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高校数学A 空間の直線と平面の関係—交わる二直線を使って垂直の根拠を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

平面内で交わる2直線への垂直を根拠に面への垂直を示し、三垂線の定理で斜線と射影の直角を結びます。

よくあるのは、平面の上に引いた1本の線に直線が垂直だとわかり、そのまま平面にも垂直だと結論する場面です。机の面に寝かせた鉛筆も、面上の別の線とは直角に交わりえます。1本との直角だけでは、鉛筆が机から立ち上がっているかを決められません。

空間では、見取図で線が交差して見えても実際に交わるとは限りません。どの面にどの線があるかを先に整理し、垂直を示すときは交点と根拠を言葉でつなぎます。

問いの形を見分ける

1つ目は、2直線が平行か、交わるか、ねじれの位置かを判定する問いです。交点を持たない2直線は、同一平面上にあれば平行、同一平面上になければねじれの位置です。見取図の線が紙の上で交わっているかどうかでは判定できません。

2つ目は、直線が平面に垂直であることの証明です。平面内で交わる2直線に、その直線がともに垂直であることを示します。立体の辺だけで足りないときは、平面上に補助線を引きます。

3つ目は、平面外の点から引いた斜線と、平面内の直線の垂直です。斜線を平面に正射影し、平面内の直角に移すのが三垂線の定理です。長さの計算では、垂直を示してから直角三角形を選びます。

交点と射影を言葉にする

異なる2直線が同一平面上にあり交点を持つとき、2直線は交わります。同一平面上にあり交点を持たなければ平行です。同一平面上にない2直線はねじれの位置にあります。ねじれの2直線は交わらず、平行でもありません。空間で平行というときは、同一平面上にあることが必要です。

直線 l が平面 α と点 H で交わり、H を通る α 上のどの直線にも垂直であるとき、l は α に垂直です。H は垂足です。判定には次の定理が使えます。平面 α 内の異なる2直線が H で交わり、H を通る直線 l がその両方に垂直なら、l は α に垂直です。2直線が平行では、この判定は使えません。

図1のように、平面上の交わる2直線を a、b とし、H を通る直線 l が両方に垂直なら、l は平面に垂直です。図の斜め具合は証明ではなく、直角の条件を表したものです。

この判定の理由を確かめます。H を通る平面内の直線 c が a または b と一致する場合、l と c の垂直は仮定に含まれます。以下では c が a、b のどちらとも異なる場合を調べ、H と異なる点 C を c 上に取ります。C を通り a、b のどちらにも平行でない直線を平面内に引き、a、b との交点をそれぞれ A、B とします。l 上に H を挟んで HP = HQ となる点 P、Q を取ります。直角三角形 PHA と QHA は2辺が等しいので合同で、PA = QA です。同様に PB = QB です。

A、B が異なれば、三角形 PAB と QAB は3辺がそれぞれ等しく合同です。よって角 PAC = 角 QAC、または C が A の外側にあってもそれらの補角が等しくなります。したがって三角形 PAC と QAC は2辺とその間の角がそれぞれ等しく合同で、PC = QC です。三角形 PHC と QHC は3辺がそれぞれ等しく合同です。角 PHC と角 QHC は等しく、合わせて180°なので、ともに90°です。よって l と c は垂直です。C は任意なので、平面内のどの方向にも垂直です。補助線は A、B、C が重ならないよう選べます。

次に P を α の外、H を P から α に下ろした垂線の足、A を α 上の H と異なる点とします。線分 HA は斜線 PA の α への正射影です。A を通る α 上の直線 m について、m が HA に垂直であることと m が PA に垂直であることは同値です。これが三垂線の定理です。直線同士の垂直は、ここでは A で交わる2直線のなす角が直角であることを意味します。

A を通り PH に平行な直線を k とします。PH は α に垂直なので k も α に垂直であり、A で m と垂直に交わります。また k は平面 PHA 内にあります。m が HA に垂直なら、A で交わる平面 PHA 内の2直線 k、HA にともに垂直です。したがって m は平面 PHA に垂直で、A を通る PA にも垂直です。逆に m が PA に垂直なら、同じ平面内で A を通る k、PA の両方に垂直なので、平面 PHA に垂直となり、HA にも垂直です。

基本例題：面に立つ辺

直方体 ABCD-EFGH で、AB = 6、BC = 8、AE = 5 とします。底面は ABCD、上面は EFGH で、AE、BF、CG、DH が対応する辺です。AE が平面 ABCD に垂直である理由を述べ、EC の長さを根号で求めてください。

図2のように、底面の対角線 AC を引きます。直方体の隣り合う辺は直角に交わるので、AE は AB と AD の両方に垂直です。AB と AD は平面 ABCD 上で A において交わります。したがって垂直の判定により AE は平面 ABCD に垂直です。

底面 ABCD は長方形なので AD = BC = 8 です。直角三角形 ABC に三平方の定理を使います。

AC² = AB² + BC²
    = 6² + 8²
    = 100
AC = 10

長さは正なので AC = 10 です。AE は底面に垂直なので、底面上の AC にも垂直です。直角三角形 EAC から、

EC² = AE² + AC²
    = 5² + 10²
    = 125
EC = 5√5

確かめると、底面の対角線は 6² + 8² = 10² を満たし、得た EC も EC² − AC² = 25 = AE² を満たします。図2の EC は斜線で、図上の長さを測った値ではありません。

標準例題：ねじれと平行を区別する

直方体 ABCD-EFGH の頂点の対応を基本例題と同じにします。直線 AB と直線 CG、直線 AB と直線 CD、直線 AB と直線 BF の関係をそれぞれ答え、理由を述べてください。

AB と CG はねじれの位置です。仮に同一平面上にあれば、CG はその平面内の点 C を通ります。一方、AB と点 C を含む平面は底面 ABCD です。G は底面上にないので、直線 CG は底面に含まれず矛盾します。AB と C が1つの直線上にないため、平面が1つに定まることも使っています。

AB と CD は平行です。両方とも長方形 ABCD の向かい合う辺を含むので、同一平面内で交わりません。AB と BF は点 B で交わり、直方体の隣り合う辺なので垂直です。

確認すると、CG が底面と交わる点は C であり、C は直線 AB 上にありません。したがって AB と CG に交点はありません。ただし交点がないだけでは平行と決められず、上のように共通の平面がないことも必要です。見取図で AB と CG が離れて見えることを根拠にしないでください。

発展例題：射影から斜線の直角へ

平面 α 上に直角三角形 HAB があり、角 HAB = 90°、HA = 9、AB = 12 とします。平面 α 外の点 P から α に下ろした垂線の足が H で、PH = 8 です。PA と PB の長さを根号を使って求め、PA と AB が垂直であることを示してください。

まず PH は平面 α に垂直であり、HA はその平面上の直線です。したがって PH と HA は H で垂直です。直角三角形 PHA から、

PA² = PH² + HA²
    = 8² + 9²
    = 145
PA = √145

また AB は HA に A で垂直です。HA は PA の平面 α への射影なので、三垂線の定理により AB は PA に垂直です。直角三角形 PAB に三平方の定理を使います。

PB² = PA² + AB²
    = 145 + 12²
    = 289
PB = 17

別の経路でも確かめます。直角三角形 HAB で HB² = 9² + 12² = 225 なので HB = 15 です。PH は HB に垂直ですから PB² = 8² + 15² = 289 となり、同じ PB = 17 を得ます。得た長さは正で、PA² − PH² = 81、PB² − PA² = 144 も元の条件に一致します。

ここで H と A が一致すると HA は直線を定めず、上の射影を用いた定理の形は使えません。その場合は PA 自体が平面 α に垂直です。また、AB が HA に垂直である条件を外すと、AB と PA の垂直は一般には言えません。まず図形の位置を確認してから定理の名前を選びます。

途中で止めるべき誤答

平面 α 上で H を通る直線 a、b が直角に交わるとします。直線 a 上の H と異なる点 X を取ると、直線 HX は b に垂直です。これを見て「HX は平面 α 内の b に垂直だから、HX は α に垂直」とするのは誤りです。

図3の HX は平面内にあります。平面に垂直なら、H を通る平面内のすべての直線に垂直なはずですが、HX 自身には垂直ではありません。原因は1方向との直角を、平面全体への直角に広げたことです。図3では b との直角は正しくても、平面への垂直は成立しません。

修正するときは、証明したい直線が平面と交わる点を示し、その点で交わる平面内の別々の2直線を探します。直角が1つしか示せなければ、もう1つは未証明のままです。平行な2本を追加しても方向は増えず、判定の条件を満たしません。射影を使う場合も、射影の端点と、直角を調べる直線との交点が合っているかを確認します。

練習：図を自分で補う

以下の長さは同じ単位とします。求める長さは整数または根号で表してください。

直方体 ABCD-EFGH で AB = 3、BC = 4、AE = 12 です。EC の長さを求めてください。
平面 α 上で H を通り交わる直線 a、b と、H を通る直線 l があります。l が a、b の両方に垂直であるとき、l と α の関係を理由とともに答えてください。
立方体 ABCD-EFGH について、直線 AD と直線 BF の位置関係を答え、理由を述べてください。対応する頂点の取り方は基本例題と同じです。
平面 α 外の点 P の垂足を H、α 上の H と異なる点を A、A を通る α 上の直線を m とします。PH = 7、HA = 24、m と HA は垂直です。PA の長さと、m と PA の位置関係を答えてください。
平面 α 上の三角形 HAB は角 HAB = 90°、HA = 5、AB = 12 です。P の α への垂足は H、PH = 84 です。PB の長さを求め、AB と PA が垂直である理由を述べてください。

練習の解答と確認

長方形 ABCD で AC² = 3² + 4² = 25 より AC = 5 です。AE は AB、AD に垂直で、両者は底面上で交わるため AE は底面に垂直です。よって EC² = 12² + 5² = 169、EC = 13 です。戻して 13² − 5² = 144 = 12²、また 5² − 3² = 16 = 4² なので、与えた3辺と整合します。
l は平面 α に垂直です。a、b は α 上で H において交わり、l はその両方に垂直だからです。たとえば α 上の H を通る別の直線にも l が垂直となり、平面への垂直の定義に合います。もし a と b が同じ直線なら条件不足です。
ねじれの位置です。AD と点 B は底面 ABCD を定めます。BF が AD と同じ平面にあるなら、その平面は底面ですが、F は底面上にないので矛盾します。BF と底面の交点 B は AD 上にないため、交点もありません。平行と答えるには同一平面上にある必要があります。
PH は α に垂直なので PH と HA は垂直です。PA² = 7² + 24² = 625 より PA = 25 です。HA は PA の α への射影で、m は HA に垂直なので、三垂線の定理から m と PA は A で垂直です。25² − 24² = 49 = 7² となり、垂線と射影の長さを元に戻せます。
底面で HB² = 5² + 12² = 169 より HB = 13 です。PH は α に垂直なので PH と HB は垂直です。PB² = 84² + 13² = 7225 より PB = 85 です。さらに HA は PA の射影で、AB と HA は A で垂直なので、三垂線の定理から AB と PA は垂直です。逆に PB² − HB² = 7056 = 84²、HB² − AB² = 25 = 5² となり、元の長さを満たします。

手元に残す要点

交点を持たない2直線は、同一平面上なら平行、そうでなければねじれです。
平面内の交わる2直線への垂直から、直線と平面の垂直を示せます。
斜線の射影と平面内の直線の直角は、三垂線の定理で斜線との直角に移せます。
長さの計算は、直角とその根拠を明らかにしてから始めます。

説明が止まる場所を調べる

平行とねじれを取り違えるときは、2直線を含む平面を実際に指定できるか話してみてください。垂直の証明が止まるときは、直角の相手を2本書き、その2本の交点を指せるかを確かめます。個別指導では、垂線の足、射影の両端、射影に垂直な線を順に示してもらうと、どの条件が不足しているかを絞れます。見取図の印象を根拠にせず、交点と平面を指定する言葉が空間の垂直を支えます。