に入れる絶対圧とは限りません。袋が柔らかく、内圧が外圧とほぼ等しいと見なせる場合でも、外圧が変われば内圧も同じとは限りません。袋の張りや周囲の圧力が変わる条件では、内圧を実測するか、問題文で定める必要があります。

基本例題：冷えた袋の体積を予測する

柔らかい袋に一定量の理想気体が入っています。前後とも内部の絶対圧は等しく、気体は各測定時に平衡です。初めの体積は 2.00 L、絶対温度は 300 K、後の絶対温度は 240 K です。漏れはないものとして、後の体積を L 単位、有効数字3桁で求めてください。

図2のように、圧力と物質量が一定なら V/T が一定です。温度が下がるため、体積も同じ割合で減ると予想できます。

V₂/V₁ = T₂/T₁
V₂ = 2.00 L・240/300
   = 1.60 L

答えは 1.60 L です。図2の二つの袋は模式図で、面積を実際の体積比として読むものではありません。求めた体積を元に戻すと、1.60/240 = 2.00/300 となり、一定圧力での状態方程式に合います。減った 0.40 L は温度低下と整合する体積変化であり、この計算では気体が袋の外へ出た量を意味しません。

もし漏れの有無が未知で、同じ温度と体積が測られた場合はどうでしょうか。前後の圧力も等しいと確認できるなら pV/T が等しく、理想気体のモデルでは物質量の変化はありません。一方、圧力を測っていなければ、この体積の一致だけから物質量の一致を結論できません。計算の仮定と、観測で判定できた事柄を分けることが重要です。

標準例題：圧力も変わった記録から残量を求める

ある袋の中の理想気体を、平衡に達した2時点で測りました。初めは絶対圧 100 kPa、体積 3.00 L、温度 300 K、後は絶対圧 120 kPa、体積 2.00 L、温度 320 K でした。各値を問題の正確な条件として、後の物質量は初めの何倍かを有効数字2桁で求めてください。袋への気体の出入り以外に物質量を変える要因はないものとします。

各状態に式を立てます。圧力と体積はそれぞれ前後で同じ単位を使うため、比を取ると単位が消えます。

n₂/n₁ = (120/100)・(2.00/3.00)・(300/320)
         = 0.75

答えは 0.75 倍です。後には初めの 75 % が残り、正味で初めの 25 % に当たる物質量が減りました。圧力は増えていますが、体積減少と温度上昇も含めると残量は減ります。体積だけの比 2/3 を残量の比にすることはできません。

検算では、後の pV/T を直接作ります。初めは 100・3.00/300 = 1.00、後は 120・2.00/320 = 0.750 です。同じ単位で表した両者の比は 0.75 となり、式に戻しても一致します。正味で減ったことはわかりますが、途中で一度流入した後にさらに流出するなど、詳しい履歴までは2点だけでは決まりません。

発展例題：小さな差を漏れと断定できるか

袋の内部にある理想気体を、十分に落ち着いた2時点で測定しました。読み取った値では、後の絶対圧は初めの 1.20 倍、体積は 0.720 倍、絶対温度は 0.900 倍です。6個の測定値はそれぞれ、読み取った値に対し真の値が最大で前後1.0 % ずれうるとします。各ずれの向きは独立とし、それ以外のモデル誤差は考えません。読み取った値から求める物質量比を有効数字2桁で示し、この許容範囲だけから正味の漏れを断定できるか答えてください。

読み取った中心値を使うと、次のようになります。

n₂/n₁ = 1.20・0.720/0.900
         = 0.96

見かけ上は 4.0 % 減っています。しかし、圧力・体積・温度のそれぞれについて、後の値と前の値の誤差が逆向きになる場合を考えます。比を最小にするのは、後の圧力と体積、前の温度が低く、対応する残りの3値が高いときです。最大はその逆です。

最小比 = 0.96・(0.99/1.01)・(0.99/1.01)・(0.99/1.01)
       ≒ 0.90
最大比 = 0.96・(1.01/0.99)・(1.01/0.99)・(1.01/0.99)
       ≒ 1.02

許される範囲が 1 を含むため、物質量が変わらない場合も記録と両立します。したがって、中心値は 0.96 倍ですが、正味の漏れを断定できません。最大のずれが同時に起きる場合まで含めた幅であり、各値がその端に実際になったと主張するものではありません。

別の見方では、漏れなしと仮定して、後の体積に必要な値を逆算します。圧力比 1.20、温度比 0.900 を中心値として固定すると、一定量に必要な体積比は 0.900/1.20 = 0.750 です。読み取り値 0.720 との差が測定の許容範囲に入るかを検討すれば、同じ判断につながります。ただし体積だけの誤差を見て結論してはいけません。圧力と温度の前後の測定にも幅があるためです。

封入量が違う二つの袋も同じ式で比べる

前後の変化でなく、別々の袋に封入した量を比べるときも考え方は同じです。各袋の気体を理想気体と近似でき、同じ単位で p、V、T を測れば、それぞれの pV/T の比が物質量の比です。たとえば圧力と絶対温度が同じ二つの袋なら、体積比が物質量比になります。袋の材質や形が違っても、内部の圧力と温度が与えられていれば、形そのものを式に入れる必要はありません。

ただし二つの袋の物質量が等しいと書かれていない限り、等しいとは置けません。また、封入量の比較は物質量の比較です。異なる種類の気体なら、物質量の比と質量の比は一般に一致しません。質量まで求めるには各気体のモル質量という別の情報が必要です。袋の見た目が同じでも圧力や温度が違えば、体積の一致だけで物質量の一致は言えません。

同じ体積比から異なる説明が生まれる理由

体積だけでは決まらないことを、文字のままで確かめます。後の体積が初めの 4/5 になり、圧力が前後で等しいとします。温度も 4/5 になっていれば、物質量の比は (4/5)/(4/5) = 1 です。一方、温度が変わらなければ、物質量の比は 4/5 です。どちらも同じ体積比に合いますが、前者は一定量、後者は正味で減少しています。温度と圧力を測る理由は、二つの説明を区別するためです。

実際には圧力が同じとは限らないので、体積と温度が両方記録されても注意が必要です。一定量を仮定すると、後の圧力比は温度比を体積比で割った値になるはずです。この予測と独立に測った圧力が一致するかを確かめれば、仮定を検討できます。逆に、圧力を測らずに一定量から計算した値を「測定と一致した」と扱うことはできません。

気体が袋の外へ出た場合でも、前後の状態それぞれには状態方程式を適用できます。ただし袋の中身を同じ固定量の系として前後に追っているわけではありません。各時点に袋の中にある量を別々に数えた上で比を取ります。途中の流れに伴うエネルギー収支は、両端の状態比からは求めません。

袋の記録をどう測り、どこで判断を保留するか

学校の指導の下で、測定の設計を考えます。密閉を保つ試行と、物質量が変わりうる試行を区別し、袋の材質や周囲の条件を記録します。変える量は周囲の温度とし、各時点で内圧、気体の体積、気体の温度を測ります。密閉を仮定する試行では封入口を保ち、測定ごとの時間と外圧も控えます。加熱や加圧を伴う装置の操作は学校の指導の下で扱います。

温度を変えた直後は、袋の壁付近と内部の温度がそろっていないことがあります。圧力や体積が変化中の値と、遅れて応答した温度計の値を組み合わせると、同じ状態の pV/T になりません。各表示が落ち着き、測定の時間差による変化が十分小さくなってから対応させます。待つ間にも漏れが起きうるので、時刻を記録し、安定の確認と漏れの検出の両方を考えます。

系統誤差の例は、圧力計の零点のずれや、袋の接続部を体積に含めないことです。気体が入る接続部の体積を毎回除外すると、袋本体の体積が変わる場合に比までずれます。絶対圧の換算に使う外圧が前後で違うのに同一と置く場合も、変化を漏れと取り違えます。器具の表示の定義を確認し、接続部を含む範囲をそろえることが対策です。

読み取り誤差は、目盛りの幅や袋の形が定まらないことから生じます。同条件の読み取りを重ねればばらつきを調べられますが、繰り返しだけで共通の零点のずれが消えるとは限りません。前後の pV/T の差が測定の幅より小さいなら、正味の減少は判定保留です。より精度の高い測定を考える際も、誤差の原因を決めつけず、圧力・体積・温度のそれぞれを見直します。

グラフにするなら、横軸を測定時刻、縦軸を同じ単位で計算した pV/T とします。理想気体の近似が使えれば、縦の値は R 倍された物質量に対応します。一定の範囲に収まる記録と、誤差の幅を超えて下がる記録を比較できます。ただし隣り合う測定点の間の変化を直接見たわけではありません。点を線で結んでも、途中の漏れの時刻や流出速度を確定することはできません。

また、pV/T の変化が測定の幅を超えても、それだけで穴の位置や流出経路までは特定できません。気体の理想性、測定器の変化、系に含めた範囲なども検討します。一定量なのにモデルが合わない場合と、モデルが使えて物質量が変化した場合は、追加の情報で区別します。

測定に失敗した記録も考えてみます。温度計の応答が追いつかず、圧力と体積の測定時刻に対応する温度が得られなかったとします。このときは途中の値を前後の表示から勝手に決めず、その時点の比を求められないと判断します。時刻を合わせて測り直すか、温度の範囲を別に見積もれるなら、その範囲を使った比の幅を示します。

値の組そのものも点検します。絶対温度が 0 K 以下、体積が負、あるいは絶対圧が負という入力は、この理想気体の状態を表す値として使えません。計算機に入れて数が出ても、温度の単位、目盛りの読み取り、圧力差の扱いを確認し、正しい値が得られるまで判定を止めます。また、温度差だけがわかっても初めの絶対温度が不明なら温度比は決まりません。求める量に必要な情報がそろっているかを先に見る習慣が、誤った数値の答えを防ぎます。

誤答から、足りない条件を探す

誤答1は「体積が小さくなったので漏れた」です。原因は、温度と圧力の変化を考えず、体積と物質量を直接結びつけたことです。図3のように、同じ圧力でも温度が下がれば、一定量の袋はしぼみます。三つの状態量を測り、pV/T の前後を比較して直します。

誤答2は「p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ だから漏れはない」です。この式は、物質量が等しい場合に導いたものです。漏れを調べる場面で先にこの式を置くと、結論を仮定してしまいます。まず両辺を別々に計算し、測定の幅を含めて比較します。

誤答3は「前後の圧力差が 0 だから状態方程式の圧力も 0」です。圧力差と絶対圧は別の量です。表示が大気圧との差である場合、外の絶対圧を加えて内部の絶対圧を作ります。表示がどちらなのか不明なら、数値を勝手に補わず判定を保留します。

誤答4は「pV/T が小さくなれば途中でずっと漏れ続けた」です。両端の比が示すのは、モデルの下での正味の物質量の変化です。途中で流入があったか、どの時間帯に変化したかは、2点の記録からは決まりません。追加の時刻の測定や流入の有無の情報が必要です。

確かめる5問

各問では、測定時の気体は理想気体で、各状態は平衡に達しているものとします。与えられた数値は計算用の条件です。圧力はすべて絶対圧とします。比は有効数字2桁、体積と圧力は指定した単位で有効数字3桁にしてください。

1. 密閉した一定量の気体が、一定圧力の下で 320 K、4.00 L から 280 K になりました。後の体積を L で求めてください。
2. ある袋は初め 100 kPa、2.00 L、300 K、後は 120 kPa、1.50 L、300 K でした。後の物質量は初めの何倍ですか。出入り以外に物質量を変える要因はありません。
3. 2個の袋 A、B はそれぞれ前後の圧力が等しく、両袋とも体積は初めの 0.800 倍になりました。絶対温度は A が初めの 0.800 倍、B が変化なしです。それぞれの物質量の後と前の比を求めてください。
4. 密閉した一定量の気体の初めの絶対圧は 100 kPa、体積は 2.00 L、温度は 300 K です。後の体積は 1.60 L、温度は 360 K です。後の絶対圧を kPa で求めてください。
5. 袋の前後の体積と絶対温度はいずれも変化せず、絶対圧の読み取り値は初め 100 kPa、後 90.0 kPa でした。読み取り値を正確なものとして求める物質量比と、後の圧力計に零点のずれがあり真の圧力が不明な場合の判定を答えてください。

5問の答えと考え方

1. 答えは 3.50 L です。一定量・一定圧力から、後の体積は 4.00・280/320 = 3.50 L です。元に戻すと 3.50/280 = 4.00/320 となり、温度が下がる向きとも合います。一定量という条件があるから、この比例を使用できます。

2. 答えは 0.90 倍です。圧力比 120/100 と体積比 1.50/2.00 を掛け、温度比は 1 とします。初めの pV/T は 100・2.00/300、後は 120・1.50/300 で、後を初めで割ると 0.90 です。正味で初めの 10 % が減ったことに対応します。

3. A は 1.0 倍、B は 0.80 倍です。圧力比が 1 なので、体積比を絶対温度比で割ります。A は 0.800/0.800 = 1、B は 0.800/1 = 0.800 です。逆に一定圧力で各比を温度比に掛けると、どちらも条件の体積比 0.800 に戻ります。同じ体積減少でも物質量の変化は異なります。

4. 答えは 150 kPa です。一定量の式を圧力について解くと、p₂ = 100・(2.00/1.60)・(360/300) です。答えを戻すと 150・1.60/360 = 100・2.00/300 となります。温度上昇と体積減少の両方が、圧力上昇の向きに働きます。

5. 読み取り値を正確とする場合の答えは 0.90 倍です。体積と温度の比が 1 なので圧力比 90.0/100 が物質量比になります。後の圧力 90.0 kPa を式に戻しても同じ比です。後の真の圧力が不明な場合は、比も正味の漏れの有無も決まりません。零点のずれを測定して補正する情報が必要です。

覚えておくこと

• 各状態で pV/T = nR とし、圧力は絶対圧、温度は絶対温度でそろえます。
• 一定量の比較式は n が等しい条件から導きます。
• 物質量が未知なら、後と前の pV/T の比を計算します。
• 記録に不足や誤差があれば、漏れの判定を保留します。

自分の説明が止まった場所を見分ける

温度を掛ける向きで迷うときは、n = pV/(RT) を各状態で書き、後を前で割ってください。式は立つのに漏れを断定してしまうときは、圧力を測ったか、誤差の幅を考えたかを確認します。個別指導では、袋の境界に矢印を描いて気体の出入りを表し、各時点の p・V・T が同じ時刻の値かを本人の言葉で説明してもらいます。値が足りない問題で「決まらない」と言えることも、状態比較を使いこなす力です。