高校数学II 点の座標と二点間距離—差の符号と平方を整理し距離条件を座標に直す｜武蔵野個別指導塾

座標の差を足してしまう誤りから出発し、等距離の式や解の存在条件まで二点間距離を考えます。

よくあるのは、高2が2点の横座標の差と縦座標の差を足し、そのまま距離とする場面です。横に進む量と縦に進む量は、向きの異なる長さです。斜めの線分の長さに直すには、直角三角形の関係を使います。差の順序、負の数、平方根の意味を順番に確かめると、未知の座標を含む距離条件も式にできます。

距離が条件になる3つの場面

まず、2点の座標が与えられて長さそのものを求める場合です。数直線上なら座標の差の絶対値、平面上なら横と縦の差の二乗の和から求めます。座標が負でも同じ手順ですが、引く数を括弧に入れると符号の誤りを防げます。

次に、ある点から2つの定点までの距離が等しいという条件から、未知数を求める場合です。距離はどちらも0以上なので、距離の二乗を等しくして計算できます。平方根をそれぞれ計算する必要はありません。ただし、得られた座標は元の2つの距離に戻して確認します。

さらに、指定された長さを実現できる点が何個あるかを問う場合があります。平面の距離の二乗は横の差の二乗と縦の差の二乗の和です。片方の差だけですでに指定された長さを超えていれば、もう一方を調整しても条件は満たせません。0個、1個、2個の違いは、二乗した値が負、0、正のどれになるかで判定できます。

差から長さへの変換

数直線の2点の座標をa、bとします。aからbへの向き付きの変化はb − aですが、距離は向きに関係しないので |b − a| です。例えばa = 5、b = -2なら差は-7、距離は7です。逆順の差は7であり、絶対値を取れば同じ長さです。2点が一致すれば距離は0になります。

平面の2点をA(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)とします。図1のように、Aから横に移動してBと同じ横座標になった点をCと置くと、横の長さは|x₂ − x₁|、縦の長さは|y₂ − y₁|です。両方の差が0でないとき、三平方の定理から次の式が得られます。

AB² = AC² + CB²
    = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

図1の横と縦の線分は、それぞれの座標の差の絶対値を表します。横か縦の差が0の場合も、線分は軸に平行になり、同じ式が長さを与えます。両方が0の場合は2点が一致し、式の値は0です。距離の平方根には0以上の値を取ります。

二乗する前の差は負でも構いません。ただし、(x₂ − x₁)²と(y₂ − y₁)²を別々に計算してから足します。差を先に足して二乗すると、余分な積の項が現れるので別の式です。距離の等しさを二乗で比べられるのは、距離がともに0以上だからです。一般に負の数を含む式では、二乗した後に符号の条件を確認する必要があります。

計算の順番と式の意味

座標を代入するときは、横同士、縦同士を対応させます。例えば横の差が負で縦の差が正でも、それぞれの二乗は0以上です。符号が逆だからといって差を打ち消し合うことはありません。差が大きい方向ほど、距離の二乗への寄与も大きくなります。

距離を求める問題と距離を比較する問題では、計算を止める位置が違います。長さそのものが必要なら最後に平方根を取ります。一方、等距離の判定なら、0以上の2つの数は二乗の大小と元の大小が対応するので、二乗のまま比べられます。距離の二乗を長さそのものと書かないよう、左辺に²を付け続けることが大切です。

また、距離が一定という条件から式を作った後は、得られた値を戻します。特に、平方した値に対する正負の候補が同じ点になる場合や、実数の候補が存在しない場合には、式変形の結果と点の個数を区別して数えます。距離が0となる場合も認められるなら、点が重なる可能性を除外してはいけません。点が異なるという条件が問題にある場合には、その条件を別に調べます。

基本例題：負の座標を含む2点

点A(-2, 1)、B(4, 5)の距離を、根号を用いて最も簡単な形で求めてください。

図2のように、横の差と縦の差を別々に取り出します。引く座標が負のときは括弧ごと引きます。

xの差 = 4 - (-2)
       = 6
yの差 = 5 - 1
       = 4
AB² = 6² + 4²
    = 36 + 16
    = 52
AB = √52
   = 2√13

図2では横に6、縦に4進む直角三角形の斜辺がABです。逆にAからBへの差を両方とも逆順にしても、二乗は36と16のままです。答えの2√13は正で、その二乗が52に戻ります。6 + 4 = 10は折れ曲がった道の長さであり、斜めの線分の長さとは区別します。

標準例題：等距離から未知数を決める

点P(t, 2)がA(-3, 1)、B(5, -3)から等距離にあります。実数tを求め、答えを分数または整数で表してください。

距離は0以上なので、PA = PBとPA² = PB²は同値です。2つの距離の二乗を別々に書いてから等号で結びます。

PA² = (t + 3)² + (2 - 1)²
    = t² + 6t + 10
PB² = (t - 5)² + (2 + 3)²
    = t² - 10t + 50
 t² + 6t + 10 = t² - 10t + 50
16t = 40
t = 5/2

条件を満たす実数は5/2です。実際にP(5/2, 2)を戻すと、PA² = (11/2)² + 1 = 125/4、PB² = (-5/2)² + 25 = 125/4です。両方の距離は正の平方根で等しく、計算途中の等式だけでなく元の条件も満たします。

この値を整数に丸めると、等距離という条件が壊れます。分数のまま代入すれば、途中の近似によるずれを避けて等しさを確かめられます。

発展例題：指定距離に届く点の個数

点A(1, -2)と、横座標が5である点P(5, t)を考えます。距離APが実数r以上ではなく、ちょうどrになるような点Pの個数を、rを0以上として場合分けしてください。必要な場合は座標をrを用いて表してください。

まず距離の二乗を作ります。rも距離も0以上なので、AP = rとAP² = r²は同値です。

AP² = (5 - 1)² + (t - (-2))²
    = 16 + (t + 2)²
16 + (t + 2)² = r²
(t + 2)² = r² - 16

0 ≤ r < 4なら右辺は負で、実数の二乗は負にならないため点は0個です。r = 4なら右辺が0で、t + 2 = 0よりP(5, -2)の1個です。r > 4なら右辺は正で、次の異なる2点があります。

t + 2 = ±√(r² - 16)
t = -2 ± √(r² - 16)
P = (5, -2 + √(r² - 16)), (5, -2 - √(r² - 16))

どちらの点でも横の差の二乗は16、縦の差の二乗はr² − 16なので、距離の二乗はr²です。rは0以上ですから距離はrに戻ります。例えばr = 5なら縦の差は3または-3で、2点は(5, 1)、(5, -5)です。各点について横の差4、縦の差の絶対値3から距離5を確かめられます。

この場合分けは、平方根を付ける前に右辺の符号を調べる理由を示します。右辺が0のときに正負の2通りと数えると、同じ点を二重に数えます。また、rを負にして二乗式だけを解くと、元の距離が負の数になるという不可能な条件を見落とします。

誤答を距離の図に戻す

点A(1, 1)、B(5, 4)の距離について、「横の差が4、縦の差が3だから、AB = 4 + 3 = 7」とする解答を考えます。図3のように7は横と縦を続けて通る折れ線の長さであり、線分ABの長さではありません。

図3では横と縦の線分が直角を作るため、斜辺ABの二乗は、この2本の線分の長さをそれぞれ二乗して足した値に等しくなります。修正は次の通りです。

AB² = 4² + 3²
    = 16 + 9
    = 25
AB = 5

5²が25であることに加え、距離として0以上の値を選んだことも確認します。差が一方だけ0なら差の絶対値の和と距離が一致することがありますが、その偶然を一般の場合に使うことはできません。二乗の和と和の二乗を混同した場合も、まず横と縦を図に分けると修正しやすくなります。

自分で解く5問

答えは指定された形で表してください。各問の点や数は互いに独立です。

1. 数直線上の点C(-7)、D(2)の距離を整数で求めてください。
2. 点E(-4, -1)、F(2, 7)の距離を整数で求めてください。
3. 点G(s, 1)がH(-2, 3)、J(4, -1)から等距離にあります。実数sを分数または整数で求めてください。
4. 点K(-1, 2)から距離5にある、横座標が2の点をすべて求めてください。座標は整数で表してください。
5. 点L(3, -1)から距離2にある、横座標が6の点は何個ありますか。個数を整数で答えてください。

5問の解答と確認

1

CD = |2 - (-7)|
   = |9|
   = 9

逆順でも|-7 − 2| = |-9| = 9です。負の方向への差をそのまま距離としないことが確認できます。

2

EF² = (2 - (-4))² + (7 - (-1))²
    = 6² + 8²
    = 36 + 64
    = 100
EF = 10

答えの10は0以上で、二乗は100です。元の点の横と縦の差はそれぞれ6と8なので、元の座標からの距離に戻しても一致します。

3

GH² = (s + 2)² + (1 - 3)²
    = s² + 4s + 8
GJ² = (s - 4)² + (1 + 1)²
    = s² - 8s + 20
s² + 4s + 8 = s² - 8s + 20
12s = 12
s = 1

G(1, 1)を戻すとGH² = 3² + (-2)² = 13、GJ² = (-3)² + 2² = 13です。距離はともに√13なので、等距離という元の条件を満たします。

4

求める点をP(2, u)と置きます。指定の距離5は正なので、二乗して同値な式を得ます。

KP² = (2 + 1)² + (u - 2)²
25 = 9 + (u - 2)²
(u - 2)² = 16
u - 2 = ±4
u = 6 または -2

答えは(2, 6)、(2, -2)です。どちらも横の差は3、縦の差の絶対値は4で、距離は5です。平方が16となる実数は4と-4なので、他の点はありません。

5

求める点をQ(6, v)とすると、横の差は3です。距離の二乗を条件に戻すと次のようになります。

LQ² = (6 - 3)² + (v + 1)²
4 = 9 + (v + 1)²
(v + 1)² = -5

実数の二乗は負にならないため、答えは0個です。横方向の差だけで3あり、指定距離2を超えることからも、どの縦座標を選んでも条件を満たせないと確かめられます。

覚えておくこと

• 数直線の距離は座標の差の絶対値です。
• 平面では横と縦の差を別々に二乗して足します。
• 等距離は距離が0以上であることを使い、二乗で比べます。
• 二乗が負になる式に実数解はなく、0なら正負は同じ値です。
• 求めた点を元の距離条件へ戻して確かめます。

距離を使う前に、点の並びを読み違えていないかも点検します。座標の1番目は横、2番目は縦です。負の値を含む点を代入するときは、引き算の右側の座標全体に括弧を付ければ、差の符号を追えます。平方根の中が0なら距離も0であり、正の値なら距離も正です。

距離の二乗が等しいことから距離が等しいと結論する場面では、平方根の正負を勝手に選びません。距離は定義から0以上なので、同じ二乗を持つ0以上の値に定まります。逆に、距離の条件が成立すれば二乗も一致するため、両方向が成り立ちます。これによって、等距離の条件と二乗の等式を行き来できます。

手が止まったときの問い

差の符号で迷ったら、「どちらの座標からどちらを引いたか」を横と縦で書き出してください。順序を逆にしても二乗が変わらないことを、具体的な数で確認できます。二乗の和を作る前に差を足していた場合は、図の折れ線と斜辺を指して、それぞれがどの長さを表すかを言葉にします。

個別指導で式を確かめる際は、等距離の両辺が0以上である理由と、求めた座標を元の2つの距離に戻す手順を尋ねます。点がないと答えた場合は、負になる二乗がどこから現れたかを追い、境界で0になる場合も別に調べます。座標の差は向きを持ち、距離は0以上の長さとして決まります。