高校物理 熱力学 加熱曲線と熱測定の誤差—傾きと停滞区間から比熱や潜熱を推定する｜武蔵野個別指導塾

一定の加熱率と温度記録から比熱や潜熱を求め、容器と熱損失が推定値に及ぼす影響をたどる加熱曲線。

よくあるのは、高校生が加熱中の横ばい区間を比べ、長く続いた試料の潜熱が大きいと判断しかける場面です。けれども、加熱率が小さければ、同じ熱量を渡すにも長い時間がかかります。試料の質量も違うかもしれません。時計の読みを熱量に変え、それを質量で割るまで、物質の性質の比較はできません。

要点（結論から）

• 温度上昇の傾きは、供給率と試料・容器の熱容量で決まります。
• 停滞区間の潜熱は、融解に入る熱量を質量で割ります。
• 切片の意味は、何を両軸にとったかで変わります。

時間の記録から何を取り出すか

加熱曲線は、横軸に時間、縦軸に温度をとった記録です。右上がりの部分からは、与えられた熱量に対する温度上昇を読みます。横ばいの部分では温度が変わらなくても、相変化のために熱が使われます。最初に、熱源が単位時間に供給するエネルギーを一定の加熱率 P として問題文から読み取りましょう。

出方には主に3つあります。傾きから比熱を逆算する型、停滞時間から質量あたりの潜熱を求める型、容器や外部への熱の移動を考えて推定値のずれを説明する型です。同じ直線を見ても、縦軸と横軸を入れ替えれば傾きは逆数になります。時間を横軸とするか、供給熱量を横軸とするかも最初に確かめます。

ここで扱う数値は計算のための設定です。一定圧力で、示した温度において相変化が起こるとします。実際の記録で横ばいが見えなければ、最初から潜熱がないと決めず、温度の均一さや測定器の応答も調べる必要があります。

傾きと横ばいを熱量に翻訳する

試料の質量を m kg、質量比熱を c J/(kg・K)、温度上昇を ΔT K とします。相が変わらず、考える温度範囲で比熱が一定なら、試料が受け取る熱量は mcΔT J です。加熱率 P W は1秒あたり P J の供給を意味します。時間 Δt s に熱源が供給するエネルギーは PΔt J です。

容器への熱と外部への損失を無視し、供給分が試料に入る条件では、両者を等しくできます。したがって温度を縦軸とした傾き s = ΔT/Δt は、s = P/(mc) です。求める比熱は c = P/(ms) となります。傾きが小さいことは、同じ P と m なら比熱が大きいことを意味しますが、P や m が違う曲線にそのまま当てはめることはできません。

一定圧力で相変化する間、温度が一定に保たれ、質量 m の試料が全部変化するとします。単位質量あたりの潜熱を L J/kg、停滞時間を τ s とすると、損失を無視した場合は Pτ = mL です。潜熱は L = Pτ/m であり、時間そのものではありません。横ばいの始点と終点は、試料が相変化を始め、終える時点に対応します。

図1のように、右上がりの区間と横ばいの区間では、供給されたエネルギーに対する温度の応答が異なります。横ばいの後も加熱を続ければ、新しい相の比熱に応じた傾きになります。温度が一定だから熱の移動もない、という読み方はできません。

温度差は1 Kと1 °Cで大きさが同じです。傾きの温度差に°Cを用いて得た数値を K の差として使えますが、絶対温度の比を扱う話とは区別します。また直線の傾きは、離れた2点の温度差を時間差で割って求めます。縦軸切片は時刻の原点に対応する温度であり、それだけから比熱は決まりません。

基本例題：温度の上昇から比熱を出す

質量 0.20 kg の固体を一定圧力で加熱します。熱源の加熱率は 40 W、容器に入る熱と熱損失は無視でき、相変化は起こらないとします。温度は 20 °C から 50 °C まで 150 s で直線的に上昇しました。この範囲の比熱を有効数字2桁で求めてください。数値は計算用の条件です。

図2のように、150 s の間に熱源から供給されるエネルギーは 40 × 150 = 6000 J です。温度差は 30 K なので、6000 = 0.20 × c × 30 を解きます。答えは c = 1.0 × 10³ J/(kg・K) です。

図2の両端を使えば傾きは 30/150 = 0.20 K/s とも求められます。c = 40/(0.20 × 0.20) としても同じです。答えを条件へ戻すと、0.20 kg の試料を 30 K 上げる熱量は 6000 J であり、40 W を 150 s 続けた供給量に一致します。供給量と温度差の両方を元の場面で確認することが検算です。

標準例題：停滞時間を質量と加熱率で割り直す

同じ物質の試料Aは 0.30 kg、試料Bは 0.20 kg です。一定圧力のもと、両者とも指定された相変化温度で全量が融解します。加熱率はAが 60 W、Bが 20 W、融解中の横ばいはAが 200 s、Bが 400 s でした。容器への熱と損失を無視し、それぞれの融解の潜熱を有効数字2桁で求め、結果を比べてください。数値は計算用です。

Aに融解中に入る熱は 60 × 200 = 12000 J です。質量で割ると L = 12000/0.30 = 4.0 × 10⁴ J/kg です。Bでは 20 × 400 = 8000 J、8000/0.20 = 4.0 × 10⁴ J/kg となります。Bの横ばいは長いものの、潜熱は同じです。小さい加熱率で、異なる質量を融かしているからです。

逆に、この潜熱を各質量に掛けるとAは 12000 J、Bは 8000 J です。それぞれの加熱率で割れば 200 s と 400 s に戻ります。相変化の途中で温度が一定であることと、全量が融けるまでのエネルギーを使っていることを、式の意味として書き添えると答案が明確になります。

発展例題：容器を含めた直線の傾き

質量の異なる同じ固体を、同じ容器に入れて別々に加熱します。一定圧力で相変化はなく、試料と容器は各時点でほぼ同じ温度、熱損失は無視できるとします。熱源の加熱率は毎回 60 W です。質量 0.20 kg のとき傾きは 0.20 K/s、質量 0.40 kg のときは 0.12 K/s でした。固体の比熱 c と容器の熱容量 C を有効数字2桁で求めてください。数値は計算用です。

試料と容器を合わせた熱容量は mc + C J/K です。単位時間に必要な熱量から、P = (mc + C)s と書けます。したがって各測定から次の2式を得ます。

0.20c + C = 60/0.20 = 300
0.40c + C = 60/0.12 = 500

差をとれば 0.20c = 200 なので c = 1.0 × 10³ J/(kg・K) です。最初の式に戻して C = 1.0 × 10² J/K となります。確認として、熱容量はそれぞれ 300 J/K と 500 J/K です。60 W で割り戻した温度の傾きは 0.20 K/s と 0.12 K/s になり、どちらの記録にも戻ります。

別解では、横軸に質量 m、縦軸に P/s をとります。式 P/s = mc + C は直線なので、傾きが c、縦軸切片が C です。縦軸の単位は J/K、横軸の単位は kg ですから、傾きの単位は J/(kg・K) になります。温度と時間のグラフの切片が C なのではありません。軸を変換した後の切片である点に注意します。

容器を無視して各回を別々に計算すると、見かけの比熱は 1500、1250 J/(kg・K) です。いずれもこの設定での真の値より大きく、同じ容器の寄与 C を小さい質量で割るほど上乗せが大きくなります。2点の差を使う方法は、容器の寄与が両回で同じという仮定のもとで成り立ちます。

測定を設計し、外れた記録を読む

紙上で測定を設計するときは、試料の物質、容器、加熱率、圧力、周囲の条件を固定し、試料の質量を変えます。時間と温度を記録し、温度が試料内でほぼそろう状態を待ってから各区間を読みます。加熱を伴う実験は学校の指導の下で行い、加熱器や容器の取り扱いも指導に従います。

供給された熱の一部が外へ逃げると、試料と容器に入る熱は PΔt より小さくなります。損失が一定率 H W と近似できる区間なら、傾きは (P − H)/(mc + C) です。容器を無視して P を使う見かけの比熱は、容器の寄与と損失の両方の影響を受けます。この設定ではどちらも見かけの値を大きくする方向ですが、損失が温度によって変わる場合、1本の直線として扱えるとは限りません。

停滞中に容器も同じ温度に保たれ、その熱容量が変わらず、一定率 H で熱が逃げるなら、融解に使われる熱は (P − H)τ です。損失を無視して Pτ/m とすると潜熱を大きく見積もります。ただし温度が停滞中にも変化する記録では、容器の温度変化に使われる熱も検討する必要があります。損失の大きさも温度差などに依存し得るため、数値を与えられずに補正量を決めることはできません。

温度計の応答が遅い場合、表示は試料の変化に遅れて追いつきます。一定の上昇率が十分長く続く単純な条件では、表示温度は真の温度より低く、平行に近い直線として現れることがあります。一方、加熱開始直後や相変化の前後は遅れが変化し、曲がりや見かけの境界時刻のずれを生みます。両端のずれが同じとは限らないので、停滞時間が必ず長く、あるいは必ず短く見えるとは決められません。

温度計の零点が一定値だけずれているなら、温度の差や直線の傾きは変わらず、温度軸の切片はその分だけずれます。これは応答遅れとは別の問題です。目盛りを読むばらつきは複数点で傾きを見て評価し、一定方向にずれる零点や熱損失は測定回数を増やすだけでは取り除けません。加熱率が途中で変化した場合も PΔt をそのまま使えず、各区間の供給量を足す必要があります。

誤答を直す：時間の長さと熱量を分ける

誤答の例は「Bの停滞時間がAの2倍なので、Bの潜熱も2倍」です。原因は時間を熱量と同一視し、加熱率と質量を落としていることです。まず Pτ で融解中の供給量を出し、その後 m で割ります。図3のように、時間から潜熱へ直接飛ばず、熱量を経由します。

図3で加熱率を掛けるのは、1秒あたりの供給量から全時間の供給量を作るためです。質量で割るのは、物質の単位質量あたりに直すためです。途中で J と J/kg の区別が消えたら、式に戻って単位を付け直しましょう。

別の誤答は「温度が一定なので供給熱量は0」です。原因は温度変化に使われる熱だけを考え、相変化を忘れることです。熱源が動き、損失を無視する条件なら、供給分は融解に対応します。逆に、横ばいが長くても、加熱率や質量が不明なら潜熱の大小を判定できないと答えることが必要です。

練習問題

いずれも数値は計算用で、一定圧力を保ちます。特に断らない限り容器への熱と熱損失は無視し、加熱率は一定とします。数値の答えは有効数字2桁で示してください。

1. 質量 0.50 kg の固体を 30 W で 200 s 加熱すると、相変化せず温度が 15 K 上昇しました。比熱を求めてください。
2. 質量 0.25 kg の試料が指定の温度で融解します。加熱率 50 W、全量が融けるまでの横ばい時間 300 s のとき、融解の潜熱を求めてください。
3. 同じ物質の試料Xは 0.10 kg、Yは 0.30 kg です。どちらも同じ一定圧力で全量が融解し、Xは 40 W で 150 s、Yは 60 W で 300 s の横ばいを示しました。潜熱をそれぞれ求め、比較してください。
4. 質量 0.40 kg の試料と熱容量 200 J/K の容器が同温度で上昇します。加熱率 80 W、傾き 0.10 K/s のとき、試料の比熱を求めてください。相変化と損失はないとします。
5. 質量 0.20 kg の試料が指定温度で全量融解する間、熱源は 50 W を 200 s 供給しました。容器は一定温度で、外部へ 10 W が一定に逃げるとします。潜熱と、損失を無視した場合の推定値を求めて比較してください。

練習問題の答えと考え方

1. 供給量は 30 × 200 = 6000 J です。c = 6000/(0.50 × 15) = 8.0 × 10² J/(kg・K) です。これを戻すと 0.50 × 800 × 15 = 6000 J となり、指定の時間の供給量と合います。
2. 供給量は 50 × 300 = 15000 J です。L = 15000/0.25 = 6.0 × 10⁴ J/kg です。0.25 kg に掛け戻すと 15000 J で、50 W なら 300 s を要します。
3. Xの供給量は 6000 J、Yは 18000 J です。質量で割るとどちらも 6.0 × 10⁴ J/kg です。掛け戻した熱量を各加熱率で割れば、150 s と 300 s にそれぞれ戻ります。時間の比と質量の比が違っても、加熱率を含めれば矛盾しません。
4. 全体の熱容量は 80/0.10 = 800 J/K です。容器の 200 J/K を引くと試料は 600 J/K なので、c = 600/0.40 = 1.5 × 10³ J/(kg・K) です。試料と容器を足した 800 J/K に 0.10 K/s を掛けると 80 W に戻ります。
5. 融解に使われる率は 50 − 10 = 40 W です。熱量は 40 × 200 = 8000 J、潜熱は 8000/0.20 = 4.0 × 10⁴ J/kg です。損失を無視すると 50 × 200/0.20 = 5.0 × 10⁴ J/kg と大きくなります。正しい値から融解熱 8000 J を出し、損失の 2000 J を足すと供給された 10000 J に戻ります。

要点

• 温度上昇の傾きは、供給率と試料・容器の熱容量で決まります。
• 停滞区間の潜熱は、融解に入る熱量を質量で割ります。
• 切片の意味は、何を両軸にとったかで変わります。
• 熱損失と温度計の遅れは、別の仕組みとして調べます。

つまずきを見分けるには

個別指導で確かめるなら、まず横ばいの長さが違う2本を見せ、比較に必要な加熱率と質量を本人に挙げてもらいます。次に、温度上昇の式で試料と容器の熱容量をどちらも書き、温度と時間の傾きからどの量を取り出すか説明してもらいます。最後に、一定の温度計の零点ずれと応答遅れが曲線に与える影響を描き分ければ、切片と傾きの混同も見えます。熱量へ変換してから比べることで、停滞の長さが物質の性質につながります。