高校物理 熱力学 容器を含む熱量保存—熱の受け渡しを全体で数えて平衡温度を確かめる｜武蔵野個別指導塾

混合時の容器と温度計の熱容量を加え、無視した場合や熱損失の影響までたどる熱量保存。

よくあるのは、同じ温度の液体どうしを同じ量だけ混ぜたのに、金属容器を替えると混合後の温度が変わり、その理由を探す場面です。容器は液体を入れる場所であると同時に、自身も温度を変える物体です。どちらの液体と同じ温度から出発したかによって、平衡温度への寄与が変わります。温度計も混合物と熱をやり取りするなら、収支に入れます。

要点（結論から）

• 物体の熱容量は質量と比熱の積で、単位はJ/Kです。
• 外部との交換がなければ、系内の各物体のC(T − t)の和は0です。
• 容器と温度計はそれぞれの初温と熱容量を使います。

何を先に見分けるか

混合の問題には、平衡温度を求める型、平衡温度から容器の熱容量を逆算する型、容器や外部への熱移動を省いたときの影響を判定する型があります。いずれも、最初に各物体の温度と熱容量を表にすると見通せます。温度が高い物体が失う熱量と、低い物体が受け取る熱量を対応させます。

温度を足して物体の個数で割る方法は、熱容量が等しい場合に限って成立します。液体の質量が同じでも比熱が異なれば熱容量は同じとは限りません。容器の質量を直接足すこともできません。質量と比熱の積を使い、温度が1 K変わるときに必要な熱量をそろえて比べます。

境界を描き、温度変化を符号付きで数える

混合する高温物体、低温物体、容器、温度計を合わせた全体を系とします。外部との熱の出入りと外部に対する仕事を無視でき、相変化もないと仮定します。各物体の熱容量は対象の温度範囲で一定とします。混合後は十分に待ち、全体が同一の平衡温度に達したものとします。

図1のように境界の内側で熱が移ると、一方の減少分が他方の増加分になります。境界を越える熱がなければ、内部での受け渡しは全体のエネルギーを変えません。熱自体が物体に蓄えられる量であると考えるより、物体のエネルギー変化を帳簿につけると符号を確認しやすくなります。

質量mの物体の質量比熱をc、初温をt、平衡温度をTとします。cの単位はJ/(kg・K)、熱容量C = mcの単位はJ/Kです。一定の熱容量の物体が受け取る熱量はC(T − t)です。Tが初温より低ければこの値は負になり、その物体が放出した熱量の大きさはC(t − T)です。温度差は摂氏でもKでも同じ数値です。

各物体について添字iを用いれば、孤立した全体の収支は次の形です。

C₁(T - t₁) + C₂(T - t₂) + … = 0
T = (C₁t₁ + C₂t₂ + …)/(C₁ + C₂ + …)

最初の式は各物体のエネルギー変化を合計したものです。次の式はTの項をまとめ、正の熱容量の和で割って得られます。これが熱容量を重みとした平均です。重みが正なら、外部との交換がない平衡温度は最も低い初温と最も高い初温の間にあります。この範囲を外れた答えは符号や条件を点検する手掛かりです。

容器と温度計が最初から低温物体と同じ温度なら、低温側の熱容量にそれらを加えられます。初温が違うときは別々にC(T − t)を書きます。容器が熱を失う側に入ることもあり、容器を常に受熱側に置くのは誤りです。液体が均一になる前の一点の温度を、全体の平衡温度と扱わないことも必要です。

例題1　低温側に容器がある場合

計算用の条件です。熱容量200 J/Kの温かい液体が70 °C、熱容量300 J/Kの冷たい液体が20 °Cです。冷たい液体と同温の容器の熱容量は100 J/K、温度計の熱容量は無視します。外部への熱移動と仕事を無視し、相変化はありません。平衡温度を°Cで有効数字2桁で求めてください。

図2のように、70 °Cから冷える液体の放熱と、20 °Cから温まる液体・容器の吸熱を等しくします。Tを平衡温度とすると、収支は次のとおりです。

200(70 - T) = (300 + 100)(T - 20)
14000 - 200T = 400T - 8000
600T = 22000
T = 36.666… °C

答えは37 °Cです。丸める前の温度を使うと、高温側の放熱は約6667 J、低温液体の吸熱は約5000 J、容器の吸熱は約1667 Jです。合計は放熱に一致します。平衡温度は20 °Cと70 °Cの間にあり、低温側の熱容量が大きいため20 °Cに近づきます。

容器を無視すると200(70 − T) = 300(T − 20)となり、40 °Cです。容器を含めた値より高く出ます。冷たい容器も温める必要があるためです。この方向は容器の初温に依存し、容器が最初から高温側なら反対方向になります。

例題2　熱容量を質量と比熱から作る

計算用に、質量0.50 kg、比熱400 J/(kg・K)の金属片を80 °Cから、質量0.20 kg、比熱3000 J/(kg・K)の液体へ入れます。液体は15 °Cで、容器と温度計も15 °Cです。両者の熱容量の合計は100 J/Kとします。外部との熱交換と仕事を無視し、相変化もないとします。平衡温度を°Cで有効数字2桁で求めてください。

金属片の熱容量は0.50 × 400 = 200 J/K、液体は0.20 × 3000 = 600 J/Kです。容器と温度計を含めると低温側は700 J/Kです。熱量の単位がJになることを確認してから式に入れます。

200(80 - T) = 700(T - 15)
T = 26500/900 = 29.444… °C

答えは29 °Cです。丸め前の値では金属片が約10111 Jを放出し、液体と容器・温度計は合計で約10111 Jを受け取ります。液体の質量が金属片より小さくても、比熱が大きいので液体の熱容量は大きくなります。質量の大小だけで平衡温度を判断できない理由です。

例題3　温度計と容器の初温が異なる場合

熱容量300 J/Kの液体が60 °C、熱容量500 J/Kの液体が10 °Cです。容器は熱容量100 J/Kで10 °C、温度計は熱容量100 J/Kで30 °Cです。これらを合わせ、外部への熱移動と仕事を無視します。相変化はありません。平衡温度を°Cで有効数字2桁で求めてください。

温度計は液体とも容器とも初温が異なるため、低温側の係数にまとめません。まず符号付きの変化量を使います。

300(T - 60) + 500(T - 10) + 100(T - 10) + 100(T - 30) = 0
1000T = 27000
T = 27 °C

答えは27 °Cです。温度計は30 °Cから27 °Cへ下がり、300 Jを放出します。温かい液体の放熱9900 Jと合わせた10200 Jを、冷たい液体の8500 Jと容器の1700 Jが受け取ります。初温を見て受熱側と放熱側を決める方法でも同じ結果です。先に温度計の向きを決められない場合は符号付きの式が安全です。

別解では熱容量を重みとする平均を使います。(300 × 60 + 500 × 10 + 100 × 10 + 100 × 30)/1000 = 27 °Cです。この式は収支式を整理した結果であり、温度計の初温を省いてよいという意味ではありません。答えを戻して放熱と吸熱が一致するか調べると、初温の取り違えを見つけられます。

測定値と理想化の差を読む

学校の指導の下で、容器を替えた混合実験を考えます。液体の種類と質量、各液体の初温、温度計の条件を固定し、容器の熱容量を変えます。混合後の温度を測り、温度が落ち着くまで待って記録します。容器の初温も測定し、液体と等しいと決めつけません。加熱を伴う装置の扱いは学校の指導に従います。

低温側と同じ初温の容器を使い、高温側と低温側の熱容量を固定すると、容器の熱容量を横軸、平衡温度を縦軸に取った曲線は低温側の初温に近づきます。一般には直線ではありません。熱容量が増えるほど温度上昇を小さくすることは、収支式の分母と低温側の重みを見れば説明できます。

周囲が混合物より低温で、混合中に外へ熱が逃げた場合、その放熱量をLとすると、全体の収支は ΣC(T − t) = -L です。Lを正の大きさとすれば、同じ初期条件で外部への損失がない場合よりTは低くなります。ただし周囲から熱が入る場合や、途中で熱の向きが変わる場合に、必ず低くなるとは言えません。

温度計の零点がずれると、読みは同じ方向に偏る系統誤差になりえます。目盛りを読むばらつきは測定ごとに異なり、繰り返しの散らばりから評価します。温度計の応答が遅いと、全体が平衡に達する前の読みが真の平衡温度と一致しません。容器の熱容量を無視した誤差と熱損失はどちらも収支に影響しますが、初温や周囲の温度によって方向が変わるので、観測値が低いという事実だけで原因を一つに決められません。

誤答を収支に戻して直す

図3の左のように容器を計算から外すと、液体どうしの受け渡しだけで帳簿を閉じたことになります。例題1では容器が低温から温まるため、受け取った熱を追加する必要があります。右のように液体と容器の両方を低温側に置き直します。

誤答の一つは、例題1で200(70 − T) = 300(T − 20)として40 °Cを完全な答えにすることです。原因は容器を断熱材のように、熱容量を持たないものと見なした点にあります。断熱は外部との熱移動を抑える条件であり、容器自身の熱容量が0という意味ではありません。容器が20 °Cから40 °Cへ上がるなら2000 Jを必要とするので、元の収支は閉じません。

もう一つは、初温が異なる温度計を液体と同温としてまとめる誤りです。まず全物体にそれぞれ初温を記し、C(T − t)の和を0にします。解いたTを戻して、各項が受熱か放熱かを判定すれば、負号の扱いも点検できます。実験値が予測と異なるときは、計算ミスと結論する前に、外部との熱交換や測定器の応答も検討します。

練習問題

いずれも計算用の熱容量は温度によらず一定で、相変化と仕事はありません。各設問で指定された外部との熱交換の条件を使い、温度は°C、熱量はJで答えてください。途中では丸めず、数値の答えは有効数字2桁にします。

1. 熱容量400 J/Kの物体が50 °C、熱容量200 J/Kの液体と熱容量200 J/Kの容器が10 °Cです。外部への熱移動を無視するとき、平衡温度を求めてください。
2. 熱容量300 J/Kの物体が90 °C、熱容量600 J/Kの液体が30 °Cです。容器も90 °Cで、熱容量は300 J/Kです。外部への熱移動を無視するとき、平衡温度を求めてください。
3. 熱容量400 J/Kの物体が75 °C、熱容量400 J/Kの液体と容器が15 °Cです。容器は液体と同温で、平衡温度は35 °Cでした。外部への熱移動を無視するとき、容器の熱容量をJ/Kで求めてください。
4. 熱容量500 J/Kの液体が70 °C、熱容量500 J/Kの液体と熱容量250 J/Kの容器が20 °Cです。混合中に全体から周囲へ5000 Jが出たとき、平衡温度を求めてください。
5. 熱容量200 J/Kの物体が80 °C、熱容量600 J/Kの液体が20 °C、熱容量200 J/Kの温度計が40 °Cです。容器の熱容量と外部への熱移動を無視します。平衡温度と温度計が受け取る熱量を、符号を付けて求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 400(50 − T) = 400(T − 10)からT = 30 °Cです。両側の熱容量が等しく、各側の変化は20 Kです。放熱8000 Jと吸熱8000 Jを元の条件で確かめられます。
2. 高温側は物体と容器を合わせて600 J/Kです。600(90 − T) = 600(T − 30)からT = 60 °Cです。両側とも18000 Jの受け渡しになり、容器を高温側に入れる必要があります。
3. 容器の熱容量をCとすると400(75 − 35) = (400 + C)(35 − 15)です。16000 = 8000 + 20CよりC = 400 J/Kです。液体と容器はそれぞれ8000 Jを受け取り、放熱16000 Jと一致します。
4. 高温側の放熱から低温側の吸熱を引いた残りが周囲へ出ます。500(70 − T) − 750(T − 20) = 5000よりT = 36 °Cです。放熱17000 Jのうち12000 Jが低温側へ、5000 Jが周囲へ移ります。
5. 200(T − 80) + 600(T − 20) + 200(T − 40) = 0からT = 36 °Cです。温度計の受熱量は200(36 − 40) = -800 Jです。物体の放熱8800 Jと温度計の放熱800 Jが、液体の吸熱9600 Jに一致します。負号は温度計が放熱したことを示します。

要点

• 物体の熱容量は質量と比熱の積で、単位はJ/Kです。
• 外部との交換がなければ、系内の各物体のC(T − t)の和は0です。
• 容器と温度計はそれぞれの初温と熱容量を使います。
• 外部への熱損失を含めるときは、境界を越えた熱量も収支に入れます。
• 答えを初温の範囲と熱量の合計に戻して確認します。

つまずきを見分ける

式を立てる前に、系の境界を描き、容器と温度計の初温をそれぞれ書けるか確かめます。平衡温度がまだ不明なとき、符号付きの温度変化で全物体を並べられれば、熱の向きを先に決められなくても進めます。

個別指導では、容器の初温を高温側から低温側へ変えた場合に、式のどの項が変わるかを本人の言葉で説明してもらいます。求めた温度を戻し、放熱と吸熱に外部への移動を含めて照合できれば、容器を含む熱収支の意味が数字につながります。