高校物理 熱力学 温度目盛と温度差—基準点を分けて絶対温度の比と変化量を読み直す｜武蔵野個別指導塾

摂氏の数値の比と絶対温度の比を例題で比べ、基準から読み直すのは温度差です。

よくあるのは、温度が倍になったという説明を、温度差のグラフと突き合わせて迷う場面です。グラフの縦軸が摂氏なら、目盛の数値が倍になっても絶対温度が倍になったとは限りません。一方、2点の温度差は摂氏とケルビンで同じ数値です。どのゼロから測った値を比べ、どの2点の間隔を引き算しているのかを分けると、この食い違いを整理できます。

「倍」の意味を問い直す

温度の問題には、少なくとも3種類の問いがあります。1つ目は、1つの状態の温度を摂氏と絶対温度で表し直す問題です。2つ目は、変化の前後の温度差を求める問題です。3つ目は、絶対温度の比を使い、ある条件の下で気体の状態を比べる問題です。どれも数値を操作しますが、ゼロの位置と式の意味が違います。

たとえば、縦軸の2点の高さを見て「2倍」と言うとき、グラフの原点が何を表すかが重要です。摂氏の0 °Cと絶対温度の0 Kは同じ温度ではありません。摂氏の目盛の原点から測った高さが倍でも、絶対零度から測った高さの比は別です。逆に、2点の間の縦の長さは、軸の原点を平行に移しても変わりません。

温度と熱量も区別します。温度は熱平衡を考えるときの状態を表し、熱量は温度差によるエネルギーの移動量です。高い温度の物体が必ず多くの熱を持つ、あるいは温度が2倍なら加えた熱量も2倍、とは言えません。物体の量、材質、初めと終わりの状態や仕事などが必要です。

目盛の原点と間隔を分ける

物体Aと温度計を接触させ、外部の影響を十分小さくしたとします。両者が熱平衡に達して温度計の示す値が安定したとき、その目盛をAの温度の指標として使えます。Aと平衡にある温度計が別の物体Bとも平衡にあるなら、AとBは同じ温度と判断できます。この比較を支えるのが熱平衡の考え方です。実際には温度計も熱を受け渡しするので、接触直後の表示をそのまま物体の温度と決めないことが大切です。

温度の表し方には基準と単位が必要です。摂氏温度をt °C、熱力学温度をT Kとすると、両者の関係は次のようになります。

T/K = t/°C + 273.15

ここでT/Kとt/°Cは、それぞれの単位で表した数値です。0 °Cは273.15 Kに当たり、0 Kは-273.15 °Cに当たります。0 Kは絶対零度です。摂氏の負の値は0 °Cより低いことを表すので、ただちにおかしいとは言えません。通常の熱力学温度の問題で計算結果が0 K未満になった場合は、与えた条件や換算、近似の範囲を点検します。

図1のように、二つの目盛は同じ幅の区間を持ち、原点がずれています。Kには度を付けず、温度そのものを表すときは「300 K」、摂氏では「26.85 °C」のように書きます。単位の記号と数値の間には空白を置きます。

温度がt₁からt₂へ変わるとき、Δt = t₂ − t₁です。同じ2状態の絶対温度の差ΔTを求めると、両方に加えた273.15が引き算で消えます。

ΔT/K = (t₂/°C + 273.15) - (t₁/°C + 273.15)
ΔT/K = (t₂ - t₁)/°C

したがって、温度差1 Kと温度差1 °Cは同じ大きさです。ここで等しいのは差の大きさであり、1 Kと1 °Cが同じ状態の温度だという意味ではありません。上昇なら差は正、下降なら負です。「低下の大きさ」を問われたら正の量として答えるかを問題文に合わせます。

一方、比には原点のずれが残ります。t₂/t₁とT₂/T₁は、一般に一致しません。絶対温度が2倍とは、0 Kを基準として測ったT₂がT₁の2倍という意味です。摂氏の表示が2倍というだけでは同じ主張になりません。特に摂氏の表示が0の状態では、摂氏の数値で割る比を作れない一方、その絶対温度は0ではありません。逆に0 Kを分母とする温度比も定義できません。

基本例題：位置と間隔をそれぞれ数える

ある試料の温度が27 °Cから77 °Cに変化しました。この問題ではT/K = t/°C + 273と近似します。両端の絶対温度をKの整数で、温度変化をKと°Cの整数で、終温の初温に対する絶対温度の比を既約分数で求めてください。

まず、各状態を同じ近似で換算します。

初温 T₁ = (27 + 273) K = 300 K
終温 T₂ = (77 + 273) K = 350 K
ΔT = (350 - 300) K = 50 K
Δt = (77 - 27) °C = 50 °C
T₂/T₁ = 350/300 = 7/6

図2では2つの温度を両目盛に対応させています。上向きの間隔が50であることと、0 Kから測る終温が初温の7/6倍であることは、別々の読み取りです。摂氏の77/27を計算しても絶対温度の比にはなりません。

答えを元に戻して確かめます。300 Kに50 Kを加えると350 Kになり、摂氏でも27 °Cに50 °Cの上昇を加えると77 °Cです。また300 Kの7/6倍は350 Kです。3通りとも同じ終状態に戻ります。正確な換算なら両端は300.15 Kと350.15 Kで、差はやはり50 Kですが、比は上の近似値と少し異なります。問題で近似を指定されたら、一方の状態だけに正確な273.15を混ぜないようにします。

標準例題：温度差と温度比から両端を決める

ある一定量の気体の温度が上昇し、終温は初温の絶対温度の3/2倍になりました。温度上昇は60 °Cです。この問題ではT/K = t/°C + 273と近似します。初温と終温をKと°Cの整数で求めてください。気体の圧力や体積の変化については、条件を与えていません。

温度差60 °Cは60 Kです。初温をT₁ Kとすると終温は(3/2)T₁ Kなので、温度の差を式にします。

(3/2)T₁ - T₁ = 60
(1/2)T₁ = 60
T₁ = 120
T₂ = 180

よって初温は120 K、終温は180 Kです。摂氏ではそれぞれ-153 °C、-93 °Cになります。負の摂氏温度でも、両者とも絶対温度は正です。終温180 Kを初温120 Kで割ると3/2、引くと60 Kであり、指定された比と差の両方に戻ります。

別の見方では、初温から終温までに増えた60 Kが、初温の半分に当たります。そこで初温は60 Kの2倍と読めます。等しい長さの単位で線分を描き、初温を2区間、終温を3区間に分けても同じ結果です。比と差の関係が見えれば、式の立て方に迷ったときの確認になります。

ただし温度の比だけから、圧力も3/2倍になったとは決められません。一定量の理想気体ならpV = nRTですが、絶対圧pと体積Vの両方が変わり得ます。体積が一定という追加条件があればpはTに比例します。この例題では体積の条件がないため、圧力の比は求めません。

発展例題：2種類の目盛を作って比べる

ある温度計の目盛xは摂氏温度tに対して直線的に変わります。x = 20は10 °C、x = 80は70 °Cを指すように校正しました。この範囲で温度計が正常に働き、平衡後の指示を読むとします。x = 50の温度を°CとKで求め、xが30から60へ増えたときの温度上昇を°CとKで求めてください。換算には273.15を使い、答えは小数第2位まで示します。

目盛の60の増加は摂氏の60 °Cの増加に対応します。直線的という条件から、xの1の増加は温度差1 °Cに対応します。ただし原点は一致しません。x = 20で10 °Cなので、表示値から10を引けば摂氏の数値になります。

t/°C = x - 10
x = 50のとき t = 40.00 °C
T = (40 + 273.15) K = 313.15 K
x = 30から60への増加 = 30
温度上昇 = 30.00 °C = 30.00 K

校正点に戻すと、x = 20で10 °C、x = 80で70 °Cとなり、両条件を満たします。さらにx = 30と60はそれぞれ20 °Cと50 °Cに対応し、差は30 °Cです。x = 50の313.15 Kから273.15を引いても40.00 °Cに戻ります。

別解は、校正点の中点を使う方法です。50は20と80の中点なので、対応する温度も10 °Cと70 °Cの中点の40 °Cです。差については、目盛が60増えたら60 °C上がるので、30の増加に対する温度上昇はその半分です。中点の方法は1点の計算が速く、一次式の方法は範囲内の任意の表示に使えます。いずれも、目盛と温度が直線関係という条件が必要です。

この目盛でx = 60はx = 30の2倍ですが、対応する温度の比が2倍という意味にはなりません。数値が倍かどうかは、目盛のゼロの置き方に左右されるからです。また、校正した2点の外でも同じ直線が成立するとは限りません。範囲外へ式を延ばすときは、別途その妥当性を確かめます。

測定の設計と、読めない記録の扱い

2種類の温度計を比べる紙上実験を考えます。同じ試料の温度を段階的に変え、それぞれの表示を記録します。対象の試料と温度計の配置を固定し、変える量を試料の温度、測る量を各温度計の表示とします。危険のある加熱や加圧を伴う装置は学校の指導の下で扱います。ここでは具体的な操作手順ではなく、与えられた記録の判断を考えます。

各段階で表示が落ち着くまで待つのは、温度計と試料が熱平衡に近づいた後の値を比較するためです。待ち時間が不足すると、温度が上がっている途中では応答の遅い温度計が低めを示すことがあります。下がっている途中なら高めに残ることもあります。表示が変わり続ける記録は平衡値として採用せず、時間と表示を併記して測定をやり直すか、平衡値を決められないと結論します。

温度計の零点が一定量ずれていると、各点の温度は同じ方向にずれます。同じ温度計で取った2点の差なら、ずれが本当に一定である限り相殺されますが、温度の絶対値や比には残ります。別々の温度計の差では、各機器のずれが同じとは限らず、勝手に相殺してはいけません。目盛の傾き自体が誤っている場合は、2点の差にも誤差が残ります。

読み取り誤差は、目盛の間隔や視線の位置で各回にばらつきます。繰り返した結果を並べて幅を見ると、1回だけの表示より不確かさを考えやすくなります。一方、繰り返しても同じ方向に残る零点のずれは、回数を増やすだけでは見抜けません。基準となる温度で校正することと、繰り返しのばらつきを調べることは別の確認です。

容器や温度計にも熱容量があり、試料に触れると試料と熱をやり取りします。外へ熱が逃げると、試料と周囲との温度差や待ち時間に応じて表示が変わることもあります。これらの影響の大きさが与えられていないとき、単一の測定値から本来の温度を一意に修正することはできません。装置の条件を記録し、比較の際は同じ配置を使うことが必要です。

記録に欠測や壊れた表示があるときも、近くの値を勝手に埋めてはいけません。軸の単位が不明なグラフでは摂氏かKかを確かめ、判別できなければ温度の比は保留します。校正点が2つあっても、途中の測定点が直線から大きく外れるなら、直線の仮定や読み取りを調べます。時刻と表示の対応が失われた場合は温度変化の向きも確定できません。成功した測定値と同じように、失敗の理由を記録に残すことが比較の条件になります。

温度と表示をグラフにする場合、校正点の間では直線の傾きが目盛の刻み方、切片が原点のずれを示します。傾きが同じで切片が違う2本の直線なら、同じ温度変化に対する表示の増加は等しく、同一温度での表示には一定の差があります。傾きも違えば、表示の差は温度によって変わるので、1点だけで補正量を決められません。測る範囲の複数点を比べ、読み取りの幅と差の大きさを照合します。

例えば表示が安定した記録で両機器の差が各点でほぼ一定なら、零点のずれが候補になります。ただし、その観察だけではどちらが正しい温度を示すか決まりません。独立した基準と比べて初めて、どの表示をどちらへ修正するか考えられます。逆に差が温度とともに変わるなら、零点の補正だけで全点を合わせようとせず、傾きや直線関係の仮定を点検します。

試料の温度が時間とともに変化するグラフでは、2点の縦の差からその期間の温度変化を読みます。横軸の時間の差で割った傾きは、単位時間当たりの温度変化です。縦軸を°CからKへ換えても、同じ期間の縦の差が変わらないため傾きは変わりません。ただし縦軸の各点の数値は273.15だけずれます。軸を描き替えるときに直線を原点へ無理に通すと、実際の初温を変えてしまいます。

誤答を原因から直す

図3は、温度の値と差を混ぜたときに起こる食い違いを表します。左右で0の位置が異なっても、2点間の差は同じです。答えだけを直すのではなく、何を基準にした量かを図に書き戻します。

誤答1は「温度が20 °Cから40 °Cになったので絶対温度は2倍」です。原因は摂氏の数値の比をそのまま絶対温度の比にしたことです。273近似なら293 Kから313 Kであり、絶対温度の比は313/293です。修正するときは、先に両端をKに換算し、その後に割ります。

誤答2は「20 °Cの温度上昇は293 Kの上昇」です。原因は1つの温度を換算する式を、差に適用したことです。始点と終点の両方に同じ273を加えれば引き算で消えるので、上昇は20 Kです。単位をKに変えても、差に273を加えません。

誤答3は「終温が初温の2倍なら、温度上昇も終温の2倍」です。原因は終温そのものと変化量の取り違えです。初温をT₁、終温を2T₁と置くと、上昇は2T₁ − T₁ = T₁です。たとえば初温が正なら、上昇は初温と等しく、終温の半分です。

誤答4は「温度差が同じなら、受け取った熱量も同じ」です。原因は熱量を温度差だけで決めたことです。熱の出入りが温度変化に対応する場合でも、熱容量などが異なれば必要な熱量は異なります。状態変化や外部への仕事の有無も条件に含めて判断します。

誤答5は「表示が安定する前の2台の数値が一致しないので、目盛の換算式が間違い」です。原因は平衡に至るまでの応答の違いを無視したことです。時刻ごとの表示が落ち着くか確認し、それでもずれが残るなら零点や傾きなどを調べます。順序を入れ替えると、一時的な遅れを校正の誤りと誤認します。

練習問題

各問は独立です。数値は計算用に与えたもので、実測値ではありません。問1、問2、問4、問5ではT/K = t/°C + 273と近似し、問3では273.15を用います。

1. 温度が-23 °Cから37 °Cに変わりました。両端をKの整数で、変化量をKと°Cの整数で、終温と初温の絶対温度の比を既約分数で求めてください。
2. 試料の初温が200 Kで、終温が初温の7/4倍です。終温をKと°Cの整数で、温度上昇をKと°Cの整数で求めてください。
3. ある温度計の目盛yは摂氏温度に対して直線的です。y = 10で-20 °C、y = 70で40 °Cを指します。y = 40の温度を°CとKで、yが15から45に上がるときの温度上昇を°CとKで、小数第2位まで求めてください。
4. ある温度が30 °C低下したところ、終温は初温の絶対温度の9/10倍になりました。初温と終温をKと°Cの整数で求めてください。
5. 一定量の理想気体を体積一定の容器に入れ、初めの絶対圧を2.0 × 10⁵ Pa、温度を27 °Cとします。終温は87 °Cです。終わりの絶対圧を有効数字2桁で求め、どの量が一定なのでその比を使えるか答えてください。

練習問題の答えと考え方

1. 初温250 K、終温310 K、変化量は60 K、60 °C、比は31/25です。-23 + 273 = 250、37 + 273 = 310と両端を先に換算します。310 − 250 = 60、310/250 = 31/25です。250 Kに60 Kを加えると310 Kとなり、摂氏の始点に60 °Cを加えても終点へ戻ります。

2. 終温は350 K、77 °C、温度上昇は150 K、150 °Cです。200 Kの7/4倍は350 Kで、350 − 200 = 150です。終温の摂氏表示は350 − 273 = 77です。350/200 = 7/4であり、求めた値は与えた比を満たします。初温は-73 °Cなので、そこから150 °C上がれば77 °Cです。

3. 温度は10.00 °C、283.15 K、温度上昇は30.00 °C、30.00 Kです。目盛の60の増加が60 °Cに対応するため、yの増加1は温度差1 °Cです。y = 10で-20 °Cなので、t/°C = y − 30です。y = 40を代入して10 °C、さらに273.15を加えて283.15 Kです。y = 15と45は-15 °Cと15 °Cに対応し、その差は30 °Cです。校正点の10と70を式に戻すと、それぞれ-20と40になります。

4. 初温300 K、27 °C、終温270 K、-3 °Cです。低下の大きさ30 °Cは30 Kなので、T₁ − (9/10)T₁ = 30です。したがってT₁ = 300、T₂ = 270です。270/300 = 9/10、300 − 270 = 30で比と差を満たします。摂氏でも27 °Cから30 °C低下すると-3 °Cになります。

5. 終わりの絶対圧は2.4 × 10⁵ Paです。温度は初め300 K、終わり360 Kです。一定量の理想気体についてpV = nRTであり、物質量nと体積Vが一定なのでp/Tは一定です。したがって終圧は2.0 × 10⁵ Paに360/300を掛けます。検算すると、終圧と初圧の比は1.2で、360/300とも一致します。圧力は絶対圧として扱います。温度だけを見て圧力比を決めてよいのは、この一定量・一定体積という条件があるためです。

覚えておくこと

• 温度の値はT/K = t/°C + 273.15で換算します。
• 同じ2状態の温度差はKと°Cで数値が等しく、原点のずれは消えます。
• 温度の比は絶対温度で取り、摂氏の数値の比と区別します。
• 温度比を圧力や熱量の比に結び付けるには、別途条件が必要です。
• 平衡を待ち、零点、目盛の傾き、熱の出入りを点検します。

つまずきの場所を見分ける

同じ答えの誤りでも、原因は異なります。両端の換算はできるのに差へ273を足すなら、1点の値と2点間の長さを図に分けて説明できるか確かめます。摂氏の比を使うなら、目盛の原点を移しても比が変わらないかを本人に考えてもらいます。気体の圧力比まで一足飛びに決めるなら、pV = nRTで一定とした量を指で追って確認します。

個別指導では、数式を書いた後に始点、終点、差を同じ単位で図へ戻し、元の問題の比や差が再現されるかを尋ねます。測定の問題では、表示が安定しない場合と校正のずれが残る場合を区別して、どの記録なら結論を保留するかまで確かめます。温度の数値を見たら、まず基準点と比べる量を定めます。