高校物理 熱力学 状態方程式と単位換算—物質量を求める前に圧力と体積の桁をそろえる｜武蔵野個別指導塾

Lからm³への換算、絶対圧、分子数と密度の関係を例題でたどり、計算の桁を守る鍵は状態方程式です。

よくあるのは、気体の体積をLで読んだ高校生が、その数値をそのままSI単位の気体定数と組み合わせ、物質量の答えに迷う場面です。式の形が合っていても、体積の数値は単位が変われば変わります。圧力が絶対圧か、温度が絶対温度かも含め、代入前に量をそろえるところから考えます。

要点（結論から）

• pV = nRTには絶対圧、m³、Kを対応させます。
• Lからm³への換算では数値を1000分の1にします。
• 分子数はN = nNₐ、密度とモル質量はp = ρRT/Mで結びます。

何を求める式か

出方の1つは、圧力・体積・温度から気体の物質量を求める問題です。単位をそろえたpVをRTで割り、得られたmolを元の状態に戻して確認します。もう1つは、質量と体積が加わり、密度やモル質量を求める問題です。こちらでは質量と物質量の関係を状態方程式に重ねます。3つ目は、物質量と分子数の換算です。1 mol当たりの個数を使うため、molと個を同じ意味にしないことが出発点です。

いずれも圧力、体積、温度が平衡状態を表すことを前提とします。状態式は、気体がどの道筋を通ってその状態に達したかを指定する式ではありません。容器内の気体を理想気体とみなせるか、測った圧力は何を基準とするかを問題の条件から読み取ります。標準状態の体積を暗記して当てはめる必要はありません。

圧力と体積の積が表す量

密閉された一定量の理想気体を考えます。絶対圧をp、体積をV、物質量をn、絶対温度をT、気体定数をRとすると、状態方程式は次の形です。

pV = nRT
n = pV/(RT)

一定量で温度を固定すればpVは一定です。また、一定量で圧力を固定すればVはTに比例します。これらの実験則を理想気体にまとめ、物質量が増えたときの比例も含めた関係が状態方程式です。圧力は力を面積で割った量で、容器の外の圧力との差ではなく真空を基準にした絶対圧を使います。差圧が与えられた場合は、問題で与えられた外の絶対圧を加えて内側の絶対圧に直します。

図1のように、式の両辺にはそれぞれ同じ単位が残ります。1 Paは1 N/m²なので、Paにm³を掛けるとN・m、すなわちJです。RをJ/(mol・K)で用いれば、nRTもJになります。この対応は式の次元を点検する道具です。ただし、単位が合っていても数値を正しく換算した保証にはなりません。

図1の左右を比べると、圧力と体積の積と、物質量・気体定数・温度の積が同じ単位を持つことが見えます。1 L = 10⁻³ m³、1 kPa = 10³ Paです。たとえば体積の数値をLからm³に変えると1000分の1になります。温度はT/K = t/°C + 273.15で換算します。問題が273を用いる近似を明示したときは、その問題の中で一貫して用います。

分子数をN、アボガドロ定数をNₐとするとN = nNₐです。Nₐ = 6.02214076 × 10²³ mol⁻¹は定義値です。分子1個あたりで表すならpV = NkTとも書け、k = 1.380649 × 10⁻²³ J/Kです。R = Nₐkという関係により、1 molを単位とする式と1個を単位とする式が対応します。計算用の近似値を与えられたときは、その値を使用します。

気体の質量をm、モル質量をM、密度をρとします。m = nM、ρ = m/Vなので、n = m/Mを状態方程式へ入れると、pV = (m/M)RTです。両辺をVで割ればp = ρRT/M、したがってM = ρRT/pです。Mをkg/molで求めるならρはkg/m³、pはPa、RはJ/(mol・K)にそろえます。密度が同じでも温度や圧力が違えばモル質量を同一と判定できません。

数値を入れる前にそろえる

例題1　容器中の物質量

密閉容器中の理想気体の絶対圧は2.00 × 10⁵ Pa、体積は4.00 L、温度は300 Kです。計算用にR = 8.00 J/(mol・K)とします。物質量を有効数字3桁で求めてください。

図2のように、まず4.00 Lを4.00 × 10⁻³ m³に直します。これは体積が小さくなったという意味ではなく、同じ大きさを別の単位で表したものです。次に状態方程式から物質量を取り出します。

pV = (2.00 × 10⁵)・(4.00 × 10⁻³) = 800 J
RT = 8.00・300 = 2400 J/mol
n = 800/2400 = 0.333 mol

答えを元に戻すと、丸め前の1/3 molについてnRT = 800 Jです。指定の圧力と体積の積に一致します。図2の容器に入る気体の量として、温度と圧力を変えずに体積を2倍にすれば物質量も2倍になることも式に沿っています。

例題2　圧力計の基準を読む

密閉容器内の理想気体について、外の絶対圧より内側が50.0 kPa高いと測定されました。外の絶対圧は100 kPa、体積は8.00 L、温度は300 Kです。R = 8.00 J/(mol・K)を計算用の値とします。物質量を有効数字3桁で求めてください。

測定値50.0 kPaは内外の差です。状態方程式に入れる圧力は150 kPa、すなわち1.50 × 10⁵ Paになります。体積は8.00 × 10⁻³ m³です。

pV = (1.50 × 10⁵)・(8.00 × 10⁻³) = 1200 J
n = 1200/(8.00・300) = 0.500 mol

逆に0.500 molから内圧を求めると150 kPaで、外圧100 kPaを引けば与えられた差の50.0 kPaに戻ります。差圧をそのまま入れると気体分子が壁に及ぼす絶対圧を過小評価します。一方、問題が初めから絶対圧を与えていれば、外圧をもう一度加えてはいけません。

密度を経由する別解と測定の見方

例題3　質量と体積からモル質量へ

ある理想気体0.0120 kgが、絶対圧1.00 × 10⁵ Pa、温度300 Kで体積9.00 Lを占めます。R = 8.00 J/(mol・K)を計算用の値とします。モル質量をkg/molで有効数字3桁にして求めてください。

まず状態方程式からnを求め、質量を割ります。

n = (1.00 × 10⁵)・(9.00 × 10⁻³)/(8.00・300)
n = 0.375 mol
M = 0.0120/0.375 = 0.0320 kg/mol

別解では密度を使います。ρ = 0.0120/(9.00 × 10⁻³) kg/m³をM = ρRT/pに代入すると、同じ0.0320 kg/molです。丸め前の値を用いると、nMは0.0120 kgに、nRT/pは9.00 × 10⁻³ m³に戻ります。質量と体積の両方に戻すことで、単位換算と式の適用を点検できます。

この関係を測定で調べるなら、一定量の気体について温度を変え、各平衡状態で絶対圧と体積を測ります。密閉性を保ち、装置が落ち着いて温度が一様になるまで待つことが必要です。危険のある加熱や加圧は学校の指導の下で行います。ここでは操作の手順より、測定値の解釈を考えます。

圧力計の零点に一定のずれがあると、各点のpV/Tにも偏りが出ます。体積の読み取りに含まれない接続部があれば、使ったVは実際より小さくなり、他の量が正しければ求めたnも小さくなります。容器や温度計の熱容量、外部への熱損失は平衡に達するまでの時間や温度の読みを左右します。ピストンを用いる装置なら摩擦で内外の圧力が一致しない場合もあります。これらは測定条件を確かめずに単一の補正で消せません。

たとえば一定のnとTの下でpを縦軸、1/Vを横軸に取ると、理想気体では原点を通る直線になり、傾きはnRTです。原点からのずれを見つけても、直ちに特定の原因とは決められません。圧力の零点、体積に含めた範囲、温度の安定を別々に点検します。測定点が直線に近いことも、理想気体の近似があらゆる条件で成り立つ証明ではありません。

測定値の整理では、単位の換算を表の列名にも残します。たとえば体積をLで記録した列と、計算に使うm³の列を分ければ、同じ数値を異なる単位として扱う危険が減ります。圧力も差圧と絶対圧を別の列にし、外の圧力を加えた根拠を記録します。測定点ごとに温度が異なる場合、傾きからnを読む前にTが一定という条件を満たすかを点検します。

読み取りのばらつきがあるときは、1点の値だけで結論を急がず、繰り返した測定の散らばりを見ます。ただし繰り返しによって零点のずれが自動的に消えるわけではありません。ばらつきと同じ向きに残る偏りを分けて考え、装置の基準を確かめることが、式と現実の測定を結ぶ一歩です。

ずれた答えから原因を探す

図3のように、例題1で4.00 Lの数値をそのままm³として入れると、物質量は正しい値の1000倍になります。原因は状態方程式ではなく、数値と単位を切り離した代入です。4.00 L = 4.00 × 10⁻³ m³と書いてから代入し直します。

図3の左右は同じ容器を表しています。別の誤りとして、摂氏温度をそのままTに入れる場合があります。温度差の大きさはKと°Cで同じですが、状態方程式で使う温度そのものは絶対温度です。負の摂氏温度を入れて負の物質量が出たときは、気体が負の量であると考える前に温度の基準を確認します。

分子数を求めるとき、nをNₐで割る誤りもあります。1 molにNₐ個あるので、mol数に個/molを掛けると個数になります。逆に個数からmolへ戻るときに割ります。単位を書いて演算の向きを確かめると、暗記だけに頼らず修正できます。

練習問題

各問の気体は平衡状態にある理想気体です。R = 8.00 J/(mol・K)、Nₐ = 6.00 × 10²³ mol⁻¹を計算用の値とし、数値の答えは有効数字3桁で示してください。途中では丸めません。

1. 絶対圧3.00 × 10⁵ Pa、体積2.00 L、温度250 Kの気体の物質量をmolで求めてください。
2. 0.200 molの気体の分子数を個で求めてください。
3. 絶対圧2.00 × 10⁵ Pa、温度400 Kの気体の密度が2.00 kg/m³です。モル質量をkg/molで求めてください。
4. 絶対圧1.20 × 10⁵ Pa、温度300 K、物質量0.250 molの気体の体積をLで求めてください。
5. 外の絶対圧が90.0 kPaで、容器内はそれより30.0 kPa高く、体積は5.00 L、温度は250 Kです。気体の物質量をmolで求めてください。

解答と戻して確かめる計算

1. 2.00 L = 2.00 × 10⁻³ m³です。n = 600/(8.00・250) = 0.300 mol。戻すとnRT = 600 Jで、与えたpVに一致します。
2. N = 0.200・(6.00 × 10²³) = 1.20 × 10²³個です。これをNₐで割ると0.200 molに戻ります。
3. M = ρRT/p = 2.00・8.00・400/(2.00 × 10⁵) = 0.0320 kg/molです。ρ = pM/(RT)へ戻すと2.00 kg/m³です。
4. V = nRT/p = 0.250・8.00・300/(1.20 × 10⁵) = 5.00 × 10⁻³ m³ = 5.00 Lです。この体積と圧力の積は600 Jで、nRTに一致します。
5. 内側の絶対圧は120 kPaです。n = (1.20 × 10⁵)・(5.00 × 10⁻³)/(8.00・250) = 0.300 molです。戻した内圧120 kPaから外圧90.0 kPaを引くと、測定した差30.0 kPaに一致します。

要点

• pV = nRTには絶対圧、m³、Kを対応させます。
• Lからm³への換算では数値を1000分の1にします。
• 分子数はN = nNₐ、密度とモル質量はp = ρRT/Mで結びます。
• 求めた値を元の条件へ戻して、単位と桁を確認します。

説明が止まる場所を見つける

式を選べても数値が大きくずれる場合は、代入前に各量の単位を声に出して説明してみてください。圧力計の数字をそのまま使った場合は、その数字が絶対圧か差圧かを図に書き込みます。密度の問題で止まる場合は、m = nMとρ = m/Vを別々に書き、何を消去するかを指で追います。

個別指導で確かめるなら、答えの数字だけでなく、容器を系として示し、温度と圧力の基準を説明できるかを見ます。さらに答えを元のpV = nRTへ戻し、測定値と照合できれば、換算の誤りを自分で発見する足場になります。単位の対応をたどることが、状態方程式の数字に意味を与えます。