高校物理 熱力学 熱容量と比熱の区別—同じ熱量で温度上昇が変わる理由を式から追う｜武蔵野個別指導塾

同じ加熱率で異なる温度上昇を比べ、質量比の推定と測定誤差まで熱容量と比熱で読み解きます。

よくあるのは、高校生が同じ加熱率で温めた2つの試料の記録を比べ、温度が速く上がる方は比熱が小さいと決めてしまう場面です。記録に表れるのは試料全体の温まりやすさです。物質の性質を表す比熱を比べるには、試料の質量も必要です。加えた熱がどこへ入ったかを確かめ、温度差と質量を分けて考えます。

傾きから何を読み取るか

問われ方には大きく3つの型があります。1つ目は、質量と比熱と温度変化から試料が受け取る熱量を求める型です。2つ目は、同じ熱量を受けて同じ温度上昇を示した異なる物質から質量比を求める型です。3つ目は、一定の加熱率で記録した温度と時間の傾きから熱容量を推定する型です。

どの型でも、まず試料を系として囲み、試料に実際に入る熱量を決めます。熱源が出した熱量と試料が受け取る熱量は、周囲へ熱が逃げたり容器が温まったりすれば一致しません。問題が損失を無視すると指定しているか、試料への加熱率が与えられているかで扱いを決めます。ここでは相変化や物質の混合を扱わず、指定された温度範囲で試料が一様な温度にある場合を考えます。

1 K上げる量と1 kg当たりの量

質量m kgの試料の温度をΔT K上げるとき、試料が受け取る熱量をQ Jとします。圧力などの条件を固定し、その温度範囲で質量比熱cが一定なら、

Q = mcΔT

です。cの単位はJ/(kg・K)です。同じ物質を同じ条件で2倍の質量にすれば、各部分を同じ温度だけ上げるのに必要な熱も2倍になります。また、一定の比熱の下では温度上昇を2倍にするのに必要な熱も2倍です。この2つの比例をまとめた係数がcです。冷却ではΔTが負になり、Qも負で、試料から熱が出たことを表します。

試料全体の熱容量Cを、温度を1 K上げるのに必要な熱量として定めます。単位はJ/Kで、同じ条件ではC = mcです。したがってQ = CΔTとも書けます。図1のように、比熱は質量で割った値、熱容量は試料全体に対応する値です。たとえば同じ材質でも質量の異なる2片は、比熱が等しくても熱容量が違います。

図1で質量を2倍にした側は、同じ温度上昇に2倍の熱を要します。Cの単位にkgが残らないことも確認します。mcΔTの単位はkg・J/(kg・K)・K = Jです。温度の目盛りが摂氏でも、温度差1 °Cと1 Kの大きさは等しいので、差の数値をそのまま使えます。温度そのものの比と温度差の比は別です。

比熱が温度で変わる場合、広い温度範囲で1つのcを使う式はそのままでは正確ではありません。狭い範囲でほぼ一定と近似するか、範囲ごとに熱量を求めて加えます。熱容量も温度や、気体なら体積や圧力の保持条件に依存しえます。物体全体のC、質量当たりのc、物質量当たりのモル比熱Cᵥ・Cₚ J/(mol・K)を混同しないことが必要です。

熱量と温度上昇を結ぶ

例題1　小片に入った熱

質量0.50 kgの固体を、比熱が一定の範囲で20 °Cから32 °Cへ温めます。この問題では比熱を計算用に400 J/(kg・K)とし、相変化はありません。固体が受け取った熱量を有効数字2桁で求めてください。

温度差は12 Kです。試料への熱量は

Q = 0.50・400・12 = 2.4 × 10³ J

です。逆に2.4 × 10³ Jを熱容量200 J/Kで割ると12 Kとなり、出発温度に足して32 °Cへ戻ります。初めの温度20を掛けるのではなく、変化した12を使います。絶対温度に直して差を取っても同じ12 Kです。

例題2　同じ加熱率の2試料

試料AとBには、それぞれ毎秒120 Jが実際に入ります。加熱開始から50秒の間、両方の温度は直線的に上がり、Aは20 °Cから40 °C、Bは20 °Cから30 °Cになりました。熱容量は一定、相変化はなく、試料内は一様な温度とします。Aの質量を0.50 kg、Bの質量を1.0 kgとして、それぞれの熱容量と比熱を有効数字2桁で求めてください。

図2のように時間と温度を対応させると、Aは50秒で20 K、Bは10 K上がります。試料に入った熱量はそれぞれ120・50 = 6.0 × 10³ Jです。したがって

CＡ = 6000/20 = 3.0 × 10² J/K CＢ = 6000/10 = 6.0 × 10² J/K cＡ = 300/0.50 = 6.0 × 10² J/(kg・K) cＢ = 600/1.0 = 6.0 × 10² J/(kg・K)

となります。Bは熱容量が大きいので温度上昇が遅い一方、比熱はAと等しいと求まります。質量が違うため、傾きの違いを比熱の違いと直結させることはできません。

図2の傾きはAが0.40 K/s、Bが0.20 K/sです。C = 加熱率/傾きであり、各値を戻すと300・0.40 = 120、600・0.20 = 120 J/sです。両者の受熱率と一致します。縦軸が温度、横軸が時間なら傾きは温度変化を時間で割った量です。逆数を傾きとしないよう、軸と単位を先に書きます。

同じ上昇から質量を逆算する

例題3　等温度上昇の比較

固体Pと固体Rが別々に同じ熱量を受け取り、ともに温度が15 K上がりました。比熱はこの範囲で一定で、計算用にPを300 J/(kg・K)、Rを500 J/(kg・K)とします。相変化や熱損失はなく、両試料は一様です。Pの質量を0.40 kgとして、Rの質量を有効数字2桁で求め、共通の熱量も同じ桁数で求めてください。

同じ受熱量と同じ温度上昇を使うと、

mＰ・300・15 = mＲ・500・15 mＲ = 0.40・300/500 = 0.24 kg

です。熱量はPから0.40・300・15 = 1.8 × 10³ Jです。Rに戻しても0.24・500・15 = 1.8 × 10³ Jとなり、両方の条件を満たします。比熱の大きいRは、同じ上昇に必要な熱量をそろえるため質量が小さくなります。

別解では熱容量を先に比べます。QとΔTが共通なのでCＰ = CＲです。Pの熱容量は0.40・300 = 120 J/Kであり、Rも120 J/Kです。これをRの比熱500 J/(kg・K)で割れば0.24 kgです。質量比は比熱比の逆になり、比熱比をそのまま質量比にする誤りを避けられます。

記録を測定値として読む

加熱率から熱容量を推定する実験では、試料の種類と質量、加熱条件を記録し、時間と温度を測ります。加熱率を変えずに時間を変え、各時刻の温度を比べます。危険のある加熱は学校の指導の下で行います。熱が試料内に行き渡るまで待つことは、温度計の示す一部分の温度と試料全体の温度との差を小さくするためです。待つ間にも周囲への熱移動は起こりうるため、その影響も評価します。

装置全体に一定の熱が供給されても、容器にも熱が入り、周囲にも熱が逃げます。温度上昇の傾きが小さいことを直ちに試料の大きな熱容量と結論することはできません。試料と容器が常に同温度で、両者の熱容量が一定、外への損失を無視できるモデルなら、供給率を傾きで割った値は試料と容器の熱容量の和です。容器分を差し引かなければ試料の推定値は大きくなります。

一方、容器を無視できても周囲へ熱が逃げると、供給率をそのまま試料への受熱率とみなした推定値は、同じ正の傾きに対して大きくなります。損失が温度差に応じて変わればグラフは曲がることもあり、一定の傾きだけでは表せません。容器と損失が同時にあるときも、それぞれの寄与を別に考えます。

温度計の零点が一定量ずれていても、同じ計器で測った2時刻の差ではそのずれが打ち消されます。ただし零点のずれが時間とともに変わる場合は残ります。目盛りの読み取りのばらつきは複数の点をとって直線の妥当性を調べ、応答の遅れは温度計と試料の追従を点検します。温度の切片が違うだけで傾きまで違うとは限りません。こうした誤差の大きさを与えられていないとき、補正後の比熱を数値で決めることはできません。

測定した複数点が直線から外れたときは、直線の傾きだけを計算して終わらせないことも必要です。加熱率の変動、試料内の温度差、周囲への損失の変化は、いずれも記録の形に影響します。どの原因かは追加の条件なしに決められません。加熱率を独立に測り、同じ温度範囲で測定を繰り返して比較すると、モデルの適否を検討できます。温度差が小さすぎると読み取りの不確かさが差に占める割合は大きくなるため、測定範囲も考える必要があります。

間違えた式を条件に戻す

図3のように、同じ熱量と同じ温度上昇から等しいといえるのは、まず熱容量です。質量も等しいという条件がなければ、比熱が等しいと結論できません。図3では左側の式から右側の関係へ進む前に、共通のΔTが0でないことも確かめます。

誤答として「傾きが2倍なら比熱も2倍」があります。原因は傾きが熱容量に反比例することと、質量の影響を取り落とすことです。加熱率が等しく試料へ全て入るなら、傾きが2倍の試料の熱容量は半分です。比熱についてはさらに質量で割って判断します。

また、Q = mcΔTに終温をそのまま入れる誤答もあります。原因は温度と温度差を区別していないことです。始温と終温を書き、終温から始温を引いてから代入します。冷却なら差が負になり、放熱の向きも式に表れます。放出した熱量の大きさを問われた場合は、負のQの符号を反転した正の量で答えます。

練習問題

各問の比熱は指定範囲で一定とし、相変化はありません。熱量は試料への出入りを表し、途中の値は丸めず、数値の答えは有効数字2桁で示してください。

1. 質量0.30 kg、比熱800 J/(kg・K)の固体が18 °Cから23 °Cになりました。受け取った熱量を求めてください。
2. 熱容量150 J/Kの試料が900 Jを受け取りました。温度上昇をKで求めてください。
3. 質量0.60 kgの固体が12 K上がる間に2.16 × 10³ Jを受け取りました。比熱を求めてください。
4. 比熱200 J/(kg・K)の試料Xが0.75 kgあります。比熱300 J/(kg・K)の試料Yと同じ熱量を受けて、両者が同じ温度だけ上がるとき、Yの質量を求めてください。温度上昇は0ではありません。
5. 試料に毎秒90 Jが入り、40秒で温度が12 K上がりました。質量は0.40 kgです。熱容量と比熱を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 温度差は5 KなのでQ = 0.30・800・5 = 1.2 × 10³ Jです。熱容量240 J/Kで割り戻すと5 Kで、18 °Cから23 °Cに戻ります。
2. ΔT = 900/150 = 6.0 Kです。150 J/Kの試料を6.0 K上げる熱量は900 Jで、与えられた受熱量に戻ります。始温がないので終温そのものは決まりません。
3. c = 2160/(0.60・12) = 3.0 × 10² J/(kg・K)です。0.60・300・12 = 2160 Jを受け取れば指定の上昇になります。熱容量180 J/Kを先に求めて質量で割っても同じです。
4. 等しい熱量を等しい温度差で割ると、両者の熱容量は等しくなります。0.75・200 = mＹ・300より、mＹ = 0.50 kgです。両者の熱容量は150 J/Kで、任意の同じ温度上昇に対して受熱量が一致します。
5. 入った熱は90・40 = 3600 Jです。C = 3600/12 = 3.0 × 10² J/K、c = 300/0.40 = 7.5 × 10² J/(kg・K)です。傾きは12/40 = 0.30 K/sであり、300・0.30 = 90 J/sと元の加熱率に戻ります。

覚えておくこと

熱容量Cは試料全体、比熱cは単位質量当たりの値です。 一定の比熱の範囲ではC = mc、Q = CΔTです。 同じ受熱量と同じ温度上昇なら熱容量が等しくなります。 加熱率が等しいとき、温度と時間の傾きは熱容量に反比例します。

答えがずれる箇所を見つける

式は書けても熱源の供給量をそのまま試料への熱量にしていないか、試料の境界を描いて確かめます。個別指導では、質量を変えたときCとcのどちらが変わるかを言葉で説明し、温度と時間の軸から傾きの単位を読み取れるかを確かめます。次に、求めた値を元の熱量と温度差へ戻します。比熱の式は、どの試料にどれだけ熱が入ったかを特定して初めて使えます。