高校数学A 条件を満たす円の作図—中心の候補を二等分線で絞り接する条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

交わる2直線に接して指定点を通る円を、角の二等分線と拡大・縮小で作り、点の位置に応じて解の個数を調べます。

よくあるのは、2本の直線に接する円の中心を探すとき、目についた角の二等分線を1本だけ引き、反対側の候補を見落とす場面です。さらに、中心が二等分線上にあれば指定点を通ると考えると、条件が1つ残ったままです。交点を中心に図形を拡大・縮小する方法を使い、通る点まで確かめます。

中心を探す前に点の位置を決める

ここでは異なる2直線が点 O で交わり、半径が正の円が両直線に接する問題を考えます。直線は両方向に延びるものとし、接点がどの半直線にあるかは初めから指定しません。道具は目盛りのない定規とコンパスです。定規は2点を通る直線を引くために使い、コンパスは長さを写して円や円弧を描くために使います。

出方には3つの型があります。指定点 P がどちらの直線上にもないときは、P のある角の内部で円を2個作ります。P が一方の直線上で O と異なるときは、その直線の両側に1個ずつあります。P が O なら、半径が正の円は存在しません。まずこの区別をつけると、作図を始めてから候補が消える理由も追えます。

中心の候補を見つける問いでは、2直線から等距離の点を使います。指定点を通る条件が加わる問いでは、その候補をさらに絞らなければなりません。最後に、得られた円が両直線に接し、P を通ることを別々に示します。逆に、条件を満たす任意の円が作図で得られると示して初めて、個数まで決まります。

二等分線と相似な円の役割

円の中心 C から直線に下ろした垂線の足を H とすると、円がその直線に接する条件は、CH が半径に等しいことです。2直線に接するなら、中心から2直線への距離はどちらも半径です。反対に、中心が2直線から等しい正の距離にあれば、その距離を半径とする円は両方に接します。

図1のように、2直線が作る4つの角のそれぞれについて二等分線を考えます。向かい合う角の二等分線は同じ直線上にあるため、中心の候補は互いに垂直な2本の直線になります。ただし交点 O では2直線への距離が0なので、半径が正の円の中心にはできません。

なぜ二等分線になるのでしょうか。角の内部の点 C から両辺に垂線を下ろし、その足を H、K とします。直角三角形 OHC と OKC は斜辺 OC を共有します。CH = CK なら、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同です。したがって ∠HOC = ∠COK です。逆にこの角が等しければ、共通の斜辺と1つの鋭角が等しい直角三角形が合同になり、CH = CK です。他の角でも同様です。

次に P が2直線上にない場合を考えます。P のある角の二等分線上に任意の点 C₀ を取り、2辺への距離を半径とする円を作ります。この円を基準円と呼びます。半直線 OP と基準円の交点を Q、R とすると、O を中心に基準円を OP/OQ 倍、または OP/OR 倍した円が P を通ります。倍率は正です。中心も接点も同じ倍率で移るので、接する関係が保たれます。

基準円と半直線 OP は本当に2点で交わるのでしょうか。基準円は角の2辺に接し、O は円の外部です。P が角の内部にあるため、半直線 OP は基準円の2接線の間を通ります。2つの接点を結ぶ線分は円の内部にあり、その線分と半直線 OP は交わります。よって半直線は円の内部に入ってから外へ出るので、異なる2点 Q、R で円周を横切ります。線分の交点が円周になるのは角の辺上の場合であり、今は除いています。

倍率を中心へ移す操作は、P が角の二等分線上にあるかどうかで分けます。二等分線上になければ、Q と C₀ を結び、P を通る QC₀ の平行線と半直線 OC₀ の交点を C とします。相似から OC/OC₀ = OP/OQ です。二等分線上にある場合は、OQ と OC₀ が同一直線上になるので、別の補助半直線を使います。O から OP と異なる直線上に半直線を引き、その上にコンパスで OU = OQ となる U を取ります。U と C₀ を結び、P を通る UC₀ の平行線と半直線 OU の交点を V とします。三角形 OPV と OUC₀ の相似から OV/OC₀ = OP/OU = OP/OQ です。O を中心、OV を半径とする円と半直線 OC₀ の交点を C とすれば、求める中心が得られます。R を使う場合も同じ操作を行います。各中心と P を結んだ長さを半径に円を描きます。平行線は角の写し取りで作り、いずれの場合も有限回の操作で終了します。

基本例題：直角の内側の点を通す

【問題】互いに垂直な2直線の交点を O とし、一方の半直線上に A、他方に B を OA = 6、OB = 8 となるように取ります。A を通り OB に平行な直線と、B を通り OA に平行な直線の交点を P とします。2直線に接し P を通る円をすべて作図し、その半径を根号を用いて求めてください。長さの単位は共通です。

図2のように P は直角の内部にあります。直角の二等分線上に基準円の中心を取ります。基準円と半直線 OP の2交点を用い、先ほどの平行線による拡大・縮小をそれぞれ行えば2円が作図できます。直角の内部にある円の中心から両直線への距離を r とすると、中心は二等分線上にあり、2本の垂線の長さはいずれも r です。

中心から P までの、2直線に平行な方向の長さは、それぞれ |6 − r|、|8 − r| です。P は円周上なので、三平方の定理から次の式を得ます。

(6 - r)² + (8 - r)² = r²
36 - 12r + r² + 64 - 16r + r² = r²
r² - 28r + 100 = 0
(r - 14)² = 96
r = 14 ± 4√6

√6 < 3 なので、14 − 4√6 > 2 です。2つの値はいずれも正で、異なります。それぞれの中心から2直線までの距離は r、P までの距離も r です。したがって両直線に接し P を通ります。たとえば r² − 28r + 100 = 0 を元の距離の式へ戻すと、左辺と右辺の差は0です。半径が正であることも確かめたので、どちらも条件を満たします。

この計算は円の個数を数える別の確認にもなりますが、作図そのものは二等分線、円と直線の交点、平行線だけで行っています。2つの円は一方が他方の内部にあるとは限りません。どちらも P を通り、2直線に接することを基準に判断します。

標準例題：指定点が一方の直線上にある

【問題】交わる2直線を l、m、その交点を O とします。P は l 上にあり、P と O は異なります。両直線に接し P を通る円をすべて作図し、個数を求めてください。

円が l に接して P を通るなら、P は l との唯一の共有点、つまり接点です。したがって中心は P を通る l の垂線上にあります。一方、2直線への距離が等しいので、中心は2本の角の二等分線のどちらかにもあります。

1. 交わる直線 l、m の角の二等分線を2本とも作図します。
2. P を通る l の垂線を作図します。
3. この垂線と2本の二等分線の交点をそれぞれ C、D とします。
4. 中心 C、半径 CP の円と、中心 D、半径 DP の円を描きます。

二等分線は l と平行ではありません。もし P の垂線と二等分線が平行なら、二等分線も l に垂直です。しかし l に垂直な二等分線があると、l について対称な2辺が同じ直線となり、異なる2直線が交わるという条件に反します。よって交点 C、D はそれぞれ存在します。2本の二等分線の共通点は O だけで、P の垂線は O を通らないため C と D は異なります。

C から l への距離は CP で、二等分線の性質から m への距離も CP です。円 C は P を通り、l と m に接します。D についても同様です。逆に条件を満たす円の中心は、P の垂線と2本の二等分線の交点のいずれかです。したがって答えは2個です。P を接点とみなせる根拠は、直線と接する円の共有点が1つという条件です。

発展例題：直角で境界に近づける

【問題】互いに垂直な2直線の交点を O とします。両直線のそれぞれに平行な方向へ O から 3、4 進んだ点を P とします。両直線に接し P を通る円の半径をすべて根号を用いて求め、その円を作図してください。また、P を一方の直線に近づけ、O とは異なるその直線上の点に移したとき、中心の候補がどう変わるか説明してください。

P は直角の内部にあるので、同じ角内の二等分線上に中心があります。半径を r とすると、中心から P までの距離に三平方の定理を使えます。

(3 - r)² + (4 - r)² = r²
9 - 6r + r² + 16 - 8r + r² = r²
r² - 14r + 25 = 0
(r - 7)² = 24
r = 7 ± 2√6

√6 < 3 から小さい方も正です。2つの値を元の式に戻すと差は r² − 14r + 25 = 0 です。中心の2直線からの距離はそれぞれ r なので、いずれも接する条件を満たします。基準円を直角内に作り、半直線 OP との2交点を用いた相似の方法で2円を作図できます。

P が境界の直線上に移ると、P が接点となり、中心は P の垂線と二等分線の交点になります。移動先が O でなければ、直線の両側に1個ずつです。内部にある間の2つの中心は同じ角の二等分線の同じ半直線上にありますが、境界では2つの円が同じ位置に重なります。もう一方の側の円は、境界に入ったときに新たに条件を満たす候補です。図を連続的に眺めるだけで、境界上の候補を省かないようにします。

O 自身が指定点なら事情が変わります。円が l に接して O を通るなら接点は O で、中心は O を通る l の垂線上です。同様に m に接するには、中心は O を通る m の垂線上にもあります。異なる2直線の垂線は O で交わるので、中心は O となり半径は0です。半径が正という条件に反するため、解は0個です。

片側の二等分線だけを引く誤答

「P が l 上にあるので、P の垂線と角の二等分線の交点を1つ取り、円を1個描いて終わり」とすると、図3のもう一方の中心を落とします。二等分線が描かれたこと自体は正しいのですが、4つの角からできる2本の二等分線を調べていないことが原因です。

修正するときは、図3のように P の垂線を先に引き、2本の二等分線との交点をそれぞれ印します。各交点から P までを半径にした後、反対の直線までの距離も等しいと説明します。円が P を通るだけでは接線の条件は足りず、二等分線上に中心があるだけでは P を通る条件が足りません。2つの条件が同時に成立する点を探します。

別の失敗は、P が O の場合にも同じ図を流用し、半径0の円を答えに含めることです。中心の交点が存在するというだけでは不十分で、そこから直線までの距離が正か調べます。また、P が直線上にないのに P を接点と決めることもできません。その場合は P を通る半直線と基準円の交点を使います。交点が2つある根拠を確認してから拡大・縮小に進んでください。

練習：配置と条件を判定する

次の5問では、円の半径は正とし、2直線は異なり、交点を O とします。長さは共通の単位です。作図では目盛りのない定規とコンパスを使います。

1. 2直線が垂直で、O からそれぞれの方向に 5、12 進んだ点を P とします。2直線に接し P を通る円の半径をすべて根号を用いて求めてください。
2. 2直線が垂直で、O からそれぞれの方向に 2、6 進んだ点を P とします。同じ条件の円の半径をすべて根号を用いて求めてください。
3. P が一方の直線上にあり OP = 7、2直線が垂直です。条件を満たす円をすべて作図し、半径と個数を求めてください。
4. P が O と一致します。条件を満たす円の個数を求め、その理由を説明してください。
5. P がどちらの直線上にもない場合について、任意の角度で成り立つ作図の手順を述べ、解の個数を理由とともに答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. 半径を r とすると、中心は P のある直角の二等分線上です。

(5 - r)² + (12 - r)² = r²
r² - 34r + 169 = 0
(r - 17)² = 120
r = 17 ± 2√30

√30 < 6 より2つとも正です。元の距離の式へ戻した差は r² − 34r + 169 で、どちらも0です。中心から2直線までの距離も r なので、2つとも条件に合います。

2. 同様に次のように求めます。

(2 - r)² + (6 - r)² = r²
r² - 16r + 40 = 0
(r - 8)² = 24
r = 8 ± 2√6

√6 < 3 なので小さい値も正です。どちらも元の式へ戻した差を0にし、2直線への距離が半径に等しくなります。P の位置は直線上ではないので、2円は異なります。

3. P で直線に垂線を立て、2本の二等分線との交点を中心とします。各交点と O、P を結ぶと直角二等辺三角形となり、中心から P までの距離は OP = 7 です。よって半径 7 の円が2個です。各中心は両直線から 7 離れ、P からも 7 離れます。P を通り両直線に接することを元の条件で確かめられます。

4. 0個です。O を通る円が各直線に接するなら、O は各直線との接点です。中心は O を通る2本の垂線の交点 O に限られ、半径が0となります。これは半径が正という条件に反します。

5. P を含む角の二等分線上に C₀ を選び、2辺に接する基準円と半直線 OP の交点 Q、R を求めます。P が二等分線上にないときは、P から QC₀、RC₀ に平行な直線を引いて中心を得ます。P が二等分線上にあるときは、前の「倍率の作図」で示した補助半直線 OU と点 V を使い、倍率 OP/OQ と OP/OR をそれぞれ中心までの距離へ移してください。得た2中心を用い、P までの距離を半径にして円を描きます。相似により、各円は基準円を O の周りで正の倍率に拡大・縮小したものです。したがって元の2辺に接し、P を通ります。逆に条件を満たす円の中心は同じ二等分線上にあり、基準円と相似です。その円を基準円まで縮尺すると P は Q または R に移るため、他の円はありません。答えは2個です。

要点

2直線から等距離の中心候補は2本の角の二等分線です。 直線上の指定点は接点になり、その垂線で中心を絞ります。 直線外の指定点には基準円と相似を使い、2個を作ります。 交点 O を通る半径が正の円はありません。

考えが止まった場所を見つける

中心が二等分線上にある理由を説明できない場合は、中心から2直線への垂線を引き、2つの直角三角形の合同条件を確認します。基準円からの移し方で止まる場合は、O、Q、C₀ と O、P、C の対応を指でたどり、相似比が OP/OQ になる理由を話してみます。

個別に確認するときは、P を直線の内部でも交点でもない位置から直線上へ移した図を描き、2本目の二等分線が必要になる理由を説明してもらいます。作図の線が引けた後も、接すること、P を通ること、他に候補がないことを順に点検すれば、円の個数まで理由を持って答えられます。